Pensum 2015 (akt. 19.03)

Zagadnienia do egzaminu dyplomowego 2014/15 – matematyka (PWSZ w Tarnowie)
Pytania na egzaminie dyplomowym dotyczą zagadnień zawartych w przedstawionej pracy
dyplomowej oraz zagadnień z kursów obowiązkowych (dla wszystkich specjalności) objętych
programem studiów matematycznych pierwszego stopnia, ze szczególnym uwzględnieniem
przedstawionych poniżej. Zdający egzamin dyplomowy powinien wykazać się znajomością
faktów oraz pojęć związanych z danym zagadnieniem, znać sformułowania twierdzeń,
potrafić je zinterpretować, podać przykłady ich zastosowania. Powinien także znać rolę
wybranych twierdzeń w rozwoju matematyki i wzajemne relacje pomiędzy różnymi działami
matematyki. Powinien w przystępny sposób prezentować osiągnięcia matematyki (także
w sposób dostępny dla niespecjalistów) a także wykazywać postawę krytyczną wobec
prezentowanych faktów.
Algebra liniowa (9 ECTS, 90 godz.)
Liniowa niezależność wektorów.
Baza i wymiar przestrzeni wektorowej.
Przekształcenia liniowe, izomorfizmy.
Macierze, reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego.
Rząd macierzy.
Odwzorowania wieloliniowe.
Wyznaczniki i ich własności.
Wzory Cramera.
Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
Wstęp do matematyki (9ECTS, 90 godz.).
Algebra zdań, algebra zbiorów.
Kwantyfikatory.
Pary uporządkowane, iloczyn kartezjański.
Relacje równoważności.
Relacje porządku.
Funkcje, składanie funkcji. Bijekcje.
Nierówność dla mocy. Moc zbioru potęgowego.
Równoliczność zbiorów, zbiory przeliczalne.
Przeliczalność Q i nieprzeliczalność R.
Zagadnienia do egzaminu dyplomowego 2014/15 – matematyka (PWSZ w Tarnowie)
Analiza matematyczna (wstęp/repetytorium, analiza matematyczna 1, 2, 3, 4, funkcje
analityczne, równania różniczkowe) (44 ECTS, 480 godz.)
Twierdzenia o zbieżności ciągów rzeczywistych.
Warunek Cauchy'ego. Granica dolna i górna ciągu. Granica ciągu.
Granica ciągu i funkcji w przestrzeniach metrycznych.
Ciągłość funkcji – definicje Cauchy'ego i Heinego.
Zupełność przestrzeni metrycznej, twierdzenie Bolzana-Weierstassa i zupełność przestrzeni
R, C i Rn.
Przestrzenie metryczne zwarte.
Ciągłość a zwartość, podzbiory zwarte Rn.
Przestrzenie metryczne spójne, ciągłość a spójność.
Podzbiory spójne R - własność Darboux funkcji.
Szeregi liczbowe zbieżne i bezwzględnie zbieżne; kryteria zbieżności szeregów.
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
Twierdzenia o wartości średniej.
Wzór Taylora dla funkcji jednej zmiennej.
Ekstrema lokalne, badanie przebiegu funkcji.
Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - warunki istnienia.
Twierdzenie o funkcji odwrotnej i funkcji uwikłanej.
Całka Riemanna funkcji jednej i wielu zmiennych rzeczywistych.
Całkowalność funkcji ciągłych prawie wszędzie.
Twierdzenia o wartości średniej dla całek.
Zbieżności punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych.
Różniczkowalność i całkowalność ciągów oraz szeregów funkcji.
Szeregi potęgowe, szeregi Taylora i funkcje analityczne.
Zagadnienia do egzaminu dyplomowego 2014/15 – matematyka (PWSZ w Tarnowie)
Funkcje wykładnicze i trygonometryczne.
Miara, zupełność miary, miara Lebesgue'a w R^n.
Całka Riemanna i całka Lebesgue'a - związki między nimi.
Twierdzenie Fubiniego i twierdzenie o zmianie zmiennych w całce.
Szeregi Fouriera i ich zbieżność.
Aproksymacja funkcji ciągłej wielomianami. Twierdzenie Weierstrassa.
Pochodna funkcji w sensie zespolonym.
Równania Cauchy’ego-Riemanna.
Funkcje harmoniczne.
Szeregi Laurenta.
Twierdzenie Cauchy’ego i twierdzenie o residuach.
Zastosowanie twierdzenia o residuach do wyznaczania wybranych całek oznaczonych.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązania problemu Cauchy’ego dla równania różniczkowego
zwyczajnego.
Rozwiązanie ogólne szczególne liniowego równania różniczkowego zwyczajnego rzędu I i II.
Rozwiązanie ogólne układu liniowych równań różniczkowych zwyczajnych rzędu I.
Arytmetyka z teorią liczb, Elementy algebry ogólnej (12 ECTS, 120 godz.)
Twierdzenie o dzieleniu z resztą w N i Z.
Własności działań na resztach.
Liczby pierwsze. Małe twierdzenie Fermata. Twierdzenie Eulera.
Własności liczb zespolonych.
Wzór de Moivre'a. Pierwiastek algebraiczny stopnia n.
Twierdzenie Lagrange’a oraz jego konsekwencje.
Struktury ilorazowe oraz twierdzenia o izomorfizmach dla grup i pierścieni.
Podstawowe typy pierścieni oraz zależności między nimi.
Zagadnienia do egzaminu dyplomowego 2014/15 – matematyka (PWSZ w Tarnowie)
Elementy algebraiczne, przestępne.
Zasadnicze twierdzenie algebry.
Elementy geometrii, podstawy topologii (7 ECTS, 90 godz.)
Twierdzenie Talesa, twierdzenie Pitagorasa, twierdzenia kosinusów i sinusów.
Trójkąty i ich własności, twierdzenie Cevy i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy.
Przekształcenia liniowe i afiniczne, izometrie.
Przestrzeń metryczna, wnętrze, domkniecie, brzeg zbioru. Kule w przestrzeni metrycznej.
Przestrzenie topologiczne. Odwzorowania ciągłe przestrzeni metrycznych.
Przekształcenia liniowe i afiniczne, izometrie, homomorfizmy.
Spójność i zwartość oraz ich konsekwencje.
Rachunek prawdopodobieństwa, teoria miary i całki (13 ECTS, 150 godz.)
Przestrzeń probabilistyczna (algebra zbiorów, prawdopodobieństwo, mierzalność, zbiory
borelowskie).
Całka Lebesgue’a. Porównanie całki Lebesgue’a z całką Riemanna.
Twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej i zbieżności ograniczonej.
Prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa.
Zmienne losowe (mierzalność, niezależność, rozkład, wartość oczekiwana, wariancja,
dystrybuanta, gęstość, funkcja charakterystyczna, kwantyle rozkładu).
Rozkład Bernoullego i ich własności.
Rozkład Poissona i ich własności.
Rozkład normalny i jego własności.
Nierówności probabilistyczne (reguła trzech sigm, nierówności Czebyszewa, Markowa,
Czebyszewa-Bienaymégo).
Twierdzenia graniczne (twierdzenia Poissona, de Moivre'a-Laplace'a, Lindeberga-Levy'ego).
Estymacja punktowa (estymatory wartości oczekiwanej i wariancji)
Estymacja przedziałowa (przedziały ufności dla wartości oczekiwanej).