X n są niezależnymi zmiennymi losowymi, to zmienne losowe s Xi , i

Funkcje tworzące są wygodnym narzędziem przy badaniu zmiennych losowych
o wartościach całkowitych nieujemnych. Funkcje tworzące pierwszy raz badał
de Moivre. Euler używał ich intensywnie do badania problemów z teorii liczb.
Def. Funkcją tworzącą ciągu liczbowego (pj), j=0,1,… nazywamy funkcję :
N
(1)
>
pj$ s j
, s e (K a, a )
j=0
, jeśli tylko powyższy szereg potęgowy jest zbiezny w niepustym przedziale (-a,a).
Gdy X jest zmienną losową o wartościach całkowitych nieujemnych i o rozkładzie
P(X = j) = pj , j=0,1,… to funkcję tworzącą ciągu (pj) nazywamy funkcją tworzącą
zmiennej losowej X i oznaczamy gX. Z definicji wynika natychmiast, że gX(s)=EsX.
Oczywiście funkcja tworząca zależy tylko od rozkładu prawdopodobieństwa
zmiennej losowej.
•
Funkcja tworząca jest dobrze określona co najmniej dla
oszacowania :
N
>
|s|# 1, bowiem z
N
pj$ |s| j #
j= 0
>p
j= 0
j
= 1
wynika wtedy bezwględna zbieżność szeregu (1).
Dla |s| < 1 pierwsze dwie pochodne wynoszą :
N
gX' (s) =
>
N
j$ pj$ s jK
j=1
1
, g"X (s) =
a ogólnie :
>
j$(jK 1)$ pj$ s jK
j=2
N
gX( n ) (s ) =
j!
$ pj$ s jK
j = n (j K n ) !
>
Stąd dla s = 0 mamy :
pn =
gX( n ) ( 0 )
n!
n
.
2
(2)
•
Udowodniliśmy zatem następujące :
•
Twierdzenie : Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej o wartościach
całkowitych nieujemnych jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcję tworzącą.
•
Powróćmy do wzoru (2). Jeśli EX < N, to szereg definiujący pierwszą pochodną jest
zbieżny dla s = 1. Na mocy twierdzenia Abela mamy wtedy :
N
lim
s/
1K
gX' ( s ) =
> j$ p
j=1
= EX
j
N
Jeśli EX = N, to szereg
Można zatem przyjąć
> j$ p
j=1
gX' ( 1 ) =
Otrzymujemy wtedy po prostu :
Podobnie :
j
jest rozbieżny, ale i
lim
s /
1K
gX' ( s )
s/
1K
gX' ( s ) = N
dopuszczając wartość N.
EX = gX' (1 )
EX (X K 1 ) = g"X (1 )
lim
(3)
(4)
•
Jeżeli EX2 < N, to z (3) i (4) otrzymujemy :
2
D2X = gX' (1 ) C gX" (1 )K 2gX' (1 ) 3
•
Przykład : Niech X ma rozkład geometryczny P(X = j) = qj p , gdzie j = 0,1…
Wtedy :
N
gX ( s ) =
Stąd :
gX' ( 1 ) =
i
D2X =
q
p2
>
p ( qs ) j =
j=0
q
= EX
p
p
1K qs
Funkcja tworząca sumy niezależnych składników
•
Z zależności gX(s) = EsX wynika następujące :
•
Twierdzenie : Jeżeli X1, X2, …, Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o
funkcjach tworzących g1, g2, …, gn, to suma X1 + X2 + … + Xn ma funkcję
tworzącą :
n
?g
i= 1
•
i
D o w ó d. Ponieważ X1, X2, …, Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi, to
zmienne losowe sXi , i = 1,2,...,n są niezależne i
g X1 + X2 + … + Xn (s) = EsX1 + X2 + … + Xn =
n
?
Xi
Es
i=1
n
,ale gXi(s) = EsXi , zatem
g X1 + X2 + … + Xn (s) =
?g
i=1
i
•
•
Twierdzenie : Jeśli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach
tworzących g1, g2 , , to P(X-Y = k) jest równe współczynnikowi przy sk w
funkcji g1(s)g2(1/s).
N
N
D o w ó d. Mamy
g1 (s )g2 (1 /s ) =
pk sk $
blsK l
k=0
l=0
>
>
Obliczmy wyraz z sk. Dla k >= 0 ma on postać :
N
N
>p
l=0
kC l
bls K l
k C ls
= sk $
> P (X = k C
l) $ P ( Y = l) =
l=0
N
= sk $
> P( X = k C
l, Y = l) = sk $ P (X K Y = k ) .
l=0
Dla k < 0 rachunki są podobne.
•
Przykład. Obliczymy prawdopodobieństwo, że liczba całkowita
wylosowana ze zbioru liczb od 000000 do 999999 będzie miała sumę
pierwszych trzech cyfr równą sumie ostatnich trzech cyfr.
Jeśli X = X1 + X2 + X3 będzie sumą pierwszych trzech cyfr, a Y = Y1 + Y2
+ Y3 będzie sumą ostatnich trzech cyfr, to
gx(s)gy(1/s) = 10-6s-27(1-s10)6(1-s)-6 .
Zatem współczynnik przy s0 jest równy :
00 1 0 1 0 1 0 1 0 11$ 10
32
27
K
6
22
$
C
1
17
6
$
1
12
7
K 6
z 0, 05525