Zastosowanie pochodnych 1 rzedu funkcji jednej zmiennej

Zadania nr 4 do MATEMATYKI 75
Zastosowanie pochodnej funkcji jednej zmiennej
Zadanie 1. Obliczyć granice następujących funkcji stosując w kaŜdym przypadku dwie
metody (jedna z nich to wykorzystanie reguły de L’Hospitala)
1.1. 1.2. √
Zadanie 2. Korzystając z reguły de L’Hospitala, obliczyć granice funkcji:
2.1. lim 2.6. lim 2.2. lim
2.7. lim 2.8. lim # 2.3. lim ln $
$
2.9. lim
2.4. lim $
1.5. lim
ln "
2.10. lim
"
$
%& '
' "'
Zadanie 3 Wyznaczyć (o ile istnieją) asymptoty ukośne wykresów funkcji w +∞ lub -∞
3.1 )" *
+ ' $
3.2 )" *
,
-
√
-
√$
/
$
3.3 )" * · # 3.4 )" * ln 0 #"
Wskazówka: Asymptotą ukośną wykresu funkcji ) " nazywamy prostą y= ax+b, gdzie
5"
1 * 234 oraz 6 * 234 ) " 1". Asymptota ta istnieje tylko wówczas, gdy
obie granice a i b istnieją i są skończone.
Zadanie 4 Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji
78
4.1. )" * 78
4.2. )" * 4.3. ) " * 29
√
Zadanie 5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji
$
$
5.1. ) " * + + 0 6 0 7
5.2. ) " *
$
5.3. ) " * +
+
+ 0 5.4 )" * √
5.5. ) " * || · # $
'
5.6. ) " * ln1
5" · # 10 0 12
'
)
Zadanie 6. Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne
$
$
78
$
6.1.)" * A A + 3 0 2
6.2. )" * 6.3. )" * 78 0 29
√
6.4. )" * | 0 3|
1
/
6.5. )" * # /C'
6.6. )" * 29
Zadanie 7 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na przedziale:
$
$
D E 4, 1H
7.1. ) " * A A + 3 0 2
7.2. )" * 3"# ||
/
7.3. ) " * |
5|# D E 4, √3H
$
D E , 10H
Zadanie 8.
ZaleŜność popytu p na dobra konsumpcyjne od wielkości dochodu konsumenta x (x>0)
wyraŜa się wzorem:
/
+
a) I " * # b) I" *
+
'
+
/
# /
c) I" * # '
W kaŜdym przypadku naleŜy ustalić poziom dochodu konsumenta, przy którym popyt jest
największy.
Zadanie 9
Cena zbytu pewnego wyrobu (J Kł za jednostkę tego wyrobu) jest określona następującym
wzorem
,
I" * 0,2 + 0 12 0 ,
gdzie x oznacza wielkość produkcji tego wyrobu. Koszt całkowity produkcji w zaleŜności od
jej wielkości wynosi
M " * 0,05 A 0 4 .
a) Wyznaczyć produkcję, przy której przedsiębiorstwo uzyskuje największy zysk.
b) Wyznaczyć maksymalną i minimalną wielkość produkcji, przy której przedsiębiorstwo nie
wykazuje strat.
Zadanie 10
Niech K(x) oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego dobra.
M" * + 40 0 490
a) Wyznaczyć dla tego dobra poziom produkcji, przy którym koszt przeciętny jest najniŜszy
b) Określić funkcję kosztów krańcowych.
Zadanie 11
Wyznaczyć cenową elastyczność popytu dla cen I$ * 10 3 I * 100 , jeŜeli zaleŜność
popytu od ceny towaru p wyraza się wzorem
$
)I" * O 0 I.
Podać interpretację uzyskanego wyniku.
Zadanie 12
Wyznaczyć elastyczność funkcji utargu w punkcie * 10, jeśli cena zbytu towaru wynosi
I" * 0,1 0,5 0 20, gdzie x jest wielkością produkcji.
(J. Nowakowski z zespołem)