W przypadku, gdy dyfuzja dotyczy dwóch różnych gazów lub

Wykład 14
11
Procesy transportu
11.1 Strumień cząstek
11.2 Średnia droga swobodna
11.3 Uogólniony współczynnik transportu.
11.3.1 Przewodnictwo cieplne
11.3.2 Związek przewodnictwa cieplnego z elektrycznym
11.3.3 Dyfuzja
11.3.4 Lepkość dynamiczna
12. Niskie temperatury
12.1 Metody pomiaru niskich temperatur
12.2 Zjawisko nadciekłości
12.3 Nadprzewodnictwo
2011-06-13
Reinhard Kulessa
1
11 Procesy transportu
Ażeby móc omówić procesy transportu, należy wprowadzić pewne
pojęcia. Są nimi strumień cząstek, średnia droga swobodna i
przekrój czynny na zderzenie.
11.1 Strumień cząstek
Chcemy określić liczbę cząstek przechodzących przez jednostkową
powierzchnię dA w ciągu jednostki czasu. Załóżmy, że mamy do
czynienia z cząstkami podlegającymi statystyce Maxwella –
Bolzmana. Zgodnie z tą statystyką część cząstek posiadająca
prędkości pomiędzy v a v + dv jest równa;
1
2
3
2
dnv  2   m  2 mv2 / 2 kT
    v e
 f (v)dv .
n     kT 
2011-06-13
Reinhard Kulessa
2
z
v
dA

y

Liczba molekuł na
jednostkową objętość
posiadających prędkości
pomiędzy v a v + dv
test równa
f(v) n dv.
Część molekuł
docierających do
płaszczyzny xy z
x
kierunku , , jest dana przez;
r sin  d rd sin  d d

2
4 r
4
.
W czasie dt w powierzchnię dA uderzy następująca część
molekuł:
2011-06-13
Reinhard Kulessa
3
(dA cos )v dt dnv
gdzie,
v dt oznacza odległość przebytą w czasie t,
dA cos oznacza część dA prostopadłą do kierunku v,
dnv oznacza liczbę molekuł na jednostkę prędkości,
objętości i kąta bryłowego, przy czym
sin  d d
dnv  f (v) n dv 
4
.
W wyniku tego liczba molekuł uderzających w powierzchnię
dA w czasie dt jest dana przez;
sin  d d
f (v) n dv (dA cos  ) v dt
4
2011-06-13
Reinhard Kulessa
4
Strumień molekuł padający na jednostkę powierzchni w czasie
jednostkowym otrzymamy w wyniku całkowania ostatniego
wyrażenia po wszystkich kierunkach i prędkościach.

N 
2 2

0
n
2 12 m 3 2 2 mv2 / 2 kT
sin  cos  d d dv
0 0 4 v ( ) ( kT ) v e
W wyniku całkowania otrzymuje się, że
N
nv

4
.
1 2
 a
2
.
(11.1)
Skorzystaliśmy z faktu, że

x e
3
0
2011-06-13
 ax2
Reinhard Kulessa
5
v
oznacza średnią prędkość jonów i jest równa:
 8kT 

v  
 m
1
2
W wykonanych obliczeniach nie braliśmy pod uwagę zderzeń
pomiędzy cząstkami. Uwzględnienie tych zderzeń nie zmieni
jednak otrzymanego wyniku.
2011-06-13
Reinhard Kulessa
6
11.2 Średnia droga swobodna
Aby poprawnie opisać zjawiska transportu, należy uwzględnić
zderzenia pomiędzy cząstkami.
Chcemy obliczyć średnią odległość przebywaną przez
cząsteczkę przed zderzeniem z inną.
Załóżmy, że mamy szereg molekuł w spoczynku, a porusza się
jedna o średnicy d mająca prędkość v.
v
d

d2
2011-06-13
Reinhard Kulessa
v dt
7
Liczba zderzeń będzie równa liczbie molekuł w objętości
d2 v dt.  = d2 nazywamy przekrojem czynnym.
Inaczej przekrój czynny definiujemy jako stosunek liczby
zderzeń dN do liczby cząstek padających N, gęstości cząstek
w tarczy n i grubości tarczy x.
dN
 
N n x
(11.2)
Częstość zdarzeń określamy jako liczbę zdarzeń
zachodzących na jednostkę czasu.
  nv
Dla cząsteczek o prędkości średniej, częstość zdarzeń
wynosi;
2011-06-13
Reinhard Kulessa
8
  nv
.
Droga przebyta w czasie t, jest równa v t, a liczba zderzeń w
tym czasie  t =  n v t.
Średnia odległość pomiędzy zderzeniami będzie więc wynosiła:
vt
1
.


 nv t  n
Uwzględniając ruch wszystkich cząstek, oraz fakt, że prędkości
cząstek dane są przez rozkład Maxwella, otrzymujemy na
średnią drogę swobodną wartość;

2011-06-13
1
2 n
Reinhard Kulessa
.
(11.3)
9
Można również policzyć, że średnia wartość odległości od
płaszczyzny x-y do miejsca, w którym cząsteczki miały
ostatnie zderzenie przed przejściem przez powierzchnię dA
wynosi;
2
z 
3
(11.4)
11.3 Uogólniony współczynnik transportu.
Zdefiniowane do tej pory zależności pozwolą nam opisać
zjawiska transportu cząstek.
Załóżmy, że mamy pole cząstek o jednorodnej gęstości
n = const. W tym polu cząsteczek istnieje również
gradient pewnej własności  w kierunku osi z.
2011-06-13
Reinhard Kulessa
10
 może oznaczać energię, pęd, stężenie cząstek, ładunek, itp..
z
Transport wielkości  przez
powierzchnię dA jest zależny od
zmiany  w kierunku z. W
pobliżu powierzchni dA możemy
napisać:

dA
y
x
   | z 0
d

| z 0 dz (11.5)
.
dz
Zależność ta jest ważna w odległości kilku dróg swobodnych
od z = 0.
Transport w dół wielkości  przez powierzchnię dA
otrzymuje się przez przemnożenie strumienia cząstek (wzór
11.1) przechodzących przez powierzchnię dA, przez wartość
2011-06-13
Reinhard Kulessa
11
wielkości  w miejscu ostatniego zderzenia przed dA, czyli w
odległości 2/3 .
dA
2/3
0
2/3
 J   z
1
d
2 

  nv 0  (
)0   
4
dz
3 

 J   z
1
d
2 

  nv 0  (
)0   
4
dz
3 

2011-06-13
Reinhard Kulessa
12
Wypadkowy transport wielkości  w kierunku dodatniej osi z
jest sumą dwóch podanych strumieni;
1
d
J    nv 
3
dz
(11.6)
Czynnik 1 / 3 nv  nazywamy uogólnionym współczynnikiem
transportu.
11.3.1 Przewodnictwo cieplne
Przewodnictwo cieplne jest zdefiniowane przez relację daną
przez prawo Fouriera;
qz
T
JQ   K 
A
z
J Q   K T   K  grad T
2011-06-13
Reinhard Kulessa
(11.7)
13
Współczynnik K jest stałą przewodnictwa cieplnego. Druga
część równania dotyczy transportu w dowolnym kierunku.
Wielkością transportowaną jest energia cząsteczek.
Transport ten zachodzi zawsze w kierunku od wyższej do
niższej temperatury. Pamiętamy, że cząsteczki
charakteryzują się kilkoma rodzajami energii. Możemy
energię cząsteczek wyrazić przez liczbę stopni swobody f.
f
 i  kT
2
Wtedy zgodnie z równaniem (11.6) mamy;
qz
1
d  f

JQ 
  nv 
 kT 
A
3
dz  2

Z porównania ostatniego równania z równaniem (11.7) mamy;
2011-06-13
Reinhard Kulessa
14
1
 f 
K  nv   k 
3
2 
.
Równanie to da się również przedstawić w następującej
postaci:
1 nv  cv 1 v cv
K

3 N0
3 N 0
.
Ostatnią postać równania uzyskaliśmy w oparciu o zależność
pomiędzy średnią drogą swobodną a przekrojem czynnym.
11.3.2 Związek przewodnictwa cieplnego z elektrycznym
Równanie transportu prądu elektrycznego jest dane przez
prawo Ohma.
2011-06-13
Reinhard Kulessa
15
j   el     grad 
.
W ostatnim równaniu  jest potencjałem skalarnym pola
elektrycznego, a el współczynnikiem przewodności
elektrycznej. Podobieństwo tego wzoru z wzorem (11.7) jest
widoczne natychmiast. Fakt ten został sformułowany w
prawie Wiedermanna-Franza;
K  L el T
,
gdzie L = 1/3 (k/e)2.
Przy transporcie ciepła należy pamiętać, że wypadkowe
ciepło wpływające do elementu objętości musi być równe
czasowej zmianie energii wewnętrznej. Prowadzi to do
równania przewodnictwa cieplnego:
2011-06-13
Reinhard Kulessa
16
T
K T

 2
t  cw z
2
.
(11.8)
W równaniu tym  oznacza gęstość, a cw ciepło właściwe ośrodka.
Współczynnik K/cw określa zdolność przewodzenia ciepła.
11.3.3 Dyfuzja
Jeśli doprowadzimy np. w cylindrze do kontaktu dwóch gazów
lub cieczy o różnych ciężarach cząsteczkowych, ostra granica
pomiędzy tymi materiałami po jakimś czasie zaniknie.
Zakładamy, że nie zachodzą ruchy konwekcyjne. Każdy ze
składników będzie chciał zająć całą dostępną objętość.
Koncentracja np. gazów w cylindrze będzie dana przez
równanie barometryczne. Zachodzące
W cylindrze zjawisko nazywamy dyfuzją i zaliczamy je do
procesów
transportu.
2011-06-13
Reinhard Kulessa
17
Wielkością transportowaną jest koncentracja. Jeśli przez
dn/dz oznaczymy zmianę koncentracji w określonym
kierunku, to
dn
J N  D 
  D  grad n
dz
.
(11.9)
Jest to sformułowanie prawa Ficka. Na wskutek dyfuzji
istnieje wypadkowy ruch cząstek z obszaru o wyższej
koncentracji do obszaru o niższej koncentracji.
Współczynnik dyfuzji dla cząstek jednakowych jest dany
przez;
1
.
D  v
3
W przypadku, gdy dyfuzja dotyczy dwóch różnych gazów
lub cieczy, współczynnik dyfuzji przyjmuje postać;
2011-06-13
Reinhard Kulessa
18
D1, 2
gdzie
m1  m2
m
m1  m2
1
2
3   kT 
1
 

8  2m  n d12, 2
d1, 2
d1  d 2

2
.
Zmianę koncentracji w określonym kierunku w czasie
podaje równanie dyfuzji;
dn
 2n .
D 2
dt
z
(11.10)
11.3.4 Lepkość dynamiczna
Jedną z bardzo częstych transportowanych wielkości
fizycznych jest pęd. Z transportem tej wielkości związana
jest lepkość.
2011-06-13
Reinhard Kulessa
19
z
F/A= = η du/dz
Współczynnik
Tarcia
wewnętrznego
u
Pęd jest transportowany z obszarów o dużej prędkości do
obszarów o małej prędkości, przy czym p = mu.
W oparciu o równanie (11.6) mamy:
1
 (mu)
1
u
.
J p   nv 
  nv  m
3
z
3
z
2011-06-13
Reinhard Kulessa
(11.11)
20
Z drugiej strony mamy, że:
u
J p   
z
Otrzymujemy wobec tego na współczynnik lepkości wartość:
1
  nmv 
3
Należy jeszcze zaznaczyć, że wypadkowy transport pędu jest
ujemny dla u/z dodatniego.
Istnieje również związek pomiędzy przewodnictwem ciepła a
lepkością.
c
K

2011-06-13

v
mN 0
Reinhard Kulessa
21
Współczynniki te można powiązać z tzw. Liczbą Prandtla
c p
cv 
Pr 

K
K
,
gdzie =cp/cv.
Dla gazu idealnego pod ciśnieniem 1 at liczba Prandtla
wynosi 1.667, dla He – 0.69, dla O2 – 0.71.
2011-06-13
Reinhard Kulessa
22
12. Niskie temperatury
Jedną z głównych metod otrzymywania niskich temperatur
jest
wykorzystanie efektu Joule’a-Thomsona.
Przypomnijmy, że zjawisko to polegające na ochładzaniu się
gazu
przy rozprężaniu nazywamy dodatnim, zaś polegające na
ogrzewaniu – ujemnym.
Okazuje się, że znak zjawiska Joule’a – Thomsona zależy od
tego, która z poprawek a, czy b w równaniu van der Waalsa
odgrywa większa rolę. 
a
.
 p  V  b   RT


V0 
0
Gaz, dla którego można pominąć poprawkę b w równaniu van
der2011-06-13
Reinhard Kulessa
23
Waalsa a poprawka a odgrywa znaczącą rolę, oziębia się przy
rozprężaniu.
Ażeby gazy skroplić, musimy je oziębić poniżej temperatury
krytycznej, gdyż powyżej tej temperatury nie da się gazu
skroplić żadnymi metodami.
Najważniejszymi metodami otrzymywania niskich
temperatur są;
1. Ekspansja gazu z wykonywaniem pracy zewnętrznej,
2. Odparowanie cieczy pod zmniejszonym ciśnieniem,
3. Zjawisko Joule’a-Thomsona dla przypadku zjawiska
dodatniego, czyli dla gazu ochłodzonego poniżej
temperatury inwersji,
4. Efekt Peltiera, polegający na wymianie ciepłą pomiędzy
dwoma różnymi metalami na wskutek przepływu prądu.
2011-06-13
Reinhard Kulessa
24
Omówmy pokrótce ten efekt;
a
JQa
Je
JQb
b
Mamy tu do czynienia z równoczesnym transportem ciepła i
ładunku.
J Qa  T a J e
J Qb  T b J e
 dE 
   
 dT  J e 0
oznacza siłę termoelektryczną.
Wypadkowy transport ciepła
wynosi:
J Qab  J Qa  J Qb  T ( a   b ) J e
J Qab   ab J e
2011-06-13
Reinhard Kulessa
(12.1)
25
ab jest współczynnikiem Peltiera.
Dla złącza chromel – konstantan współczynnik Peltiera wynosi
22.3 mV. Współczynnik Peltiera rośnie z temperaturą .
5. Adiabatyczne rozmagnesowanie paramagnetyka
Problem ten omówiliśmy w czasie jednego z wykładów.
6. Mieszanie ciekłego 3He i 4He.
Proces ten umożliwia osiąganie temperatur do
0.001K.
12.1 Metody pomiaru niskich temperatur
Do pomiaru temperatur poniżej 1K najczęściej stosuje się
następujące metody;
2011-06-13
Reinhard Kulessa
26
a). Pomiar podatności magnetycznej,
b). Pomiar zależności oporu elektrycznego od temperatury,
c). Pomiar ciśnienia par 4He w równowadze z cieczą. (jest to
związane ze zmniejszaniem się ciepła właściwego mieszaniny.
12.2 Zjawisko nadciekłości
Przy obniżaniu temperatury pewne ciecze wykazują bardzo
charakterystyczne właściwości.Omówmy to na przykładzie
ciekłego 4He. W temperaturze 2.17 K istnieje punkt przejścia,
w którym zmienia się cały szereg własności tej cieczy.:
1. W temperaturze 2.17 K następuje skok pojemności cieplnej
ciekłego helu, tzw. Punkt  (lambda) (patrz rysunek)
2. Znikanie lepkości poniżej punktu . Lepkość jest 106 razy
mniejsza niż powyżej punktu  .
2011-06-13
Reinhard Kulessa
27
Cp[J/Mol·K]
30
20
10
0
1
2
3
4
T[K]
3. Zjawisko pełzania ciekłego 4He po ściankach naczynia
2011-06-13
Reinhard Kulessa
28
4. Występowanie w nadciekłym He II fali podłużnej (dźwięku)
wzbudzanej termicznie.
Jak wygląda diagram fazowy 3He i 4He?.
P[at]
4He
Krzywa topnienia
P[at]
3He
160
75
50
25
He stały
Ciekły HeI
120
Ciało stałe
ciecz
80
Ciekły
HeII
1
2011-06-13
Krzywa przejścia
2
3
4
5
40
T
1
Reinhard Kulessa
2
3
4
T
29
12.3 Nadprzewodnictwo
Stan nadprzewodnictwa cechuje się następującymi
własnościami;
1. Skokowy zanik oporu elektrycznego w temperaturze
przejścia (np. 7.19 K dla Pb). Wzbudzony w obwodzie
kołowym prąd może krążyć 105 lat.
2. Zależność temperatury przejścia od pola magnetycznego,
3. Zjawisko Meissnera-Ochsenfelda: zanikanie pola
magnetycznego wewnątrz nadprzewodnika w
temperaturze przejścia.
4. Zwiększenie nachylenia krzywej zależności entropii od
temperatury poniżej temperatury przejścia (skok
pojemności cieplnej).
2011-06-13
Reinhard Kulessa
30