15DRAP - Funkcje tworzące i procesy gałązkowe A Zadania na

15DRAP - Funkcje tworzące i procesy gałązkowe
Definicja. 1. Funkcją tworzącą momenty zmiennej losowej X nazywamy funkcję MX (t) = E(etX ) określoną w pewnym
otoczeniu zera.
Uwaga 1. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest jednoznacznie wyznaczony przez jej funkcję tworzącą
momenty.
Twierdzenie. 1. Jeżeli MX (t) < +∞ dla t ∈ (−t0 , t0 ), gdzie t0 > 0, to
(a) E|X|k < +∞ dla każdego k ∈ N;
(b) MX (t) =
∞ k
X
t EX k
k=0
k!
dla t ∈ (−t0 , t0 );
(k)
(c) MX (0) = EX k dla k ∈ N.
Twierdzenie. 2. (i) Dla dowolnych a, b ∈ R, MaX+b (t) = ebt MX (at).
(ii) Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to MX+Y = MX · MY .
Definicja. 2. Funkcją tworzącą (prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X o rozkładzie P (X = k) = pk dla k ∈ N0
nazywamy funkcję
∞
X
GX (s) = E(sX ) =
pk sk ,
k=0
określoną dla s ∈ [−1, 1].
Uwaga 2. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej o wartościach w N0 jest jednoznacznie wyznaczony przez jej
funkcję tworzącą prawdopodobieństwa.
Twierdzenie. 3. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi przyjmującymi wartości w N0 .
(a) GX (1) = 1;
00
(k)
(b) E[X(X − 1) · . . . · (X − k + 1)] = GX (1) dla k = 1, 2, . . .; w szczególności E(X) = G0X (1) oraz E[X(X − 1)] = GX (1);
(c) jeżeli zmienne X, Y są niezależne, to GX+Y = GX · GY .
Twierdzenie. 4. Jeżeli X1 , X2 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z funkcją
tworzącą G, a N jest niezależną od nich zmienną losową, to dla sumy S = X1 + X2 + . . . + XN losowej liczby kolejnych
elementów ciągu X1 , X2 , . . . zachodzi wzór GS (s) = GN (G(s)).
Twierdzenie. 5. Niech Gn = GZn , gdzie Zn jest zmienną losową mierzącą liczebność n-tego pokolenia w pewnym procesie
gałązkowym, oraz niech µ = EZ1 . Wtedy
(a) Gn+m (s) = Gm (Gn (s));
(b) EZn = µn .
Twierdzenie. 6. Prawdopodobieństwo wyginięcia (wymarcia) procesu η jest najmniejszym, nieujemnym pierwiastkiem
równania s = G1 (s), gdzie G1 = GZ1 jest funkcją tworzącą liczby potomków pojedynczego osobnika.
A
Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Zmienna losowa X ma funkcję tworzącą momenty postaci
MX (t) =
1 −2t 1 −t 1 t 1 2t
e
+ e + e + e .
6
3
4
4
Wyznacz P(|X| ¬ 1).
Zadanie A.2. Korzystając z funkcji tworzącej momenty, wyznacz n-ty moment zmiennej losowej X o rozkładzie
jednostajnym na przedziale [a, b].
Zadanie A.3. Pewne towarzystwo ubezpiecza domy w trzech miastach: A, B oraz C. Szkody spowodowane przez huragan
w tych miastach są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących momenty równych odpowiednio
MA (t) = (1 − 2t)−3 ,
5
MB (t) = (1 − 2t)− 2 ,
9
MC (t) = (1 − 2t)− 2 .
Zmienna losowa X stanowi sumę szkód powstałych w miastach A, B oraz C. Wyznacz E(X 3 ).
1
Zadanie A.4. Wyznacz funkcję tworzącą zmiennej losowej X o rozkładzie
(a) dwumianowym z parametrami n ∈ N oraz p ∈ (0, 1);
(b) Poissona z parametrem λ > 0.
Korzystając z niej wyznacz wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej X.
Zadanie A.5. Wiedząc, że zmienna losowa dyskretna X o wartościach nieujemnych ma funkcję tworzącą GX , wyznacz
funkcję tworzącą zmiennej Y = 3X + 2.
Zadanie A.6. Niech Xi , gdzie i = 1, . . . , n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Bernoulliego z parametrem
p, tzn. P (Xi = 0) = 1 − p oraz P (Xi = 1) = p. Wykorzystując funkcje tworzące wykaż, że Y = X1 + . . . + Xn ma rozkład
dwumianowy z parametrami p i n.
Zadanie A.7. Towarzystwo ubezpieczeniowe dzieli klientów na grupy o mniej więcej jednakowym ryzyku, by im wyznaczyć
jednolitą składkę. Załóżmy, że wysokości roszczeń są niezależnymi zmiennymi losowymi X1 , X2 , . . . o jednakowym rozkładzie
Poissona z parametrem 100, a liczba szkód jest procesem Poissona N niezależnym od zmiennych losowych X1 , X2 , . . . z
parametrem λ. Wielkość wypłat jest zmienną losową S = X1 + . . . + XN . Znaleźć funkcję tworzącą zmiennej losowej S.
Zadanie A.8. Bakterie rozmnażają się przez podział komórki. W jednostce czasu bakteria umiera (z prawdopodobieństwem
0,25), pozostaje bez zmian (z prawdopodobieństwem 0,25) albo dzieli się na dwie nowe (z prawdopodobieństwem 0,5). Na
początku mamy 100 bakterii.
(a) Napisz wzór funkcji tworzącej rozkładu liczebności populacji w n-tym pokoleniu.
(b) Wyznacz prawdopodobieństwo wyginięcia całej populacji.
(c) Niech mn będzie największą możliwą liczbą bakterii w n-tym pokoleniu. Znajdź mn oraz oblicz prawdopodobieństwo,
że w n-tym pokoleniu jest dokładnie mn osobników.
(d) Zakładając, że w 50. generacji jest 1000 bakterii, wyznacz wartość oczekiwaną liczby bakterii w 51 pokoleniu.
Zadanie A.9. Rozważmy proces gałązkowy, w którym zmienna Z1 ma następujący rozkład geometryczny P (Z1 = i) = qpi
dla i = 0, 1, 2, . . ., gdzie p ∈ (0, 1) oraz q = 1 − p. Wyznacz Gn (0) oraz prawdopodobieństwo wyginięcia całej populacji η.
B
Zadania domowe
Zadanie B.1. Zad. 1, §8.1.
Zadanie B.2. Zad. 5, §8.1.
Zadanie B.3 (por. Zad. 6, §8.1). Oblicz funkcję tworzącą dla rozkładu jednopunktowego δk oraz dwupunktowego pδk + qδl
(p + q = 1), a następnie za ich pomocą wyznacz wartości oczekiwane i wariancje podanych rozkładów.
Zadanie B.4. Zmienna losowa X ma funkcję tworzącą G(s) = 41 (1 + s)2 . Oblicz EX oraz D2 X.
Zadanie B.5. Korzystając z zadania A.1 wyznacz funkcję tworzącą sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y
o rozkładach Poissona z parametrami λ oraz µ, odpowiednio.
Zadanie B.6. Wyznacz funkcję tworzącą momenty dla rozkładu wykładniczego z parametrem 1.
Zadanie B.7. Wyznacz funkcję tworzącą oraz funkcję tworzącą momenty dla zmiennej losowej X przyjmującej wartości
równe liczbie oczek przy rzucie symetryczną kostką do gry.
Zadanie B.8. Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie P(X1 = 0) = 23 ,
P(X1 = 1) = 16 oraz P(X1 = 2) = 16 . Znajdź funkcję tworzącą oraz funkcję tworzącą momenty dla zmiennych: S1 = X1 ,
S2 = X1 + X2 , Sn = X1 + . . . + Xn oraz n1 Sn .
Zadanie B.9. Zad. 1, §8.3.
Zadanie B.10. Liczba potomków w procesie gałązkowym ma następujący rozkład: P(Z1 = 0) = 0,25, P(Z1 = 1) = 0,4
oraz P(Z1 = 2) = 0,35.
(a) Wyznacz średnią liczebność n-tej generacji.
(b) Wyznacz prawdopodobieństwo wyginięcia całej populacji.
Zadanie B.11. Rozważmy proces gałązkowy Z0 , Z1 , . . ., w którym prawdopodobieństwo wydania j potomków jest równe
pj , gdzie
(a) p0 = 12 , p1 =
1
4
oraz p2 = 41 ;
(b) p0 = 31 , p1 = 0 oraz p2 = 23 ;
(c) p0 = p1 = p2 = p3 = 14 .
Wyznacz średnią liczbę członków w n-tej generacji oraz prawdopodobieństwo wymarcia populacji.
2
C
Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Zad. 3, §8.1.
Zadanie C.2. Zad. 8, §8.1.
Zadanie C.3. Zad. 11, §8.1.
Zadanie C.4. Zad. 1, §8.2.
3