Półprzewodniki Pole magnetyczne

Wykład 17
13 Półprzewodniki
13.1 Rodzaje półprzewodników
13.2 Złącze typu n-p
14 Pole magnetyczne
14.1 Podstawowe informacje doświadczalne
14.2 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego
Reinhard Kulessa
1
3 Efekt Josephsona został przewidziany w oparciu o teorię
BCS. Polega on na tym, że jeśli pomiędzy dwoma
przewodnikami znajduje się cienka warstwa izolacyjna o
grubości od 10 Å do 20 Å, przez warstwę tą mogą dyfundować
pary Coopera. Jeśli do tej warstwy przyłożymy napięcie U, to
pojawia się przemienne napięcie o bardzo wysokiej częstości,
która jest równa:
 J  2U e / h  U / 0
 J ( Hz )  0.4835  1015U (V )
Powyższe równanie umożliwia bardzo dokładny pomiar wartości
e/h, ponieważ stała Plancka może zostać obliczona z dużą
dokładnością.
Reinhard Kulessa
2
13 Półprzewodniki
Wspominaliśmy już, że przewodnictwo ciał stałych zależy od
wzajemnego położenia pasma walencyjnego i pasma
przewodnictwa, oraz od liczby elektronów, które mogą dojść do
pasma przewodnictwa.
W półprzewodniku typowy rozkład energii pasma walencyjnego i
przewodnictwa wygląda następująco.
E
P
ED
Pasmo przewodnictwa
•••••••••••••
E
F
EA
EW
E-przerwa
energetyczna
°°°°°°°°°°°°
Pasmo walencyjne
Reinhard Kulessa
3
13.1 Rodzaje półprzewodników
Półprzewodniki klasyfikuje się w zależności od koncentracji
donorów (ND) i akceptorów (NA). Wpływają one na
koncentrację nośników nadmiarowych(elektronów) typu n
(ujemnych) i niedomiarowych(dziur), typu p (dodatnich).
Rozróżniamy więc następujące półprzewodniki:
A). Typu i, dla których ND=NA=0. Posiadają one własne
przewodnictwo, czyli odpowiednią koncentrację elektronów i
dziur. Koncentracja ta jest proporcjonalna do,
E
n  p  nopt  T exp( 
)
2kT
3
2
Reinhard Kulessa
(13.1)
4
Oznaczenia energii na osi pionowej są następujące:
EW - górna energia pasma walencyjnego,
EA - energia poziomu energetycznego akceptorów,
EF - energia Fermiego,
ED - energia poziomu energetycznego donorów,
EP - najniższa energia pasma przewodnictwa.
E = EP – EW – szerokość przerwy energetycznej
Szerokość przerwy energetycznej dla germanu(Ge) wynosi 0.66eV.
Donory
EP-ED(eV)
Sb
0.0097
P
0.0120
As
0.0127
Li
0.009
Akceptory
Al
EA-EW(eV) 0.0102
Ga
0.0108
In
0.0112
B
0.0100
Reinhard Kulessa
5
Następstwem takiej zależności koncentracji jest zależność
temperaturowa przewodnictwa właściwego czystych
półprzewodników.
 (T )  exp( 
E
2kT
)
(13.2)
B). Typu-n z ND0 i NA0. Dla tego typu
półprzewodników nośnikami są elektrony, których istnieje
duży nadmiar n>>p. W niskich temperaturach współczynnik
przewodnictwa właściwego zależy od energii stanów
donorowych ED.
 (T )  expED  EP  / 2kT 
(13.3)
C). Typu-p z ND0 i NA0. Dla tego typu półprzewodników
Reinhard Kulessa
6
Nośnikami są dziury. Występuje w nich niedomiar elektronów
n<<p. W niskich temperaturach współczynnik przewodnictwa
właściwego zależy od temperatury zgodnie z zależnością;
 (T )  exp EW  E A  / 2kT 
(13.4)
D). Typu-k , dla których ND0 i NA0. Jest to tzw.
półprzewodnik kompensacyjny. Wpływ donorów i akceptorów
częściowo się kompensują. Przewodnictwo półprzewodników
typu n i p jest w wysokich temperaturach takie jak typu i.
Reinhard Kulessa
7
13.2 Złącze typu n-p
Złącze n-p
p
n
Koncentracja
donorów i
akceptorów
Koncentracja
dziur i
elektronów
dziury
elektrony
Na wysokość bariery U możemy
wpływać przez przyłożenie
napięcia do złącza n-p.
Gęstość
ładunku
potencjał
Dzięki dyfuzji elektronów z n do
p i dziur z p do n powstaje w
warstwie przejściowej strefa
ujemnego i dodatniego ładunku
przestrzennego stanowiącego
warstwę zaporową. W
warunkach równowagi
termodynamicznej nie płynie
prąd elektryczny.
U
p
Reinhard Kulessa
n
8
14 Pole magnetyczne
14.1 Podstawowe informacje doświadczalne
Poza polem elektrycznym E istnieje również pewne inne pole
wektorowe B, które możemy określić jako pewien stan
przestrzeni. Pole to jest wytwarzane przez np. stałe magnesy i
wszelkiego rodzaju prądy elektryczne. Można go uwidocznić
przez np. igłę kompasową, opiłkami żelaza, oraz siłą, którą to pole
działa na poruszające się ładunki.
Nauka o magnesach stałych rozwijała się niezależnie, lecz prawie
równolegle z elektrostatyką. Bazowała ona na znanych
materiałach magnetycznych.
Jaka jest ewidencja doświadczalna dotycząca pól magnetycznych/
Stwierdzono, że w magnesach naturalnych efekty magnetyczne
są najsilniejsze na końcach magnesu, nazywanych
Reinhard Kulessa
9
biegunami. Obserwacje można przeprowadzić przy pomocy igły
magnetycznej lub opiłków żelaza.
Biegunów magnesu nie da się wyizolować, tak jak można
rozdzielić ładunki elektryczne.
Reinhard Kulessa
10
N
S
N
N
S
S
N
S
Wokół magnesów stałych rozchodzą
się linie pola magnetycznego,
podobnie jak było to dla pola
elektrycznego. Zobaczymy jednak, że
linie pola magnetycznego są
zamknięte.
Reinhard Kulessa
11
Bieguny magnetyczne występują zawsze parami (dwa przeciwne)
o tej samej wielkości.
Dla biegunów magnetycznych możemy analogicznie do ładunków
w elektrostatyce, zdefiniować wielkość charakteryzującą siłę tych
biegunów. Oznaczmy tą wielkość przez M, którą możemy
nazywać masą magnetyczną.
Oddziaływanie biegunów magnetycznych odbywa się zgodnie z
równaniem;
 M1 M 2
F
40 r 2
(14.1)
.
Wielkości M1,2, określają siłę biegunów magnetycznych, r
odległość pomiędzy nimi, a 0 oznacza przenikalność
magnetyczną próżni, przy czym.
0 = 4·10-7 V s A-1 m-1
Reinhard Kulessa
12
Z zależności siły działającej pomiędzy biegunami
magnetycznymi wynika, że możemy zastosować tutaj dobrze
nam znany formalizm dotyczący grawitacji i elektrostatyki,
wprowadzając m.in. natężenie i potencjał pola magnetycznego.
Elektrostatyka
Siła
Natężenie
Pola
 M 1M 2 
F
r
3
40 r

E
Q1
40 r 3

r
Reinhard Kulessa
Magnetostatyka
 M1 M 2 
F
r
3
40 r

M1 
H
r ( A / m)
3
40 r
13
Ziemia posiada również własne pole magnetyczne. Bieguny
magnetyczne nie pokrywają się z biegunami geograficznymi.
Geograficzna
Północ
Ziemskie
pole
magnetyczne
Magnetyczne
Południe
Ziemskie
pole
magnetyczne
Magnetyczna
Północ
Geograficzne Południe
Reinhard Kulessa
14
Powiedzieliśmy, że pole magnetyczne wytwarzane jest również
przez wszelkiego rodzaju prądy elektryczne. Pole magnetyczne
wpływa na poruszające się ładunki elektryczne, działając na nie
siłą.
Wprowadzone w tabelce na stronie 13 natężenie pola
magnetycznego jest wielkością, którą uwzględnia się ze
względów historycznych podobnie jak wektor przesunięcia w
elektrostatyce. Drugą wielkością charakteryzującą pole
magnetyczne jest wektor indukcji magnetycznej B.


B  0 H
(14.2)
Okazało się, że właściwe pole magnetyczne opisane jest przez
wektor indukcji magnetycznej B, a wektor natężenia pola
magnetycznego opisuje tą część pola, która jest wytwarzana
Reinhard Kulessa
15
przez makroskopowe prądy elektryczne o natężeniu I, dipoli
atomowych i prądów okrężnych ośrodka materialnego.
Jednostkami natężenia pola magnetycznego H, oraz indukcji
magnetycznej B w układzie SI są odpowiednio:



H  A  m 1

B  1 Tesla  1T  V  s  m 2
W podanym kształcie równanie (14.2) ogranicza się do próżni.
Będziemy również rozważali zachowanie się tych pól w
obecności materii.
Wróćmy w tej chwili do doświadczalnej ewidencji siły, którą
pole indukcji magnetycznej wywiera na poruszające się
ładunki.
Reinhard Kulessa
16
Znane są następujące fakty doświadczalne dotyczące oddziaływania
pola indukcji magnetycznej na poruszające się elektrony:
a). Poruszające się elektrony są odchylane ,
b). Działająca na ładunki siła F jest ⊥ do kierunku wskazywanego
przez igłę magnetyczną, czyli do kierunku wektora B,
c). Siła F ⊥ do prędkości ładunku v,
d). Siła F ∝ | v |,
e). Wartość siły F ∝ q.
Wszystkie te wyniki doświadczalne zebrał Hendrik
Lorentz(1853-1928) definiując siłę nazwaną obecnie siłą
Lorentza

 

F  k  q( v  B )
(14.3)
W układzie SI stała proporcjonalności (k* =1).
Reinhard Kulessa
17
Równanie (14.3) jest równocześnie definicją wektora indukcji
magnetycznej B przez znane wielkości, siłę F, ładunek q, oraz
prędkość v.
W ogólnym przypadku na cząstkę o ładunku q poruszającą się w
jakimś układzie współrzędnych działa siła:


 
F  qE  q( v  B )
(14.4)
Zauważając, że przewodnik z prądem zawiera poruszające się
ładunki, możemy rozszerzyć prawo Lorentza (14.3)
I
dl

 
dF  dq(v  B)

 dq 
dq  v   v  dt  I  dl
dt
B
Reinhard Kulessa
18
Otrzymujemy wyrażenie na siłę działającą na element przewodu
ds, przez który płynie prąd I. Jest to siła Biota – Savarta.
 

dF  I  ( dl  B )
(14.5)
Analogicznie do strumienia pola elektrycznego możemy
zdefiniować strumień wektora indukcji magnetycznej .
B
 
 B   B  dA
A
dA
(14.6)
Ze względu na to, że linie pola indukcji magnetycznej są
zamknięte zgodnie z prawem Gaussa zachodzi:
Reinhard Kulessa
19
 
 B  dA  0
(14.7)
A
Rezultat ten jest niezależny od tego, czy powierzchnia A zawiera
przewodniki, izolatory, ładunki, natężenia prądu, czy magnesy.
Powierzchnia A
z
B
N
S
x
y
Reinhard Kulessa
Ponieważ nie istnieją
monopole magnetyczne,
strumień pola indukcji
magnetycznej przez
powierzchnie A musi
być równy zero.
20
W oparciu o twierdzenie Ostrogradzkiego-Gaussa możemy napisać;
 

 B  dA   div B  d  0
A
(14.8)

Równanie to jest spełnione dla każdej objętości , a więc również
dla objętości d. Otrzymujemy więc;

div B  0
(14.9)
Równanie (14.9) opisuje fundamentalną własność pola indukcji
magnetycznej. Jest to pole bezźródłowe. Linie pola B nie mają
ani początku ani końca. Tworzą one więc wiry.
Dla
natężenia pola elektrycznego zgodnie z równaniem (5.7)
 
div E 
0
Reinhard Kulessa
21
Równanie (14.9) mówi nam, że nie ma rozdzielonych ładunków
magnetycznych.
Z bezźródłowości pola indukcji magnetycznej którą inaczej
nazywamy solenoidalnością wynika, że pole to charakteryzuje
się pewnym potencjałem wektorowym A. Zakładamy, że
potencjał ten też jest bezźródłowy, oraz że znika w
nieskończoności . Definiujemy go następującym wzorem.


B  rot A
(14.10)
Zgodnie z twierdzeniem Stokes’a możemy zdefiniować strumień
indukcji pola magnetycznego jako krążenie(cyrkulację) potencjału w
wektorowego A.
 
 
 B   B  dA   rot   dA     dl
A
A
Reinhard Kulessa
(14.11)

22
14.2 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego
Rozważmy element przewodnika o długości dl, przekroju A, w
którym płynie prąd, którego nośniki o ładunku q i o liczbie N w
jednostce objętości, mają średnią prędkość v. Gęstość prądu
j=Nqv, a natężenie prądu I=Aj. Zakładamy, że ładunki poruszają
się równolegle do przewodnika.
P
r
dl

A
I
Jeśli w przewodniku znajduje się n nośników,to wytwarzają
Reinhard Kulessa
23
one pole

0 q
dB  n
4r 2

0
 r 
v   
2
r
4

r




r

( nqv )  r 
Wiemy, że n = N·d = N·A·dl,wobec tego
n q v  N A dl  q  v  ( Nqv)  A  dl  j A dl  I dl
Ponieważ zachodzi, że nqv=Idl, stąd;
  0 I   r 
dB 
dl  
2 
4r 
r
(14.10)
Jest to prawo Biota-Savarta.
Reinhard Kulessa
24