Linie sił pola elektrycznego

Wykład 5
5.6.1 Linie sił pola elektrycznego
Pamiętamy, że we wzorze (5.1) określiliśmy natężenie pola
elektrycznego przy pomocy ładunku próbnego q0, którego
wielkość dążyła do zera. Robiliśmy to po to, aby uniknąć
wpływu ładunku próbnego na pole elektryczne.
Pochodzące od ładunku Q pole elektryczne w punkcie o
współrzędnych r jest zdefiniowane przez równanie:
r r
Q r
E (r ) = k 3 r
r
(5.3)
Wprowadzenie nowego ładunku, spowoduje zmianę pola
przez zmianę położenia pierwotnych ładunków.
Reinhard Kulessa
1
Tym nowym polem musimy posłużyć się przy liczeniu siły
działającej na nowy ładunek.
Pole elektryczne jest lokalną własnością każdego punktu układu.
Znajomość pola w jakimś obszarze pozwala przewidzieć
zachowanie się dowolnych ładunków w tym obszarze, przy czym
znajomość źródeł pola jest nam niepotrzebna.
Z drugiej strony dokładne wyznaczenie w każdym punkcie
wartości pola, pozwala podać wartości i położenia ładunków
stanowiących źródła pola.
Jednym ze sposobów graficznego przedstawienia pola
elektrycznego jest wyrysowanie linii pola. Są to linie, które
w każdym punkcie są styczne do kierunku pola. Po nich
poruszałby się nie zakłócający pola dodatni ładunek próbny.
Pola pochodzące od pojedynczych ładunków przedstawione
są na następnym rysunku.
Reinhard Kulessa
2
Linie sił pola
dla
ładunków
pojedynczych.
Linie sił pola dla
dwóch ładunków o
przeciwnych znakach.
Układ taki nazywamy
dipolem.
Reinhard Kulessa
3
Linie sił pola dla dwóch
równych ładunków
dodatnich
Dla dwóch równych
ujemnych ładunków
zwrot linii sił będzie
przeciwny.
Należy podkreślić, że liczba linii natężenia pola elektrycznego
przypadających na jednostkę powierzchni informuje nas o
wielkości natężenia pola elektrycznego.
Porównanie linii sił pola elektrycznego dla dwóch jednakowych,
oraz dwóch przeciwnych ładunków przedstawione jest
następnych rysunkach.
Reinhard Kulessa
4
E=0
W połowie linii łączącej dwa jednakowe ładunki o jednakowych
znakach natężenie pola elektrycznego jest równe zero.
Reinhard Kulessa
5
-
+
Reinhard Kulessa
6
Linie ekwipotencjalne
Reinhard Kulessa
7
Linie ekwipotencjalne + różnicowanie kolorem
Reinhard Kulessa
8
Wektory natężenia pola elektrycznego dla dwóch ujemnych
konturów
Reinhard Kulessa
9
Kontury ekwipotencjalne
Reinhard Kulessa
10
Kontury ekwipotencjalne+ efekt kolorów
Reinhard Kulessa
11
5.6.2 Linie ekwipotencjalne
Potencjał najlepiej jest przedstawić w postaci linii lub
powierzchni ekwipotencjalnych,
V(x,y,z) = const
Można je łatwo znaleźć z zależności
.
r
E = − grad V
.
Linie sił pola elektrycznego są prostopadłe do linii lub
powierzchni ekwipotencjalnych.
Na linii ekwipotencjalnej V = const, czyli dV = 0.
Reinhard Kulessa
12
Rozmieszczenie linii natężenia pola elektrycznego względem
linii ekwipotencjalnych dla dwóch różnego znaku ładunków,
przedstawia poniższy rysunek.
Reinhard Kulessa
13
Przedstawiona tu prosta
animacja pokazuje, że okręgi
współśrodkowe z ładunkiem są
liniami ekwipotencjalnymi.
Z faktu, że natężenie pola elektrycznego E jest prostopadłe do
powierzchni ekwipotencjalnych wynika, że
powierzchnie przewodników są powierzchniami
ekwipotencjonalnymi.
Reinhard Kulessa
14
5.7 Natężenie i potencjał pola dla zadanych
rozkładów ładunków
5.7.1 Przewodząca kula naładowana ładunkiem Q
Q
σ =
2
4π r
E=0
V=const
R
σ = const
r
dA
Zgodnie z prawem Gaussa
E
r
r
Q
2
∫AE ⋅ d A = E 4 π r = ε 0
Reinhard Kulessa
15
Natężenie pola elektrycznego w odległości r od kuli
przewodzącej o promieniu R i gęstości powierzchniowej
ładunku równej σ jest równe,
r
E=
r σ R r
Q
r =
r
3
3
ε0 r
4πε 0 r
2
(5.17)
W oparciu o zależność pomiędzy natężeniem pola elektrycznego
a potencjałem (r. (5.11a) ), otrzymamy na potencjał na zewnątrz
oraz wewnątrz naładowanej przewodzącej kuli następujące
wyrażenia:
Q
V =
4πε 0
∫
∞
r
dr
Q
=
2
4πε 0 r
r
Reinhard Kulessa
r>R
(5.18a)
16
V =
∫
R
r r
E ⋅ dr +
r< R
∫
∞
R
r r
E ⋅ dr =
Q
=
= const
4πε 0 R
Reinhard Kulessa
(5.18b)
r< R
17
5.7.2 Pole elektryczne na „ostrzach”
Doświadczenie uczy nas, że pole elektryczne jest najsilniejsze
w pobliżu ostrzy, czy nierówności powierzchni.
Przedstawiony kształt
możemy przybliżyć przez
dwie przewodzące kule o
różnych promieniach,
połączone przewodnikiem.
Otrzymujemy więc przewodnik o
wspólnym jednakowym potencjale V.
Reinhard Kulessa
18
R1
Potencjały kul o promieniach
R1 i R2 przed połączeniem
wynoszą odpowiednio V1 i V2.
R2
Q1
V1 =
4πε 0 R1
=
Q2
V2 =
4πε 0 R 2
Po wyrównaniu się potencjałów na obydwu kulach mamy
Q1 Q2
=
R1 R2
.
Wiemy również, że
Reinhard Kulessa
19
E1
E2
Q1
2
R1
σ
=
=
Q2
σ
2
R2
1
2
W oparciu o te równania możemy napisać:
E1 R2 σ 1
=
=
E 2 R1 σ 2
(5.19)
Stwierdzamy więc że, rozkład ładunku na powierzchniach
zakrzywionych jest taki, że pole E jest odwrotnie
proporcjonalne do promienia krzywizny powierzchni.
Reinhard Kulessa
20