Zmienna losowa, jej rozkład i dystrybuanta Izolda Gorgol wyciąg z

Zmienna losowa, jej rozkład i dystrybuanta
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji (wykład II)
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne
— Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wynik pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jakościowy.
— Zdarzenie elementarne - najprostszy wynik doświadczenia losowego, tzn. zdarzenie losowe, którego nie da się
rozłożyć na zdarzenia prostsze.
— Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu lub obserwacji.
— Uwaga. Gdy przestrzeń Ω ma skończoną lub przeliczalną liczbę elementów, wówczas każdy podzbiór zbioru Ω jest
zdarzeniem losowym. Tak być nie musi, gdy Ω nie jest przeliczalne.
Zdarzenia losowe
—
—
—
—
—
—
Niech A, B ⊂ Ω.
A ∪ B - suma zdarzeń A i B („zaszło A lub B")
A ∩ B - iloczyn zdarzeń A i B („zaszło A i B")
A \ B - różnica zdarzeń A i B („zaszło A i nie zaszło B")
A0 - zdarzenie przeciwne do A („nie zaszło A")
∅ - zdarzenie niemożliwe
Ω - zdarzenie pewne
σ-ciało zdarzeń
Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą
warunki:
— Ω ∈ F;
— jeśli A ∈ F, to A0 ∈ F;
∞
[
Ai ∈ F.
— jeśli A1 , A2 , A3 , · · · ∈ F, to
i=1
Rodzinę F podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-ciałem zdarzeń, a elementy tej rodziny nazywamy zdarzeniami
losowymi.
Zbiory borelowskie
Jeżeli Ω = R, to ważnym σ-ciałem zdarzeń jest σ-ciało B zbiorów borelowskich.
B – najmniejsze σ-ciało zawierające wszystkie odcinki
Zbiory borelowskie na prostej: (−∞, ∞), (−∞, ai, (−∞, a), hb, ∞), (b, ∞), (a, b), ha, b), (a, bi, ha, bi, {a}, ∅, ...
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
— Jeżeli zbiór Ω składa się z n jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych i wśród nich jest dokładnie k zdarzeń
k
sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę P (A) =
nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia
n
A.
— Piszemy również P (A) = n(A)
n(Ω) , gdzie n(A) oznacza liczbę zdarzeń elementarnych w podzbiorze A, zaś n(Ω) oznacza
liczbę zdarzeń elementarnych w zbiorze Ω.
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
— Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, zaś F będzie σ-ciałem zdarzeń losowych.
— Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P : F → R, która spełnia następujące warunki:
— dla każdego A ∈ F zachodzi 0 6 P (A) 6 1;
— P (Ω) = 1;
1
— jeśli zdarzenia Ai , gdzie i ∈ {1, 2, . . . }, wykluczają się parami (tzn. Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j; i, j ∈ {1, 2, . . . }), to
!
∞
∞
[
X
P
Ai =
P (Ai ).
i=1
i=1
— Trójkę (Ω, F, P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Własności prawdopodobieństwa
Niech A, B ∈ F.
—
—
—
—
P (∅) = 0;
P (A0 ) = 1 − P (A);
jeśli A ⊂ B, to P (A) 6 P (B);
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Zmienna losowa
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną.
— Zmienną losową nazywamy każdą funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, przyjmującą
wartości rzeczywiste, taką, że dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych ω spełniających warunek
X(ω) < x jest zdarzeniem losowym, tzn. należy do rodziny F.
— Tzn. X : Ω → R nazywamy zmienną losową, jeżeli
^
{ω ∈ Ω : X(ω) < x} ∈ F
x∈R
Dystrybuanta zmiennej losowej
— Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję
F (x) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) < x}) , x ∈ R;
— tzn. F (x) = P (X < x).
Własności dystrybuanty
— F jest funkcją niemalejącą,
tzn. jeżeli x1 < x2 , to F (x1 ) 6 F (x2 )
— F jest funkcją lewostronnie ciągłą,
tzn. dla każdego a ∈ R lim F (x) = F (a)
x→a−
—
lim F (x) = 0, lim F (x) = 1
x→−∞
x→+∞
— jeżeli a < b, to P (a 6 X < b) = F (b) − F (a)
— jeżeli x jest liczbą skończoną, to P (X > x) = 1 − F (x)
Rodzaje zmiennych losowych
Wyróżniamy dwa podstawowe rodzaje zmiennych losowych:
— zmienne losowe typu skokowego (z.l. dyskretne) - gdy zbiór wartości funkcji X(ω) jest zbiorem skończonym
lub przeliczalnym;
— zmienne losowe typu ciągłego - gdy zbiór wartości funkcji X(ω) zawiera pewien przedział właściwy lub niewłaściwy.
Zmienna losowa typu skokowego
— Niech {x1 , x2 , . . . , xk , . . . } będzie skończonym lub przeliczalnym zbiorem wartości zmiennej losowej X typu skokowego.
2
— Funkcję
pi = P (X = xi ) = P ({ω : X(ω) = xi })
przyporządkowującą wartościom x1 , x2 , . . . , xk , . . . zmiennej losowej X odpowiednie prawdopodobieństwa p1 , p2 , . . . , pk , . . .
nazywamy funkcją
X prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego.
Mamy przy tym
pi = 1.
i
Zmienna losowa typu skokowego
— Wartości x1 , x2 , . . . , xk , . . . zmiennej losowej X nazywamy punktami skokowymi, a ich prawdopodobieństwa
p1 , p2 , . . . , pk , . . . skokami.
— Dystrybuanta zmiennej losowej typu skokowego ma postać:
X
X
F (x) =
P (X = xi ) =
pi .
xi <x
{i : xi <x}
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej
Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jeśli dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X, względnie gdy dana jest jej funkcja prawdopodobieństwa.
Podstawowe rozkłady skokowe
—
—
—
—
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
jednopunktowy
dwupunktowy
Bernoulliego (dwumianowy)
Poissona
Rozkład jednopunktowy
— P (X = a) = 1
— Jest to rozkład zdegenerowany, a jego dystrybuanta ma postać:
0 dla x 6 a,
F (x) =
1 dla x > a.
Rozkład dwupunktowy
— P (X = a) = p, P (X = b) = q, przy czym p + q = 1
— Dla a = 1, b = 0 otrzymujemy rozkład zero-jedynkowy:
P (X = 1) = p, P (X = 0) = q, przy czym p + q = 1.
— Dystrybuanta rozkładu zero-jedynkowego ma postać:

x 6 0,
0 dla
F (x) = q dla 0 < x 6 1,

1 dla
x > 1.
Rozkład Bernoulliego (dwumianowy)
n k n−k
— P (X = k) =
p q
,
k
gdzie k ∈ {0, 1, 2, . . . , n}, n ∈ N, 0 < p < 1, q = 1 − p
X n
— Dystrybuanta ma postać: F (x) =
pk q n−k .
k
k<x
3
Rozkład Poissona z parametrem λ > 0
— P (X = k) =
λk −λ
e , gdzie k ∈ {0, 1, 2, . . . }
k!
— Dystrybuanta rozkładu Poissona ma postać: F (x) = e−λ
X λk
.
k!
k<x
— Rozkład Poissona jest stablicowany.
Związek rozkł. Poissona z rozkł. Bernoulliego
— Twierdzenie.
Niech Xn , n ∈ {1, 2, . . . }, będzie ciągiem zmiennych losowych mających rozkłady Bernoulliego z parametrami
n i pn , tzn. n k n−k
P (Xn = k) =
p ·q
, gdzie qn = 1 − pn .
k n n
Jeżeli lim npn = λ > 0, to dla każdego całkowitego k > 0 zachodzi równość
n→∞
lim P (Xn = k) =
n→∞
λk −λ
e .
k!
— Uwaga. Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu Bernoulliego. Im większe n oraz mniejsze p, tym
rozkład Poissona lepiej przybliża rozkład Bernoulliego. Przybliżenie jest dostatecznie dobre, gdy p 6 0.1, n > 100
oraz λ ∈ h0.1; 10i.
4