1 Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

1
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
1.1
Pojȩcia podstawowe
Niech D bȩdzie podzbiorem zbioru liczb zespolonych C. Funkcjȩ
f :D→C
nazywamy funkcja̧ zespolona̧ zmiennej zespolonej.
Niektóre ważniejsze funkcje zespolone zmiennej zespolonej:
• sprzȩżenie: f (z) = z,
• funkcje liniowa: f (z) = az + b,
a, b ∈ C,
a 6= 0,
• wielomian: f (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ,
a0 , a1 , . . . , an ∈ C,
an 6= 0,
• inwersja: f (z) = z1 ,
• homografia: f (z) =
az+b
,
cz+d
a, b, c, d ∈ C,
• funkcja wymierna: f (z) =
P (z)
,
Q(z)
ad − bc 6= 0,
P, Q − wielomiany.
Niech f (z) bȩdzie funkcja̧ zesplona̧ określona̧ na zbiorze D ⊂ C i niech z = x + y · j ∈ D. Wtedy
f (z) = u(x, y) + v(x, y) · j,
gdzie u i v sa̧ funkcjami rzeczywistymi zmiennych rzeczywistych ( u, v : D → R, gdzie D ⊂ R2 ).
Funkcjȩ u nazywamy czȩścia̧ rzeczywista̧ funkcji f , a funkcjȩ v - czȩścia̧ urojona̧ funkcji f .
Niech z = x + y · j, gdzie x, y ∈ R. Funkcjȩ wykladnicza̧ f (z) = ez definiujemy wzorem Eulera
ez = ex (cos y + sin y · j).
Funkcje trygonometryczne definiujemy wzorami:
ezj − e−zj
ezj + e−zj
sin z
cos z
, cos z =
, tg z =
, ctg z =
.
2j
2
cos z
sin z
Logarytmem liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy każda̧ liczbȩ zespolona̧ w taka̧, że
sin z =
ew = z.
Zbiór wszystkich logarytmów liczby z oznaczamy przez Log z.
Niech z ∈ C \ {0}. Wtedy
Log z = { ln |z| + j arg z + 2kπj,
k ∈ Z}.
Logarytmem glównym liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy liczbȩ log z określona̧ wzorem
log z = ln |z| + j arg z,
gdzie ϕ = arg z jest argumentem glównym liczby z, czyli rozwia̧zaniem ukladu równań

Re z


 cos ϕ = |z|
ϕ ∈ [0; 2π) .


 sin ϕ =
Im z
|z|
1
1.2
Cia̧gi zespolone i ich granice
Cia̧giem zespolonym nazywamy odwzorowanie zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb zespolonych. Wartość tego odwzorowania dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem cia̧gu i
oznaczamy zn , przy czym zn = xn + jyn , gdzie xn , yn ∈ R. Cia̧g zespolony oznaczamy przez {zn }.
Niech {zn } bȩdzie cia̧giem zespolonym i niech z0 ∈ C.
lim zn = z0 ⇐⇒
n→∞
Twierdzenie
∀
ε>0
∃
n0 ∈ N
∀
n∈N
n ≥ n0 =⇒ |zn − z0 | < ε
Niech zn = xn + jyn oraz z0 = x0 + jy0 . Wtedy
lim zn = z0 ⇐⇒ lim xn = x0
n→∞
∧
n→∞
lim yn = y0 .
n→∞
Niech {zn } bȩdzie cia̧giem zespolonym. Wówczas
∀
M >0
lim zn = ∞ ⇐⇒
n→∞
Twierdzenie
∃
n0 ∈ N
∀
n∈N
n ≥ n0 =⇒ |zn | > M
Niech {zn } bȩdzie cia̧giem zespolonym. Wtedy
lim zn = ∞ ⇐⇒ lim |zn | = ∞.
n→∞
1.3
n→∞
Granica i cia̧glość funkcji zespolonej
Niech funkcja zespolona f (z) bȩdzie określona w pewnym otoczeniu U (z0 ) punktu z0 ∈ C.
Wówczas
lim f (z) = A ⇐⇒
z→z0
Twierdzenie
∀
{zn } ⊂ U (z0 ) \ {z0 }
n→∞
Niech f (z) = u(x, y) + jv(x, y) oraz A = a + bj. Wtedy
lim f (z) = A ⇐⇒
z→z0
lim zn = z0 =⇒ lim f (zn ) = A
n→∞
lim
u(x, y) = a
(x,y)→(x0 ,y0 )
∧
lim
v(x, y) = b.
(x,y)→(x0 ,y0 )
Funkcja f (z) jest cia̧gla w punkcie z0 , jeżeli
lim f (z) = f (z0 ).
z→z0
Twierdzenie
Funkcja f (z) jest cia̧gla w punkcie z0 = x0 + jy0 wtedy i tylko wtedy, gdy czȩść
rzeczywista i czȩść urojona sa̧ cia̧gle w punkcie (x0 , y0 ).
2