Wykład 3

Wykład 6
Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne.
Przypominamy, że zbiór nazywamy przeliczalnym, jeśli jest on równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb
naturalnych N , a co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest on przeliczalny lub skończony.
Podamy najpierw definicję przestrzeni metrycznej ośrodkowej i omówimy kilka z jej własności.
Definicja 65 (przestrzeni ośrodkowej)
Przestrzeń metryczną  X ,   nazywamy ośrodkową, jeśli istnieje zbiór co najwyżej przeliczalny i gęsty w tej
przestrzeni, tj. istnieje zbiór A  X taki, że A jest co najwyżej przeliczalny i Cl ( A)  X .
Zbiór, A o którym mowa w definicji 65, nazywa się często ośrodkiem przestrzeni X .
Przykład 66 (przestrzeni ośrodkowej)

Przestrzeń euklidesowa R, 

jest ośrodkowa, gdyż przyjmując A  Q łatwo widać, że A jest zbiorem
przeliczalnym i ponadto Cl ( A)  R .
Twierdzenie 67
Obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenią ośrodkową.
Dowód
Niech
X , 1 
będzie przestrzenią metryczną ośrodkową, a Y ,  2  dowolną przestrzenią metryczną i niech
f : X  Y będzie dowolną funkcją ciągłą. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że f  X   Y , tj. że funkcja
f odwzorowuje przestrzeń X na Y . Wybierzmy jakiś, co najwyżej przeliczalny zbiór A gęsty w przestrzeni
X . Oczywiście f  A jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym w przestrzeni Y jako, że jest to obraz zbioru co
najwyżej przeliczalnego A . Zostało wykazać, że f  A jest zbiorem gęstym w przestrzeni Y . Zgodnie z
twierdzeniem 51 (a) wystarczy pokazać, że biorąc dowolny niepusty zbiór U otwarty w przestrzeni Y zbiór
U  f  A jest niepusty. Weźmy zatem dowolny niepusty zbiór U otwarty w przestrzeni Y . Zbiór V  f 1 U 
jest otwarty w X , gdyż funkcja f jest ciągła (zob. twierdzenie 55 (a)) i niepusty w X , gdyż f jest
odwzorowaniem „na”. Ponieważ zaś A jest gęsty w przestrzeni X , więc (zob. twierdzenie 51 (a)) zbiór V  A
jest niepusty. Weźmy x0 V  A . Mamy f x0   f V  A  f V   f  A  U  f  A , a to pokazuje, że zbiór
U  f  A jest niepusty. Zbiór f  A jest zatem zbiorem co najwyżej przeliczalnym i gęstym w przestrzeni Y, a
to oznacza, że przestrzeń Y ,  2  jest ośrodkowa.

Twierdzenie 68
Jeżeli w przestrzeni metrycznej
X ,  
istnieje nieprzeliczalny zbiór B o tej własności, że dla dowolnych
x, y  B takich, że x  y mamy  x, y   r0 , gdzie r0 jest pewną liczbą dodatnią, to przestrzeń ta nie jest
ośrodkowa.
1
Dowód
X ,  
Przypuśmy wbrew tezie, że przestrzeń
jest ośrodkowa. Niech A będzie zbiorem co najwyżej
przeliczalnym i gęstym w tej przestrzeni, a B zbiorem nieprzeliczalnym o własności wspomnianej w założeniu
  r 

twierdzenia. Rozważmy rodzinę zbiorów R   K  x, 0  : x  B  . Zauważmy, że zbiory tej rodziny są parami
  3

r 
 r 

rozłączne. Istotnie gdyby tak nie było, to K  x0 , 0   K  y0 , 0    dla pewnych x0 , y0  B . Wówczas
3
3


istniałby punkt
z0  X
 z0 , y0  
Stąd
r0
.
3
taki, że
zaś,
 x0 , y0    x0 , z0    z0 , y0  
r 
 r 

z0  K  x0 , 0  i z0  K  y0 , 0 
3
3


biorąc
pod
uwagę
nierówność
lub równoważnie
trójkąta
dla
 z0 , x0  

r0
3
i
dostalibyśmy:
2r0
 r0 , co jest jednak niemożliwe, gdyż na mocy założenia  x, y   r0 dla
3
wszystkich x, y  B .
 r 
Weźmy dowolny element rodziny R , tj. kulę K  x, 0  – jednoznacznie wyznaczony element x  B . Na mocy
 3
 r 
 r 
twierdzenia 51 (a) K  x, 0   A   , a stąd istnieje a x  A taki, że a x  K  x, 0  . A ponieważ rodzina R
 3
 3
składa się z różnych elementów, to tym samym istnieje różnowartościowa funkcja f : R  A , która każdemu
 r 
elementowi K  x, 0  przyporządkowuje punkt a x . To jest jednak niemożliwe, gdyż to by oznaczało, że
 3
nieprzeliczalny zbiór f R

jest podzbiorem zbioru co najwyżej przeliczalnego A . Przestrzeń  X ,   nie jest
zatem przestrzenią ośrodkową.

Łatwo teraz podać przykład przestrzeni, która nie jest przestrzenią ośrodkową.
Przykład 69 (przestrzeni nie ośrodkowej)
Korzystając z twierdzenia 68 widzimy, że przestrzeń dyskretna R, 01  nie jest ośrodkowa. Istotnie, biorąc
B  IQ widzimy, że B jest zbiorem nieprzeliczalnym i że dla dowolnych x, y  B takich, że x  y mamy
 x, y   1  r0 .
Przejdziemy teraz do zdefiniowania i podania kilku własności kolejnej klasy ważnej klasy przestrzeni
metrycznych, a mianowicie przestrzeni metrycznych zupełnych.
Definicja 70 (przestrzeni zupełnej)
Przestrzeń metryczną  X ,   nazywamy zupełną, jeśli każdy ciąg xn  elementów tej przestrzeni spełniający
warunek Cauchy’ego jest zbieżny (do punktu tej przestrzeni), tj. istnieje punkt x  X taki, że lim xn  x .
n 
2
Przykład 71 (przestrzeni zupełnej)


Z twierdzenia 23 bezposrednio otrzymujemy, że każda przestrzeń euklidesowa R k , e jest zupełna.
Podamy teraz dwa ważne w zastosowaniach twierdzenia, dotyczące przestrzeni metrycznych zupełnych.
Twierdzenie 72 (Cantora)
W przestrzeni metrycznej zupełnej zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych, których średnice tworzą
ciąg zbieżny do zera, posiada dokładnie jeden punkt wspólny.
Dowód
Niech  X ,   będzie przestrzenią metryczną zupełną i Fn  dowolnym ciągiem zstępującym niepustych zbiorów
domkniętych, których średnice tworzą ciąg zbieżny do zera. Dla każdej liczby naturalnej n niech xn będzie
wybranym elementem zbioru Fn . Pokażemy, że utworzony w ten sposób ciąg
xn 
spełnia warunek
Cauchy’ego. Niech   0 będzie dowolną liczbą dodatnią. Ponieważ lim diamFn   0 , więc istnieje n0  N
n
takie, że diamFn    dla n  n0 . Biorąc teraz k, l  N takie, że k , l  n0 mamy
xk  Fk  Fn0 i xl  Fl  Fn0 ,
 
skąd  xk , xl   diam Fn0   . Ciąg xn  spełnia więc warunek Cauchy’ego, a ponieważ przestrzeń  X ,   jest
zupełna, to ciąg ten jest zbieżny do pewnego elementu x  X . Ustalmy m  N . Dla n  m mamy
xn  Fn  Fm , a ponieważ x  lim xn , to na mocy twierdzenia 38 (a) x  Cl Fm  . Ponieważ zaś zbiór Fm jest
n

domknięty, więc x  Fm . Pokazaliśmy zatem, że x  Fm dla wszystkich m  N , tj. x   Fm . Zbiór
m 1

F
m
jest
m 1
zatem niepusty.

Łatwo teraz pokazać, że
F
m
składa się z dokładnie jednego punktu. Istotnie, gdyby istniały dwa różne punkty
m 1

x
i
y
należące
do
F
m
,
to
biorąc
dowolne
mN
dostalibyśmy
m 1
diamFm   sup x1 , y1  : x1 , y1  X    x, y   0 , co przeczy warunkowi lim diamFn   0 .

n
Twierdzenie 73 (Baire’a)
Jeżeli  X ,   jest przestrzenią metryczną zupełną, to:
(a) iloczyn przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych i gęstych w X jest zbiorem gęstym w X .
(b) suma przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych i brzegowych w X jest zbiorem brzegowym w X .
Dowód

(a) Niech G1 , G2 , G3 ,  będą zbiorami otwartymi i gęstymi w przestrzeni X . Musimy pokazać, że zbiór
G
n
n 1
jest gęsty w przestrzeni X . Weźmy dowolny niepusty zbiór otwarty V0 w X . Ponieważ zbiór V0  G1 jest
3
niepusty (gdyż G1 jest gęsty – zob. twierdzenie 51 (a)) i otwarty jako iloczyn dwóch zbiorów otwartych (zobacz
uwaga 33 (d)), więc znajdziemy niepusty zbiór otwarty V1 o średnicy mniejszej niż
1
taki, że Cl V1   V0  G1 .
1
I dalej, ponieważ zbiór V1  G2 jest niepusty (gdyż G2 jest gęsty – zob. twierdzenie 51 (a)) i otwarty jako
iloczyn dwóch zbiorów otwartych (zobacz uwaga 33 (d)), więc znajdziemy niepusty zbiór otwarty V2 o średnicy
mniejszej niż
1
taki, że Cl V2   V1  G2 . Postępując tak dalej i biorąc niepusty zbiór otwarty Vn1  Gn
2
znajdziemy niepusty zbiór otwarty Vn o średnicy mniejszej niż
1
taki, że Cl Vn   Vn1  Gn . A zatem istnieje
n
ciąg Vn  niepustych zbiorów otwartych taki, że
Cl Vn   Vn1  Gn i diamVn  
1
dla n  1,2,3, 
n

Niech K   Cl Vn  . Ponieważ zbiory Cl Vn  są niepuste (gdyż Vn są niepuste), domknięte (zob. uwaga 28
n 1
(c)), o średnicach tworzących ciąg zbieżny do zera (gdyż diamCl Vn   diamVn  
1
) oraz zstępujące (gdyż
n
Cl Vn   Vn1  Gn  Vn1  Cl Vn1  , n  N ), więc na mocy twierdzenia Cantora (zob. twierdzenie 72) zbiór K
jest jednopunktowy, skąd niepusty. Dostajemy zatem





n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
  K   Cl Vn   Vn1  Gn  Vn1   Gn  V0   Gn ,

i po skorzystaniu z twierdzenie 51 (a), zbiór
G
n
jest gęsty w X .
n 1
(b) Niech F1 , F2 , F3 , będą zbiorami domkniętymi i brzegowymi w przestrzeni X . Musimy pokazać, że zbiór

F
n
jest brzegowy w przestrzeni X . Rozważmy zbiory: X \ F1 , X \ F2 , X \ F3 ,  Oczywiście są one otwarte
n 1
(jako dopełnienia zbiorów domkniętych) i gęste w przestrzeni X , gdyż
Cl  X \ Fn   X \ Int X \  X \ Fn   X \ IntFn   X \   X , dla n  1,2,3, 
(zob. twierdzenie 31).

Korzystając teraz z (a) zbiór
  X \ F  jest gęsty w
n
X , a stąd
n 1





Cl  X \ Fn   Cl   X \ Fn   X ,
n1


 n1




co wobec definicji 35 zbioru brzegowego pokazuje, że
F
n
jest zbiorem brzegowym w przestrzeni X .

n 1
Definicja 74 (zbiorów typu G i F )
Zbiór, który można przedstawić w postaci sumy przeliczalnej ilości zbiorów domkniętych, nazywamy zbiorem
typu F , a zbiór który można przedstawić w postaci iloczynu przeliczalnej ilości zbiorów otwartych, nazywamy
4
zbiorem typu G .
Przykład 75 (zbiory typu G i F )
(a) Łatwo zauważyć, że każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej R postaci (a, b) , (a, b] , [a, b) lub [a, b] ,
gdzie a, b  R i a  b , jest zarówno zbiorem typu F jaki i G .
(b) Pokażemy, że zbiór liczb wymiernych Q jest zbiorem typu F , a zbiór liczb niewymiernych IQ jest
zbiorem typu G , jeśli zbiory te rozpatrywane są jako podzbiory przestrzeni euklidesowej R . Ponieważ zbiór
liczb wymiernych Q jest zbiorem przeliczalnym, więc ustawiając go w ciąg q1 , q2 , q3 ,  dostajemy

Q   qn  . A ponieważ każdy ze zbiorów qn  jest domknięty (gdyż jest jednopunktowy), to zbiór liczb
n 1


n 1
n 1
wymiernych Q jest zbiorem typu F . I dalej, ponieważ IQ  R \ Q  R \  qn    R \ qn  i zbiory
R \ qn  są otwarte, to zbiór liczb niewymiernych IQ jest zbiorem typu G .
(c) Wykorzystujac twierdzenie Baire’a można pokazać, że zbiór liczb niewymiernych IQ nie jest zbiorem typu
F (a stąd, że zbiór liczb wymiernych Q nie jest zbiorem typu G ). Istotnie, gdyby zbiór liczb niewymiernych
IQ był zbiorem typu F , to byłby sumą przeliczalnej ilości zbiorów domkniętych, z których każdy byłby tak
naprawdę zbiorem brzegowym, gdyż sam zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem brzegowym. Ponieważ zaś
zbiór liczb wymiernych jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów jednopunktowych, czyli domniętych i
brzegowych, więc cała przestrzeń zupełna R (zob. przykład 71) dałaby się przedstawić jako suma przeliczalnej
ilości zbiorów domkniętych i brzegowych. Zgodnie z twierdzeniem Baire’a (zob. twierdzenie 73), byłaby ona
zbiorem brzegowym, tj. Int(R)   , a wiemy, że tak nie jest. A zatem zbiór liczb niewymiernych IQ nie jest
zbiorem typu F , i co za tym idzie, zbiór liczb wymiernych Q nie jest zbiorem typu G .
Kolejne twierdzenia podają pewne cechy, które charakteryzują przestrzenie metryczne zupełne i ich
podzbiory.
Twierdzenie 76
Jeżeli  X ,   jest przestrzenią metryczną zupełną, to każdy jej domknięty podzbiór M też stanowi przestrzeń
metryczną zupełną.
Dowód
Musimy pokazać, że przestrzeń metryczna M ,   jest zupełna, tj., że każdy ciąg punktów tej przestrzeni
spełniający warunek Cauchy’ego jest zbieżny (do punktu tej przestrzeni). Weźmy zatem dowolny ciąg xn 
punktów przestrzeni M spełniający warunek Cauchy’ego. Oczywiście ciąg ten spełnia również warunek
Cauchy’ego w przestrzeni „szerszej”, tj. w przestrzeni
X ,   ,
a ponieważ jest to przestrzeń zupełna, więc
istnieje x  X taki, że lim xn  x . Korzystając z twierdzenia 38 (a) x  Cl (M ) , a ponieważ zbiór M jest
n 
domknięty, więc x  M .

5
Twierdzenie 77
X ,  
Niech
będzie dowolną przestrzenią metryczną, a
M ,  
jej podprzestrzenią. Jeżeli
M ,  
jest
przestrzenią zupełną, to M jest zbiorem domkniętym w X .
Dowód
Musimy pokazać, że M jest domknietym podzbiorem przestrzeni X , co wobec uwagi 28 (a) sprowadza się do
pokazania, że Cl ( M )  M . Weźmy zatem dowolny x  Cl ( M ) . Na mocy twierdzenia 38 (a) istnieje ciąg xn 
punktów przestrzeni M taki, że lim xn  x . Ponieważ ciąg ten jest zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy’ego,
n 
a ponieważ przestrzeń metryczna M ,   jest zupełna, więc jest on zbieżny do pewnego punktu zbioru M , tj.
lim xn  y dla pewnego y  M . Z jednoznaczności granicy w przestrzeni metrycznej  X ,   (zob. twierdzenie
n 
17 (b)) wnosimy teraz, że y  x , a ponieważ y  M , to i x  M . Inkluzja Cl ( M )  M zatem zachodzi, tj.
zbiór M jest domknięty w X .

Wniosek 78
Jeżeli  X ,   jest przestrzenią metryczną zupełną i M  X , to przestrzeń M ,   jest zupełna wtedy i tylko
wtedy, gdy M jest domkniętym podzbiorem przestrzeni X .
Dowód
Wynika bezpośrednio z twierdzeń 76 i 77.

Uwaga 79
Uwzględniając wniosek 78 i przykład 71 dostajemy: podzbiór M przestrzeni euklidesowej R k stanowi
przestrzeń metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy M jest domkniętym podzbiorem tej przestrzeni.
Podamy teraz definicję odwzorowania zwężającego i punktu stałego, a po niej sformułujemy bardzo ważne w
zastosowaniach twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Definicja 80 (odwzorowania zwężającego i punktu stałego)
Funkcję f : X  Y , gdzie
X , 1 
i
Y ,  2 
są przestrzeniami metrycznymi, nazywamy odwzorowaniem
zwężającym, jeśli istnieje liczba   0,1 taka, że dla dowolnych punktów x1 , x2  X spełniona jest nierówność
 2  f x1 , f x2   1 x1 , x2  .
Punkt x  X jest punktem stałym przekształcenia f : X  X , jeśli f x   x .
Na koniec podamy bez dowodu (dowód można znaleźć w wielu pozycjach do analizy) jeszcze jedno bardzo
ważne w zastosowaniach twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Twierdzenie 81 (Banacha o punkcie stałym)
Jeżeli przestrzeń metryczna
X ,  
jest zupełna i f : X  X jest odwzorowaniem zwężajacym, to f ma
dokładnie jeden punkt stały.
6