Ładunek polaryzacyjny dla niejednorodnej polaryzacji

Wykład 10
8. Materia w polu elektrycznym cd.
Zastanówmy się nad faktem wzrostu pojemności kondensatora,
do wnętrza którego włożyliśmy dielektryk. Jak wytłumaczyć
fakt zmniejszenia się natężenia pola elektrycznego wewnątrz
Według prawa Gaussa strumień natężenia
kondensatora.
A
pola elektrycznego jest bezpośrednio
E0 E
związany z ładunkiem wewnątrz
powierzchni A dla której ten strumień
liczymy. Zmniejszenie się natężenia pola
oznacza że wypadkowy ładunek wewnątrz
pol powierzchni A jest mniejszy niż wtedy gdy
nie ma tam dielektryka. Wynika stąd, że
na powierzchni dielektryka wewnątrz
powierzchni A muszą być ładunki
ujemne.
Reinhard Kulessa
1
Ładunków jest mniej niż dodatnich, gdyż pole nie znika zupełnie.
Na drugiej powierzchni izolatora wytwarza się ładunek dodatni.
Ładunek pojawiający się na izolatorze umieszczonym w polu
elektrycznym nazywamy ładunkiem polaryzacyjnym.
Pojawianie się tego ładunku związane jest z indukowaniem się i
uszeregowaniem dipoli elektrycznych w dielektryku, lub tylko
uszeregowaniem istniejących dipoli.
Gdybyśmy pomiędzy okładki kondensatora włożyli przewodnik, to
ładunek polaryzacyjny byłby identyczny jak ten na okładkach. Pole
wewnątrz przewodnika byłoby równe 0. Pole istniałoby tylko w
małych szczelinach między okładkami a przewodnikiem.
E0 E
Również w tym przypadku
zaobserwujemy wzrost
pojemności kondensatora.
Reinhard Kulessa
2
8.1 Wektor polaryzacji P
W izolatorach w przeciwieństwie do przewodników ładunki nie
mogą się swobodnie poruszać. Jednak w atomach i cząsteczkach
może nastąpić przemieszczenie się ładunku pod wpływem pola
elektrycznego.
Na wskutek działania
E
- pola nastąpiło
- +  przesunięcie ładunków
- + --o .
- Pod wpływem pola elektrycznego następuje również
przesunięcie jonów w kryształach.
Istnieją również cząsteczki posiadające moment dipolowy
wynikający z ich struktury. Dipole te polaryzują się pod
wpływem pola E.
Reinhard Kulessa
3
Przykładem struktur posiadających moment dipolowych są np. CO,
SO2, H2O, HCl, NH3, C2H5OH.
H+
H+
Cl-
O-
1050
pe =3.4·10-30 C·m
H+
pe =6.2·10-30 C·m
Jeśli w przypadku atomu czy cząsteczki ładunek przesunie się o
, to moment dipolowy będzie równy p = q .
Jeżeli w jednostce objętości znajduje się N atomów które mogą
polaryzować, to moment dipolowy na jednostkę objętości


P  N q
Reinhard Kulessa
(8.1)
4
Wektor P nazywamy wektorem polaryzacji.
-Ze +Ze
Zastanówmy się od czego ten
E
wektor zależy. Przesunięty o 
ładunek Ze oddziaływuje tylko z

częścią chmury elektronowej o
promieniu .
Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku
polaryzacyjnego ma wartość:
F2
F1
 
Ze 
Ze 
a


 3
2

a
3

Q pol
E pol  2

Reinhard Kulessa
Ze jest ładunkiem całej
kuli o promieniu a.
5


Równowaga nastąpi wtedy gdy E pol  E . Oznacza to, że

Ze   a E
3
.
Widać więc, że moment dipolowy jest proporcjonalny do
natężenia zewnętrznego pola polaryzującego. Jest tak
przynajmniej dla niedużych pól.
8.2 Ładunek polaryzacyjny
Wewnątrz dielektryka wprowadzonego do kondensatora pojawi
się ładunek polaryzacyjny.
Rozważmy płytkę dielektryka umieszczoną w jednorodnym
polu elektrycznym
Reinhard Kulessa
6
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
-
+
+
E
-
-
-
-
E
+ + + + + + + + + +
± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
P
– – – – – – – – – –
Pole powierzchni

A
Widzimy, że na wskutek polaryzacji dielektryka w polu
elektrycznym następuje przesuniecie się ładunku. Na
powierzchni A pojawia się ładunek
qA  A    q  N
Reinhard Kulessa
.
7
Gęstość powierzchniowa ładunku polaryzacyjnego wynosi
więc:
 pol
A q N

 qN .
A
(8.2)
Jest to dokładnie bezwzględna wartość wektora polaryzacji |
|P| , (patrz r. (8.1)), czyli
 pol

 P
(8.3)
Widzimy więc, że gęstość powierzchniowa ładunku na
powierzchni dielektryka jest równa wartości wektora
polaryzacji w jego wnętrzu.
Rozważmy jeszcze raz naładowany kondensator wypełniony
dielektrykiem.
Reinhard Kulessa
8
A
pol
swob
W celu znalezienia wypadkowego natężenia pola elektrycznego,
zastosujmy do zaznaczonej czerwonej powierzchni Prawo Gaussa .
 swob  A   pol  A
EA
0
 swob   pol
E
0
Reinhard Kulessa
9
Korzystając z równania (8.3) otrzymujemy:
E

 swob  P
.
(8.4)
0
Pamiętamy, że wektor polaryzacji dielektryka P zależy od
natężenia zewnętrznego pola elektrycznego E. Tą zależność
zapisuje się zwykle w postaci:


P   0 E
(8.5)
Wielkość  nazywamy podatnością elektryczną dielektryka.
Podatność elektryczna nie zawsze musi być liczbą.W wielu
przypadkach jest wielkością tensorową. Gdy mamy
cząsteczkę o wyróżnionej osi symetrii ( nie sferę), to można
się spodziewać się innego przesunięcia ładunku wzdłuż osi
Reinhard Kulessa
10
Cząsteczki niż w kierunku prostopadłym do niej. Zachodzi to
np. dla cząsteczki CO2.
O
Może być tak, że:
E
P


P||   0  1 E||


P
  02 E

E
P
P||
O
C
E||
Widzimy więc, że wektor
polaryzacji może nie być
równoległy do wektora pola
elektrycznego.
Wzór (8.4) możemy napisać
następująco:
Reinhard Kulessa
11


Px , y ,z   0  E x , y ,z
Gdzie,
  xx ,  xy ,  xz 


    yx ,  yy ,  yz 



,

,

zx
zy
zz 

Element xz oznacza, że składowa Ex natężenia pola
elektrycznego daje przyczynek do składowej Pz wektora
polaryzacji, itp..
Zwykle tensor podatności elektrycznej jest symetryczny, tzn.
xy = yx, xz = zx , zy = yz .
Reinhard Kulessa
12
Tensor ten jest więc opisany przez sześć elementów.
Można znaleźć układ współrzędnych w którym  jest tensorem
diagonalnym.
Po tych uwagach wróćmy do wzorów (8.4) i (8.5).
W oparciu o te wzory możemy napisać:
 swob   0 E
E
0
Po krótkich przekształceniach otrzymujemy:
 swob  1 
E
 

0 1   
(8.6)
Widzimy więc, że E < Eswob. Wielkość
1   
(8.7)
Wielkość  nazywamy stałą dielektryczną lub przenikalnością
Reinhard Kulessa
13
elektryczną ośrodka.
Korzystając z wzoru (8.6) możemy napisać wyrażenie na
pojemność kondensatora płaskiego wypełnionego
dielektrykiem.
 0 A
Q  swob A  0 (1   )
C 

A
V
Ed
d
d
8.3 Ładunek polaryzacyjny dla niejednorodnej polaryzacji
Niejednorodna polaryzacja zachodzi wtedy, gdy polaryzacja
zmienia się od miejsca do miejsca, czyli.
  
P  P(r )
Należy więc oczekiwać, że wewnątrz dielektryka pojawi się
jakaś gęstość ładunku 0, gdyż przez część powierzchni
ograniczającej obszar o małej objętości może wejść więcej
ładunku niż wyjść przez drugą jej część.
Reinhard Kulessa
14
Ilość ładunku przechodzącego przez powierzchnię jest maksymalna
gdy wektor polaryzacji P do powierzchni a minimalna,
gdy jest on równoległy do powierzchni.
Możemy to napisać w następujący sposób:
 pol
 
 Pn
(8.8)
Wektor n jest wektorem prostopadłym do powierzchni
ograniczającej objętość, który rozważamy.
Ładunek przesunięty na zewnątrz obszaru o objętości 
pozostawia w środku ładunek przeciwnego znaku
Q pol   
A
 
P  n dA
Z drugiej strony ładunek Qpol możemy przypisać przestrzennemu
ładunkowi polaryzacyjnemu o gęstości pol
Reinhard Kulessa
Q pol    pol d

15
Jeśli tak się zdarzy, to w przypadku niezerowej gęstości ładunku
polaryzacyjnego można powiązać tą gęstość z wektorem
polaryzacji przez Prawo Gaussa. Otrzymujemy wtedy:

A
 
P  n dA     pol d

(8.9)
dA = n dA jest wektorem reprezentującym powierzchnię w której
zawiera się ładunek polaryzacyjny.
Stosując twierdzenie Gaussa do całki powierzchniowej
otrzymujemy:
 
 

A
P  n dA      P d

Z tych dwóch równań mamy, że
 pol

 div P
(8.10)
Równanie (8.10) przedstawia różniczkową postać Prawa Gaussa
dla dielektryków.
Reinhard Kulessa
16
8.4 Równania elektrostatyki w dielektrykach
Prawo Gaussa w formie całkowej ma następującą postać:
  Qswob  Q pol Qswob

 E  dA 
a
0
 
  P  dA
0
A
(8.11)
Można to również zapisać tak:

  P   Qswob
A  E   0   dA   0
(8.12)
Forma różniczkowa Prawa Gaussa wygląda następująco:
  swob   pol
div E 
0

 swob  div P

.
0
Reinhard Kulessa
(8.13)
17
Po przekształceniu ostatniego wzoru otrzymujemy:

  P   swob
div  E   
0 
0

(8.14)
W oparciu o wzór (8.7) otrzymujemy:




 swob ,
div E 1     div  E 
oraz

A
 
  Qswob
 E  dA 
0
Reinhard Kulessa
0
.
(8.15)
(8.16)
18
8.5 Wektor przesunięcia D
Ze względów historycznych przyjęło się wprowadzać wektor D
zwany wektorem przesunięcia zdefiniowany następująco:

 
D  0E  P
(8.17)
Wprowadzając do tego wzoru wyrażenie na polaryzację z wzoru
(8.5) możemy napisać:





D   0 E   0  E   0 E(1   )    0 E
(8.19)
Współczynnik  ( (1+)) nazywamy względną
przenikalnością dielektryczną ośrodka.
Należy pamiętać, że  i  są tensorami.
Reinhard Kulessa
19
Wszystkie dotychczasowe rozważania nie wpływają na
zachowawczość pola E . Dalej słuszne jest równanie rot E = 0.
Równanie to razem z prawem Gaussa w formie różniczkowej
pozwala wyznaczyć pole E z dokładnością do stałej
addytywnej.
Równania (8.15) i (8.16) po wprowadzeniu wektora D
przechodzą odpowiednio w:

A

div D   swob


D  dA  Qswob
Reinhard Kulessa
(8.20)
20
8.6 Dielektryk z trwałymi momentami dipolowymi
W rozdziałach (5.7.4) i (5.9) omówiliśmy własności dipola i jego
oddziaływanie z polem elektromagnetycznym. Przyłożone pole
elektryczne może uszeregować dipole. To porządkujące działanie
pola jest niszczone przez ruchy termiczne. Można więc
przypuszczać, że stopień uporządkowania dielektryka polarnego
będzie określony przez relację pomiędzy energią potencjalną
uzyskiwaną przez działania zewnętrznego pola o natężeniu E, a
energią kinetyczna ruchu termicznego.
W równaniu (5.32) stwierdziliśmy, że energia potencjalna dipola
umieszczonego w polu o natężeniu E jest dane przez :
E pot
 
  P  E   PE cos 
Reinhard Kulessa
21
W oparciu o mechanikę statystyczną, w stanie równowagi
termicznej liczba cząstek o energii potencjalnej Ep jest
proporcjonalna do
, gdzie T jest temperaturą
 E p o t / kT
e
w skali
bezwzględnej, a k- jest
stałą Bolzmana.
Okazuje się, że w polarnym dielektryku, w jednostkowym
kącie bryłowym d liczba cząsteczek n() odchylonych o kąt
 od kierunku pola elektrycznego E jest równa:
 pE cos  
n( )  n0 exp 

 kT

Dla zwykłych temperatur i pól wykładnik ten jest mały. Można
więc eksponentę rozwinąć w szereg.
p0 E cos 
n( )  n0 (1 
)
kT
Reinhard Kulessa
(8.21)
22
W oparciu o powyższy wzór całkowita liczba cząsteczek w
rozważanej objętości jest równa:
 n( ) d  N  n
0
 4
bo całka z cos() po całej objętości jest równa zero.
Z równania (8.21) wynika, że więcej cząstek będzie miało

ustawione momenty dipolowe równolegle do pola 


zewnętrznego E niż antyrównolegle p0  E .
p0  E
W materiale pojawi się więc pewien wypadkowy moment
dipolowy. Wypadkowa polaryzacja |P| będzie więc równa:
P   n( i ) p0 cos  i
Reinhard Kulessa
23
Pamiętając od czego zależy n() , całkowitą polaryzację
otrzymamy całkując po kątowej zależności elementu objętości
d, czyli po sin d d.
  2
| P |   n( ) p0 cos  sin  d d
o 0
Po podstawieniu wartości n() i wycałkowaniu po kącie , otrzymamy,
  N
p0 E cos  
P   1 
 p0 cos  2   d cos  
4 
kT

0
Korzystając z całki
1
 1  ax x dx  2 / 3a
otrzymujemy:
1
Reinhard Kulessa
24

Np02 E
P 
3kT
(8.22)
Zgodnie z wzorami (8.5) (P=0E) i (8.7) (1+=), otrzymujemy,
że:
Np02
 1 
3 0 kT
.
(8.23)
Polaryzacja dielektryka polarnego jest proporcjonalna do
przyłożonego natężenia pola elektrycznego i odwrotnie
proporcjonalna do temperatury. Zależność polaryzacji od 1/T
nazywamy prawem Curie.
Widzimy również, że dla dielektryków polarnych podatność
dielektryczna czy też stała dielektryczna jest malejącą funkcją
temperatury T.
Reinhard Kulessa
25

Ten kąt jest miarą polaryzacji,
gdyż
1
1/T

 p02
1
( )
T
Pomiar  dla różnych temperatur pozwala ustalić czy mamy do
czynienia z dielektrykiem polarnym czy nie.
Reinhard Kulessa
26