Najwa*niejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii
advertisement
Najważniejsze twierdzenia w geometrii KRÓTKI PRZEGLĄD Geometria euklidesowa Klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.)- pierwsza znana aksjomatyzacja w historii matematyki. Aksjomaty: 1.Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. 2.Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą). 3.Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości. 4.Wszystkie kąty proste są przystające. 5.Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony. (5. Dla geometrii na płaszczyźnie: Przez dany punkt nienależący do danej prostej można poprowadzić jedną prostą rozłączną z daną prostą.) (aksjomaty z animacją) Twierdzenie Ponceleta-Steinera Mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych. Nazwa twierdzenia pochodzi od Jeana Ponceleta, który postawił je jako hipotezę w roku 1822, oraz Jakoba Steinera, który udowodnił je w roku 1833. (schemat dowodu) Twierdzenie Mohra-Mascheroniego Mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928. Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797. (konstrukcje samym cyrklem) Twierdzenie Talesa Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. Twierdzenie Steinera-Lehmusa Jeżeli w trójkącie długości dwóch dwusiecznych są równe, to trójkąt jest równoramienny. (różne dowody tw. Steinera-Lehmusa) Definicje Sin ,Cos ,Tg ,Ctg . Twierdzenie sinusów . (dowód z twierdzenia sinusów) . Twierdzenie cosinusów .. (dowód z twierdzenia sinusów) Twierdzenie Pitagorasa W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość . Twierdzenie tangensów (dowód z twierdzenia tangensów) Twierdzenie Erdősa Dla dowolnego punktu O leżącego wewnątrz trójkąta ABC zachodzi nierówność 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐), gdzie x, y, z są odległościami punktu O od wierzchołków trójkąta, natomiast a, b, c odległościami punktu O od prostych zawierających boki trójkąta. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków. 𝐴𝐷 𝐴𝐶 = |𝐷𝐵| 𝐵𝐶 Twierdzenie Stewarta Niech a, b, i c będą długościami boków trójkąta. Niech d będzie dowolnym odcinkiem (czewianą) łączącym wierzchołek naprzeciwko boku długości a z punktem na tym boku. Niech czewiana dzieli bok a na dwa odcinki o długościach m i n. Wówczas twierdzenie Stewarta mówi, że: (dowód) Twierdzenie Menelaosa (zadania 1) (zadania) Twierdzenie Cevy Jeżeli trzy proste AD, BE i CF przechodzące przez wierzchołki trójkąta ABC przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe to,: Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe (dowód) (zadania) Twierdzenie Ponceleta Uogólnienie twierdzenia Cevy. Proste łączące dowolny punkt z wierzchołkami wielokąta mającego nieparzystą liczbę boków wyznaczają na przeciwległych jego bokach takie odcinki, że iloczyn długości odcinków nie mających wspólnych końców równa się iloczynowi długości pozostałych odcinków. (ciekawy artykuł o odcinkach w czworokącie) Twierdzenie Ptolemeusza W dowolnym czworokącie ABCD, wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków. Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego: Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg. (dowód) Okrąg 9 punktów Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są: •środki boków (na rysunku niebieskie), •spodki trzech wysokości (czerwone) oraz •punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum (zielone) . (zadania) (dowód) Prosta Eulera Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów. (dowód) Powodzenia!
