wykład 6

8.1 Wektor polaryzacji P
W izolatorach w przeciwieństwie do przewodników ładunki nie
mogą się swobodnie poruszać. Jednak w atomach i
cząsteczkach może nastąpić przemieszczenie się ładunku pod
wpływem pola elektrycznego.
Na wskutek działania
E
- pola nastąpiło
- +  przesunięcie
- + --ładunków o .
- Pod wpływem pola elektrycznego następuje również
przesunięcie jonów w kryształach.
Istnieją również cząsteczki posiadające moment dipolowy
wynikający z ich struktury. Dipole te polaryzują się pod
wpływem pola E.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
1
Przykładem struktur posiadających moment dipolowych są np.
CO, SO2, H2O, HCl, NH3, C2H5OH.
H+
H+
Cl-
O-
1050
pe =3.4·10-30 C·m
H+
pe =6.2·10-30 C·m
Jeśli w przypadku atomu czy cząsteczki ładunek przesunie się
o , to moment dipolowy będzie równy p = q .
Jeżeli w jednostce objętości znajduje się N atomów które
mogą się polaryzować, to moment dipolowy na jednostkę


objętości
(8.1)
P  N q
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
2
Wektor P nazywamy wektorem
polaryzacji.
-Ze +Ze
Zastanówmy się od czego ten
E
wektor zależy. Przesunięty o 
ładunek Ze oddziałuje tylko z

częścią chmury elektronowej o
promieniu .
Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku
polaryzacyjnego ma wartość:
F2
F1
 
Ze 
Ze 
a


 3
2

a
3

Q pol
E pol  2

25 marca 2003
Reinhard Kulessa
Ze jest ładunkiem
całej kuli o promieniu
a.
3


Równowaga nastąpi wtedy gdy E pol  E . Oznacza to, że

Ze   a E
3
.
Widać więc, że moment dipolowy jest proporcjonalny do
natężenia zewnętrznego pola polaryzującego. Jest tak
przynajmniej dla niedużych pól.
8.2 Ładunek polaryzacyjny
Wewnątrz dielektryka wprowadzonego do kondensatora
pojawia się ładunek polaryzacyjny.
Rozważmy płytkę dielektryka umieszczoną w jednorodnym
polu elektrycznym
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
4
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
-
+
+
E
-
-
-
-
E
+ + + + + + + + + +
± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
P
– – – – – – – – – –
Pole powierzchni

A
Widzimy, że na wskutek polaryzacji dielektryka w polu
elektrycznym następuje przesuniecie się ładunku. Na
powierzchni A pojawia się ładunek
qA  A    q  N
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
.
5
Gęstość powierzchniowa ładunku polaryzacyjnego wynosi
więc:
 pol
A q N

 qN .
A
(8.2)
Jest to dokładnie bezwzględna wartość wektora
polaryzacji |P| , (patrz r. (8.1)), czyli
 pol

 P
(8.3)
Widzimy więc, że gęstość powierzchniowa ładunku na
powierzchni dielektryka jest równa wartości wektora
polaryzacji w jego wnętrzu.
Rozważmy jeszcze raz naładowany kondensator wypełniony
dielektrykiem.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
6
A
pol
swob
W celu znalezienia wypadkowego natężenia pola elektrycznego,
zastosujmy do zaznaczonej czerwonej powierzchni Prawo Gaussa .
 swob  A   pol  A
EA
0
 swob   pol
E
0
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
7
Korzystając z równania (8.3) otrzymujemy:
E

 swob  P
.
(8.4)
0
Pamiętamy, że wektor polaryzacji dielektryka P zależy od
natężenia zewnętrznego pola elektrycznego E. Tą zależność
zapisuje się zwykle w postaci:


P   0 E
(8.5)
Wielkość  nazywamy podatnością elektryczną dielektryka.
Podatność elektryczna nie zawsze musi być liczbą.W wielu
przypadkach jest wielkością tensorową. Gdy mamy cząsteczkę
o wyróżnionej osi symetrii ( nie sferę), to można się spodziewać
się innego przesunięcia ładunku wzdłuż osi
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
8
cząsteczki niż w kierunku prostopadłym do niej. Zachodzi
to np. dla cząsteczki CO2.
O
O
C


Może być tak, że: P    E
||
0
1
||


P   0  2 E
E
P
E
P
P||
25 marca 2003
E||
Widzimy więc, że wektor
polaryzacji może nie być
równoległy do wektora pola
elektrycznego.
Wzór (8.4) możemy napisać
następująco:
Reinhard Kulessa
9


Px , y ,z   0  E x , y ,z
Gdzie,
  xx ,  xy ,  xz 


    yx ,  yy ,  yz 



,

,

zx
zy
zz 

Element xz oznacza, że składowa Ex natężenia pola
elektrycznego daje przyczynek do składowej Pz wektora
polaryzacji, itp..
Zwykle tensor podatności elektrycznej jest symetryczny, tzn.
xy = yx, xz = zx , zy = yz .
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
10
Tensor ten jest więc opisany przez sześć elementów.
Można znaleźć układ współrzędnych w którym  jest tensorem
diagonalnym.
Po tych uwagach wróćmy do wzorów (8.4) i (8.5).
W oparciu o te wzory możemy napisać:
 swob   0 E
E
0
Po krótkich przekształceniach otrzymujemy:
 swob  1 
E
 

0 1   
(8.6)
Widzimy więc, że E < Eswob. Wielkość
1   
(8.7)
Wielkość  nazywamy stałą dielektryczną lub przenikalnością
Reinhard Kulessa
11
elektryczną ośrodka.
Korzystając z wzoru (8.6) możemy napisać wyrażenie na
pojemność kondensatora płaskiego wypełnionego
dielektrykiem.
 0 A
Q  swob A  0 (1   )
C 

A
V
Ed
d
d
8.3 Ładunek polaryzacyjny dla niejednorodnej polaryzacji
Niejednorodna polaryzacja zachodzi wtedy, gdy
polaryzacja zmienia się od miejsca do miejsca, czyli.
  
P  P(r )
Należy więc oczekiwać, że wewnątrz dielektryka pojawi się
jakaś gęstość ładunku   0, gdyż przez część powierzchni
ograniczającej obszar o małej objętości może wejść
więcej ładunku niż wyjść przez drugą jej część.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
12
Ilość ładunku przechodzącego przez powierzchnię jest
maksymalna gdy wektor polaryzacji P do powierzchni a
minimalna, gdy jest on równoległy do powierzchni.
Możemy to napisać w następujący sposób:
 pol
 
 Pn
(8.8)
Wektor n jest wektorem prostopadłym do powierzchni
ograniczającej objętość, który rozważamy.
Ładunek przesunięty na zewnątrz obszaru o objętości 
pozostawia w środku ładunek przeciwnego znaku
Q pol   
A
 
P  n dA
Z drugiej strony ładunek Qpol możemy przypisać
przestrzennemu ładunkowi polaryzacyjnemu o gęstości pol
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
Q pol    pol d

13
Jeśli tak się zdarzy, to w przypadku niezerowej gęstości ładunku
polaryzacyjnego można powiązać tą gęstość z wektorem
polaryzacji przez Prawo Gaussa. Otrzymujemy wtedy:

A
 
P  n dA     pol d

(8.9)
dA = dA n jest wektorem reprezentującym powierzchnię w
której zawiera się ładunek polaryzacyjny.
Stosując twierdzenie Gaussa do całki powierzchniowej
 
 
otrzymujemy:

A
P  n dA      P d

Z tych dwóch równań mamy, że
 pol

 div P
(8.10)
Równanie (8.10) przedstawia różniczkową postać Prawa
Gaussa dla dielektryków.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
14
8.4 Równania elektrostatyki w dielektrykach
Prawo Gaussa w formie całkowej ma następującą postać:
  Qswob  Q pol Qswob

 E  dA 
a
0
 
  P  dA
0
A
(8.11)
Można to również zapisać

tak:


P   Qswob
A  E   0   dA   0
(8.12)
Forma różniczkowa Prawa Gaussa wygląda następująco:
  swob   pol
div E 
0
25 marca 2003

 swob  div P

.
0
Reinhard Kulessa
(8.13)
15
Po przekształceniu ostatniego wzoru otrzymujemy:

  P   swob
div  E   
0 
0

(8.14)
W oparciu o wzór (8.7) otrzymujemy:




 swob ,
div E 1     div  E 
oraz

A
25 marca 2003
 
  Qswob
 E  dA 
0
Reinhard Kulessa
0
.
(8.15)
(8.16)
16
8.5 Wektor przesunięcia D
Ze względów historycznych przyjęło się wprowadzać wektor
D zwany wektorem przesunięcia zdefiniowany następująco:

 
D  0E  P
(8.17)
Wprowadzając do tego wzoru wyrażenie na polaryzację z
wzoru (8.5) możemy napisać:





D   0 E   0  E   0 E(1   )    0 E
(8.19)
Współczynnik  ( (1+)) nazywamy względną
przenikalnością dielektryczną ośrodka.
Należy pamiętać, że  i  są wielkościami tensorowymi.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
17
Wszystkie dotychczasowe rozważania nie wpływają na
zachowawczość pola E . Dalej słuszne jest równanie rot E =
0. Równanie to razem z prawem Gaussa w formie
różniczkowej pozwala wyznaczyć pole E z dokładnością do
stałej addytywnej.
Równania (8.15) i (8.16) po wprowadzeniu wektora D
przechodzą odpowiednio w:

A
25 marca 2003

div D   swob


D  dA  Qswob
Reinhard Kulessa
(8.20)
18
8.6 Dielektryk z trwałymi momentami dipolowymi
W rozdziałach (5.7.4) i (5.9) omówiliśmy własności dipola i jego
oddziaływanie z polem elektromagnetycznym. Przyłożone pole
elektryczne może uszeregować dipole. To porządkujące
działanie pola jest niszczone przez ruchy termiczne. Można
więc przypuszczać, że stopień uporządkowania dielektryka
polarnego będzie określony przez relację pomiędzy energią
potencjalną uzyskiwaną przez działania zewnętrznego pola o
natężeniu E, a energią kinetyczna ruchu termicznego.
W równaniu (5.32) stwierdziliśmy, że energia potencjalna
dipola umieszczonego w polu o natężeniu E jest dane przez :
E pot
25 marca 2003
 
  P  E   PE cos 
Reinhard Kulessa
19
W oparciu o mechanikę statystyczną, w stanie równowagi
termicznej liczba cząstek o energii potencjalnej Ep jest
proporcjonalna do
 E p o t / kT , gdzie T jest
temperaturą w skali e
bezwzględnej, a k- jest stałą Bolzmana.
Okazuje się, że w polarnym dielektryku, w jednostkowym
kącie bryłowym d liczba cząsteczek n() odchylonych o
kąt  od kierunku pola elektrycznego E jest równa:
 pE cos  
n( )  n0 exp 

 kT

Dla zwykłych temperatur i pól wykładnik ten jest mały.
Można więc eksponentę rozwinąć w szereg.
p0 E cos 
n( )  n0 (1 
)
kT
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
(8.21)
20
W oparciu o powyższy wzór całkowita liczba cząsteczek w
rozważanej objętości jest równa:
 n( ) d  N  n
0
 4
bo całka z cos() po całej objętości jest równa zero.
Z równania (8.21) wynika, że więcej cząstek będzie miało

ustawione momenty dipolowe równolegle do pola 


zewnętrznego E niż antyrównolegle p0  E .
p0  E
W materiale pojawi się więc pewien wypadkowy moment
dipolowy. Wypadkowa polaryzacja |P| będzie więc równa:
P   n( i ) p0 cos  i
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
21
Pamiętając od czego zależy n() , całkowitą polaryzację
otrzymamy całkując po kątowej zależności elementu
objętości d, czyli po sin d d.
  2
| P |   n( ) p0 cos  sin  d d
o 0
Po podstawieniu wartości n() i wycałkowaniu po kącie ,
otrzymamy,
  N
p0 E cos  
P   1 
 p0 cos  2   d cos  
4 
kT

0
Korzystając z całki
1
 1  ax x dx  2 / 3a
otrzymujemy:
1
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
22

Np02 E
P 
3kT
(8.22)
Zgodnie z wzorami (8.5) (P=0E) i (8.7) (1+=),
otrzymujemy, że:
Np02
 1 
3 0 kT
.
(8.23)
Polaryzacja dielektryka polarnego jest proporcjonalna do
przyłożonego natężenia pola elektrycznego i odwrotnie
proporcjonalna do temperatury. Zależność polaryzacji od
1/T nazywamy prawem Curie.
Widzimy również, że dla dielektryków polarnych podatność
dielektryczna czy też stała dielektryczna jest malejącą
funkcją temperatury T.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
23

Ten kąt jest miarą polaryzacji,
gdyż
1
1/T

 p02
1
( )
T
Pomiar  dla różnych temperatur pozwala ustalić czy
mamy do czynienia z dielektrykiem polarnym czy nie.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
24
8.7 Dielektryk z indukowanymi momentami dipolowymi
W dielektrykach, w których dipole są indukowane ruch
termiczny nie ma tak dużego znaczenia jak dla dielektryków
polarnych.
W takich dielektrykach niepolarnych, przemieszczenie
rozkładu elektronów, które wywołuje indukowany moment
dipolowy nazywamy polaryzację elektronową.
Moment dipolowy takiej cząsteczki jest proporcjonalny do
pola lokalnego elektrycznego i wyraża się go zwykle jako:


pind   a Elok
(8.24)
Stała a jest tzw. polaryzowalnością atomu i ma wymiar
objętości (L3). Jest ona miarą tego, jak łatwo pole elektryczne
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
25
indukuje moment dipolowy w atomie.
Jeżeli rozważymy np.. ciecz, to możemy uważać, że atom
spolaryzowany, który dostarcza dodatkowego pola
elektrycznego, jest otoczony innymi atomami, a sam znajduje
się w czymś, co można uważać jako „wydrążenie kuliste”.
Pole w dowolnym punkcie A w dielektrykach można uważać za
sumę pola lokalnego w kulistej wnęce i pola pochodzącego od
kulki mającej rozmiary tej wnęki.
A
p
=
E
25 marca 2003
+
p
Elok
Reinhard Kulessa
p
Ekul
26
Jeśli E opisuje jednorodne pole w dielektryku, to możemy
 

napisać, że
.
EE E
lok
kul
Można pokazać, że dla jednorodnie spolaryzowanej kulki pole Ekul

przyjmuje wartość:

P
E kul  
3 0
Patrz np..
Wróblewski,Zakrzewski, t.II,
cz.2, str.119.
Otrzymujemy więc, że pole lokalne;

Elok

 P
E
3 0
Całkowita polaryzacja atomów w omawianym dielektryku
będzie równa;
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
27


P  N pind

 P 

 N  a  E 
3 0 

.

N a
E
N a
1 (
)
3 0



P  (  1) 0 E    0 E

Stąd otrzymujemy, że P 
Pamiętając, że
otrzymujemy
  1 N a

 2
3 0
(8.25)
,
.
(8.26)
Jest to równanie Clausiusa-Mossotti’ego.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
28
Równanie to wiąże stałą dielektryczną  z polaryzowalnością
atomu a . Pokazuje ono również, że  nie zależy od
temperatury,
inaczej niż dla dielektryków polarnych.
8.8 Dielektryki stałe
Niektóre z ciał stałych mogą mieć trwałą polaryzację nawet
bez istnienia pola polaryzującego elektrycznego. Przykładem
takiego ciała jest wosk , który jeśli roztopimy i pozwolimy mu
zestalić się w polu elektrycznym, nabędzie trwałej polaryzacji.
Ciało takie nazywają się elektretami.
Innym ciekawym zjawiskiem jest tzw. Seignettoelektryczność, lub ferroelektryczność. Jest to elektryczny
odpowiednik ferromagnetyzmu, o którym będziemy mówili
w dalszej części wykładu.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
29
W ciałach tych istnieją tzw. domeny, gdzie elementarne momenty
dipolowe są ustawione zgodnie. Dlatego poniżej pewnej
temperatury (tzw. Temperatury Curie), gdy ruchy termiczne nie
burzą tego uporządkowania, zachowują się one podobnie jak
ferromagnetyki. Zjawisko to wykryto dla soli Seignetta, czyli dla
winianu sodowo-potasowego-NaKC4H4O6·4H2O).
Obecnie najbardziej znanym ferroelektrykiem jest tytanian
baru-BaTiO3.Charakteryzuje się on tym,że wektor polaryzacji
P nie jest liniową funkcją natężenia pola elektrycznego E i silnie
zależy od przyłożonego potencjału.
Materiały
P
ferroelektryczne
charakteryzują się bardzo
dużą wartością stałej
dielektrycznej, nawet
E
rzędu 100 000.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
30
Dla tytanianu baru zależność stałej dielektrycznej od
temperatury jest następująca:
C
 1 
T  TC
Dla tytanianu baru ferroelektryczność zanika powyżej
temperatury T=485 K, a stała C =1.8 105 K.
Podana powyżej zależność jest określona prawem CurieWeissa.
P
W ferroelektrykach występuje
również zjawisko histerezy.
E
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
31
Wspomnijmy jeszcze kilka innych zjawisk zachodzących dla
dielektryków.
1. Piezoelektryczność- pojawianie się pola elektrycznego w wyniku
odkształcenia mechanicznego.
2. Pirroelektryczność – pojawianie się pola elektrycznego w wyniku
np. podgrzania. (turmaliny).
3. Elektrostrykcja
- mechaniczne deformowanie się materiału po
umieszczeniu w polu elektrycznym np..
kwarc.
25 marca 2003
Reinhard Kulessa
32