3 Ci¡gi i szeregi funkcyjne

3
Ci¡gi i szeregi funkcyjne
1. Oblicz odlegªo±¢ w metryce supremum mi¦dzy funkcjami f, g : [−2, 2] → R dla funkcji
danych wzorami f (x) = 2x3 − 2x + 1, a g(x) = −x2 + 3x − 1.
√
2. Oblicz ρ( 3 sin x, cos x), gdzie ρ(·, ·) oznacza metryk¦ supremum w przestrzeni B(R).
2
3. Dane s¡ funkcje f (x) = 5x− x2 oraz g(x) = 6 ln(x). Oblicz odlegªo±¢ w metryce supremum
funkcji f i g ∈ B([2, 4]).
4. Wyznacz granic¦ punktow¡ danego ci¡gu funkcyjnego dla x ∈ R. Zbadaj, czy zbie»no±¢
jest jednostajna na prostej.
a) fn (x) = sin
x
n
b) gn (x) = xe−n|x|
c) hn (x) =
n sin(x)
n+sin(x)
5. Rozpatrzmy ci¡gi z powy»szego zadania. Je±li zbie»no±¢ nie jest jednostajna, podaj przykªad przedziaªu [a, b] po obci¦ciu do którego zbie»no±¢ b¦dzie jednostajna. Sprawd¹, czy
ci¡gi te s¡ niemal jednostajnie zbie»ne?
6. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡, jednostajn¡ i niemal jednostajn¡ ci¡gów:
(a) fn (x) = nx(1 − x)n dla x ∈ [0, 1] oraz dla x ∈ R
, π ] oraz dla x ∈ [0, π]
(b) gn (x) = cosn (x) dla x ∈ [ −π
2 2
(c) hn (x) =
7. Oblicz lim
n→+∞
1
4
1+x2 + xn
Z
0
1
dla x ∈ [0, 1]
1
1 + x2 +
x4
n
1 + x2 +
Wskazówka:
x4
n
≥1
oraz
1 + x2 ≥ 1
dx.
8. Korzystaj¡c z kryterium Weierstrassa zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów
a)
+∞
X
sin(nx)
n3
n=1
dla x ∈ R
b)
+∞
X
dla x ∈ [0, 5]
xn e−nx
n=0
9. Wyznacz promie« zbie»no±ci szeregów:
a)
+∞ n
X
x
n=0
b)
n!
+∞
X
(x − 1)n
n=1
c)
3n n2
+∞
X
n
ee (x + 2)n
n=0
10. Korzystaj¡c z ró»niczkowania i caªkowania szeregu oblicz warto±¢ sumy dla v ∈ [0, 1]
a)
+∞
X
nv
b)
n
n=1
+∞ n
X
v
n=1
1
n
Wsk. dla
v = 0 warto±¢ szeregu to 0
3.1
Szeregi Taylora
11. Wyznacz z denicji wzór Taylora dla funkcji ln(1 + x) oraz cos(x) (tj. sprawd¹, czy wzory
podane na wykªadzie s¡ poprawne).
12. Korzystaj¡c z wzorów z wykªadu oraz z dziaªa« na szeregach (dodawania, mno»enia, dzielenia oraz podstawiania) wyznacz pierwsze trzycztery niezerowe wyrazy szeregu Taylora:
a) α(x) = sin(x) + 2ex
d) δ(x) = ex arctg(x)
b) β(x) = 3 ln(1 − x)
2x
e) ε(x) = 1−x
c) γ(x) = cos(3x2 )
sin(x)
f) ζ(x) = cos(x)
g) η(x) = esin(x)
3
j) κ(x) = x2 − 1+2x
h) θ(x) = cos(cos(x) − 1)
k) λ(x) = ln(cos(x))
i) ι(x) = (x + x2 )e−x
l) µ(x) = arctg(sin(x3 ))
m) ν(x) = cos(xex )
n) ξ(x) = sin(2x) cos(3x2 )
o) o(x) =
2
arctg(2x)
ln(1+x2 )
3
13. Korzystaj¡c
√ z rozwini¦cia w szereg Taylora do wyrazu rz¦du x wyznacz przybli»on¡
warto±¢ 1,02. Korzystaj¡c z reszty w postaci Lagrange'a oszacuj bª¡d przybli»enia.
14. Korzystaj¡c
z rozwini¦cia w szereg Taylora do wyrazu rz¦du x2 wyznacz przybli»on¡
√
3
warto±¢ 30. Korzystaj¡c z reszty w wybranej postaci oszacuj bª¡d przybli»enia.
15. Korzystaj¡c z rozwini¦cia w szereg Taylora oszacuj arctg 12 . Dobierz tak liczb¦ elementów rozwini¦cia by bª¡d szacowania byª nie wi¦kszy ni» 0,1.
16. Korzystaj¡c z rozwini¦cia w szereg Taylora oszacuj e1/5 . Dobierz tak liczb¦ elementów
rozwini¦cia by bª¡d szacowania byª nie wi¦kszy ni» 0,05.
17. Korzystaj¡c z rozwini¦cia w szereg Taylora wyznacz pierwsze trzy cyfry liczby e.
1
z dokªadno18. Z ilu elementów rozwini¦cia trzeba skorzysta¢ by wyznaczy¢ warto±¢ sin 10
−6
±ci¡ do 10 (tj. jednej milionowej).
19. Z ilu elementów rozwini¦cia trzeba skorzysta¢ by wyznaczy¢ warto±¢ ln 11
z dokªadno10
−3
±ci¡ do 10 (tj. jednej tysi¦cznej).
20. Korzystaj¡c z szeregów Taylora oblicz granice:
ex − ln(1 + x) − 1
x→0
x2
arctg(x2 ) − x sin(x)
c) lim+
x→0
cos(x3 ) − 1
sin(2x) − 2x cos(x)
x→0
x3 √
e−x − cos( 2x)
d) lim−
x→0 arctg(2 sin(3x))
a) lim
b) lim
2