Definicja przestrzeni probabilistycznej oraz własności rozkładu prawdopodobieństwa Niech Ω ≠ φ . Przez P(Ω ) będziemy oznaczać rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru Ω . Przykład. Ω = {a, b} a ≠ b P(Ω ) = {{a}, {b}, Ω,φ }. Symbolu # będziemy uŜywać dla oznaczenia mocy zbioru czyli liczby jego elementów. Zatem # Ω = 2 , a # P(Ω ) = 4 . Przykład. Jeśli # Ω = n , ( n ∈ N ), to n n n n n n # P (Ω ) = Cn0 + Cn1 + Cn2 ... + Cnn = + + + ... + = ∑ = 2n 0 1 2 n k =0 k n n n poniewaŜ ( x + y ) = ∑ x k y n − k . k =0 k Niech S będzie podrodziną rodziny P(Ω ) . S ⊂ P(Ω ) Def. Rodzinę S nazywamy σ -algebrą podzbiorów zbioru Ω ⇔ 1. Ω ∈ S , 2. A ∈ S ⇒ Ω \ A = A ∈ S (dopełnienie), 3. ∀ i ∈ N Ai ∈ S ⇒ U Ai ∈ S (przeliczalna suma). i∈ N Uwaga. ω ∈ U Ai ⇔ ∃ i ∈ N : ω ∈ Ai , i∈ N ω ∈ I Ai ⇔ ∀ i ∈ N ω ∈ Ai i∈ N Prawa de Morgana: A, B ∈ S ⇒ A ∪ B = A ∩ B , A ∩ B = A ∪ B , i uogólniając ∀ i ∈ N Ai ∈ S ⇒ U Ai = I Ai , oraz ∀ i ∈ N i∈ N Ai ∈ S ⇒ I Ai = U Ai . i∈ N i∈ N i∈ N Przykład. Niech Ω = {1,2,3,4,5} oraz X ⊂ P(Ω ) X = {{1,2}, {4}}. Tworzymy nową rodzinę zbiorów na bazie rodziny X taką, aby spełniała aksjomaty 1.-3. podane w definicji σ -algebry. σ ( X ) = {Ω,φ , {1,2}, {3,4,5}, {4}, {1,2,3,5}, {1,2,4}, {3,5}} σ -algebra generowana przez rodzinę X czyli najmniejsza (w sensie relacji inkluzji) σ -algebra zawierającą rodzinę X. Przykład. Niech A ≠ φ , A⊂ Ω. σ ( A) = {φ ,Ω, A, A} jest to najmniejsza σ -algebra zawierająca zbiór A. Def. ~ Niech S będzie σ -algebrą podzbiorów zbioru Ω , R = [− ∞;+∞ ] . ~ Odwzorowanie P : S → R nazywamy miarą unormowaną na σ -algebrze S ⇔ 1. ∀ A ∈ S P( A) ≥ 0 , 2. P(Ω ) = 1 (warunek unormowania), 3. ∀ A1 , A2 , A3 ,... ∈ S : Ai ∩ A j = φ , i, j ∈ N , i ≠ j ⇒ P U Ai = ∑ P( Ai ) (przeliczalna i∈N i∈N addytywność). Def. Uporządkowaną trójkę (Ω, S , P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną ⇔ 1. Ω ≠ φ , 2. S − σ -algebrą podzbiorów zbioru Ω , 3. P – miarą unormowaną na σ -algebrze S. W języku probabilistyki Ω to zbiór zdarzeń elementarnych, S to zbiór zdarzeń losowych, P rozkład prawdopodobieństwa. Własności rozkładu prawdopodobieństwa P. n n 1. ∀ i, j ∈ N : Ai , A j ∈ S ∧ Ai ∩ A j = φ , i ≠ j ⇒ P U Ai = ∑ P ( Ai ) i =1 i =1 Dowód: Wystarczy przyjąć w definicji miary ∀ i > n Ai = φ 2. P(φ ) = 0 Dowód: Ω =φ ∪Ω ∧ φ ∩Ω =φ P(Ω ) = P(φ ) + P(Ω ) ale P(Ω ) = 1 zatem P(φ ) = 0 3. A, B ∈ S , A ⊂ B ⇒ P( A) ≤ P(B ) czyli P jest odwzorowaniem słaborosnącym (niemalejącym) Dowód: Niech A, B ∈ S i A ⊂ B wtedy B = A ∪ ( B \ A) ∧ A ∩ ( B \ A) = φ P ( B ) = P ( A) + P ( B \ A ) , B \ A ∈ S , P ( B \ A) ≥ 0 Zatem P(B ) ≥ P( A) . 4. ∀ A ∈ S 0 ≤ P( A) ≤ 1 Dowód: PoniewaŜ A ⊂ Ω więc na podstawie własności 3. P( A) ≤ P(Ω ) = 1 5. ∀ A, B ∈ S P( A \ B ) = P( A) − P( A ∩ B ) Dowód: A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∧ (A \ B) ∩ (A ∩ B) = φ P( A) = P( A \ B ) + P( A ∩ B ) zatem P( A \ B ) = P( A) − P( A ∩ B ) W szczególności a) B ⊂ A ⇒ P( A \ B ) = P( A) − P(B ) b) A = Ω , B ∈ S , B ⊂ Ω ⇒ P (B ) = P(Ω \ B ) = P (Ω ) − P (B ) = 1 − P (B ) 6. ∀ A, B ∈ S P( A ∪ B ) = P( A) + P(B ) − P( A ∩ B ) Dowód: A = ( A \ B ) ∪ ( A ∩ B ) ∧ ( A \ B ) ∩ ( A ∩ B ) = φ oraz A ∪ B = ( A \ B ) ∪ B ∧ ( A \ B ) ∩ B = φ zatem P ( A) = P ( A \ B ) + P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = P ( A \ B ) + P (B ) Odejmując stronami powyŜsze równania otrzymujemy P( A) − P( A ∪ B ) = P( A ∩ B ) − P(B ) czyli po przekształceniu P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) . 7. Uogólnienie własności 6. (tzw. Reguła włączeń i wyłączeń) n n n +1 ∀ i ∈ {1,..., n} Ai ∈ S P U Ai = ∑ Ai − ∑ P Ai1 ∩ Ai2 + ... + (− 1) P ( A1 ∩ ... ∩ An ) 1≤ i1 < i2 ≤ n i =1 i =1 np. dla n = 3 mamy P ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P ( A1 ) + P( A2 ) + P ( A3 ) − P ( A1 ∩ A2 ) − P ( A1 ∩ A3 ) − P ( A2 ∩ A3 ) ( ) + (− 1) P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) 4 8. Ciągłość funkcji rozkładu prawdopodobieństwa P a) ∀ i ∈ N Ai ∈ S : A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... ⊂ An ⊂ An +1 ⊂ ... (wstępujący ciąg zdarzeń UA losowych) oraz i = A , wtedy lim P ( An ) = P ( A) . n →∞ i∈N Dowód: Niech B1 = A1 , B2 = A2 \ A1 , B3 = A3 \ A2 ,... czyli Bn = An \ An −1 . PoniewaŜ ∀i∈N zatem Bi ∈ S ∧ i n i =1 i =1 U Bi = U Ai = An = A oraz Bi ∩ B j = φ , i ≠ j . UB = U A i i∈N n i∈N Na podstawie powyŜszego i drugiego warunku w definicji miary P otrzymujemy n P ( A) = P U Bi = ∑ P(Bi ) = lim ∑ P (Bi ) = lim[P(B1 ) + P (B2 ) + P(B3 ) + ... + P(Bn )] n →∞ n→∞ i =1 i∈N i∈N = lim[P ( A1 ) + P ( A2 \ A1 ) + P ( A3 \ A2 ) + ... + P ( An \ An−1 )] = (∗) n →∞ a poniewaŜ Ai ⊂ Ai +1 to P ( Ai +1 \ Ai ) = P ( Ai +1 ) − P( Ai ) czyli (∗) = lim [P( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 ) + P( A3 ) − P( A2 ) + ... + P( An ) − P( An−1 )] = nlim P ( An ) n →∞ →∞ b) ∀ i ∈ N Ai ∈ S : A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... ⊃ An ⊃ An +1 ⊃ ... (zstępujący ciąg zdarzeń IA losowych) oraz i = A , wtedy lim P ( An ) = P ( A) . n →∞ i∈N Dowód tego przypadku jest analogiczny do poprzedniego, wystarczy przyjąć C i = Ω \ Ai = Ai PoniewaŜ ciąg ( Ai )i∈N jest ciągiem zstępującym, to ciąg (C i )i∈N jest ciągiem wstępującym takim, Ŝe UC = U A = I A i i∈N i i∈N i = A. i∈N W ostatniej zaleŜności wykorzystaliśmy prawa de Morgana oraz załoŜenia z przypadku b). Na podstawie udowodnionej zbieŜności dla wstępującego ciągu zdarzeń zastosowanej teraz do ciągu (C i )i∈N otrzymujemy 1 − P( A) = P(A ) = lim P(C n ) = lim P (An ) = lim(1 − P( An )) = 1 − lim P( An ) , n →∞ zatem P ( A) = lim P( An ) . n →∞ n →∞ n →∞ n →∞