2. Twierdzenie Bolzano – Weierstrassa. - Agnieszka Natorska

§ 2. Twierdzenie Bolzano – Weierstrassa.
Dużą rolę w analizie matematycznej odgrywa twierdzenie Bolzano –
Weierstrassa, którego dowód teraz przypomnimy. Najpierw jednak zacytujemy
twierdzenie, na które będziemy się powoływać ( zob. [7], str. 14, 27 ).
Twierdzenie 2.2. Jeśli zbiór (niepusty) Z jest ograniczony z góry, to wśród
liczb M, czyniących zadość nierówności M 3
x dla każdego x, należącego do Z,
istnieje liczba najmniejsza.
Twierdzenie 2.3 ( Bolzano – Weierstrassa ). Każdy ciąg ograniczony
zawiera podciąg zbieżny.
Przeprowadzimy teraz dowód tego twierdzenia w celu potwierdzenia jego
prawdziwości. Dowód twierdzenia przeprowadzimy także z zastosowaniem
reguły (1.4). Rozważmy dowolny ciąg ( a n ) .
Niech α będzie zdaniem:
Ciąg jest ograniczony.
Z kolei β niech oznacza zdanie:
Ciąg zawiera podciąg zbieżny.
Dowód :
Niech ciąg ( a n ) będzie ograniczony. Wobec definicji 2.1 istnieje takie M, że
zachodzi nierówność – M < a n < M dla każdego n .
Powołamy się teraz na twierdzenie 2.2. Niech Z będzie zbiorem takich X,
że nierówność x < a n jest spełniona dla nieskończenie wielu n . Zbiór ten jest
niepusty, gdyż – M należy do Z ponieważ nierówność – M < a n spełniona jest dla
wszystkich x.
Zbiór Z jest oprócz tego ograniczony z góry. Mianowicie jeśli x∈
Z , to x < M.
Gdyby było inaczej tzn., że x 3
M, to nie istniałoby takie n , dla którego x < an
( a więc x nie może należeć do Z ).
Ponieważ zbiór Z jest niepusty i ograniczony z góry, więc istnieje kres górny
tego zbioru. Niech g oznacza ten kres. Z definicji kresu górnego (zob. definicja
2.4) wynika, że dla każdego ε >0 istnieje nieskończenie wiele n , dla których
spełniona jest nierówność:
g−
ε
Λ
an Λ
g+
ε
.
Należy jednak zauważyć, że g −
ε
∈
Z, a g +
ε
Ι
Z.
Pokażemy teraz, że g jest granicą pewnego podciągu ciągu ( a n ). Określimy więc
ciąg liczb naturalnych m1 < m2 < m 3 < ... tak, aby lim a mn =
g.
n→
Ψ
W tym celu weźmy najpierw ε = 1. Jest więc nieskończenie wiele takich n , że:
g−
1<
an Λ
g+
1.
Niech m1 oznacza którekolwiek z tych n. Mamy więc:
g−
1<
a m1 Λ
g+
1.
1
Weźmy teraz ε.
=
Wówczas mamy, że:
2
1
1
g−
<
an Λ
g+
2
2
dla nieskończenie wielu n. Wśród tych n znajdziemy liczby, które są większe od
m1 . Oznaczmy którąś z nich przez m2 . Wtedy otrzymujemy:
1
1
g−
<
am 2 Λ
g+
,
m1 <
m2 .
2
2
1
Podobnie postępując dla ε
=
znajdziemy m 3 takie, że:
3
1
1
g−
<
a m3 Λ
g+
,
m2 <
m3 .
3
3
Określmy teraz m n +
, mając określone mn w ten oto sposób:
1
1
1
g −<
a m n+
Λ
g +,
mn <
m n+
1.
1
n+
1
n+
1
Z twierdzenia o trzech ciągach (zob. [7], str. 26) otrzymujemy, że:
1
1
lim(g −
)=
g=
lim(g +
),
n
n
1
ponieważ lim =
0.
n
(2.4)
Teraz ze wzoru (2.4) po zastąpieniu n +
1 przez n mamy, że lim am n =
g,
n→
Ψ
a z nierówności mn <
mn +
wynika, że ciąg am1 , a m2 , ... jest podciągiem ciągu a1 , a2 ,
1
... .
W ten sposób dowód twierdzenia został zakończony.
-