Najwa*niejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii

advertisement
Najważniejsze twierdzenia w geometrii
KRÓTKI PRZEGLĄD
Geometria euklidesowa
Klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele
Elementy (z III w. p.n.e.)- pierwsza znana aksjomatyzacja w historii matematyki.
Aksjomaty:
1.Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
2.Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą).
3.Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych
punktów i promieniu równym jego długości.
4.Wszystkie kąty proste są przystające.
5.Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych
po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie
strony.
(5. Dla geometrii na płaszczyźnie: Przez dany punkt nienależący do danej prostej
można poprowadzić jedną prostą rozłączną z daną prostą.)
(aksjomaty z animacją)
Twierdzenie Ponceleta-Steinera
Mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą
cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki,
o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze
środkiem.
Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej
linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych.
Nazwa twierdzenia pochodzi od Jeana Ponceleta, który postawił je jako hipotezę
w roku 1822, oraz Jakoba Steinera, który udowodnił je w roku 1833.
(schemat dowodu)
Twierdzenie Mohra-Mascheroniego
Mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest
wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za
pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się
do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy
rysowanie linii.
Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był
jednak nieznany aż do roku 1928.
Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo
Mascheroniego w roku 1797.
(konstrukcje samym cyrklem)
Twierdzenie Talesa
Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to
odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu
kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na
drugim ramieniu kąta.
Twierdzenie Steinera-Lehmusa
Jeżeli w trójkącie długości dwóch dwusiecznych są
równe, to trójkąt jest równoramienny.
(różne dowody tw. Steinera-Lehmusa)
Definicje Sin ,Cos ,Tg ,Ctg
.
Twierdzenie sinusów
.
(dowód z twierdzenia sinusów)
.
Twierdzenie cosinusów
..
(dowód z twierdzenia sinusów)
Twierdzenie Pitagorasa
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów
długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami
na rysunku obok zachodzi tożsamość
.
Twierdzenie tangensów
(dowód z twierdzenia tangensów)
Twierdzenie Erdősa
Dla dowolnego punktu O leżącego wewnątrz trójkąta ABC zachodzi
nierówność 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐), gdzie x, y, z są odległościami
punktu O od wierzchołków trójkąta, natomiast a, b, c odległościami
punktu O od prostych zawierających boki trójkąta.
Twierdzenie o dwusiecznej kąta
wewnętrznego w trójkącie
Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli
przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych
boków.
𝐴𝐷
𝐴𝐶
=
|𝐷𝐵|
𝐵𝐶
Twierdzenie Stewarta
Niech a, b, i c będą długościami boków trójkąta. Niech d będzie dowolnym
odcinkiem (czewianą) łączącym wierzchołek naprzeciwko boku długości a z
punktem na tym boku. Niech czewiana dzieli bok a na dwa odcinki o
długościach m i n. Wówczas twierdzenie Stewarta mówi, że:
(dowód)
Twierdzenie Menelaosa
(zadania 1) (zadania)
Twierdzenie Cevy
Jeżeli trzy proste AD, BE i CF przechodzące przez wierzchołki trójkąta
ABC przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe to,:
Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe
(dowód)
(zadania)
Twierdzenie Ponceleta
Uogólnienie twierdzenia Cevy.
Proste łączące dowolny punkt z wierzchołkami wielokąta mającego
nieparzystą liczbę boków wyznaczają na przeciwległych jego bokach
takie odcinki, że iloczyn długości odcinków nie mających wspólnych
końców równa się iloczynowi długości pozostałych odcinków.
(ciekawy artykuł o odcinkach w czworokącie)
Twierdzenie Ptolemeusza
W dowolnym czworokącie ABCD, wpisanym w okrąg iloczyn długości
przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków.
Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:
Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów
długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.
(dowód)
Okrąg 9 punktów
Okrąg dziewięciu punktów znany także jako
okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to
okrąg, który przechodzi przez dziewięć
charakterystycznych punktów dowolnego
trójkąta. Punktami tymi są:
•środki boków (na rysunku niebieskie),
•spodki trzech wysokości (czerwone) oraz
•punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które
łączą wierzchołki tego trójkąta z jego
ortocentrum (zielone) .
(zadania)
(dowód)
Prosta Eulera
Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego
trójkątem równobocznym, jest to prosta, która
przechodzi przez ortocentrum tego trójkąta
(wyznaczone na rysunku przez odcinki
niebieskie), środek okręgu opisanego (linie
zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt
przecięcia jego środkowych – linie
pomarańczowe) oraz środek okręgu
dziewięciu punktów.
(dowód)
Powodzenia!
Download
Random flashcards
ALICJA

4 Cards oauth2_google_3d22cb2e-d639-45de-a1f9-1584cfd7eea2

66+6+6+

2 Cards basiek49

2-2=0

2 Cards jogaf85537

Create flashcards