Wyklad_z_prawdopodobienstwa

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem praw rządzącymi zdarzeniami
losowymi. Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne i przestrzeń zdarzeń
elementarnych związane z doświadczeniem losowym D polegającym na realizacji
określonego zespołu warunków, Poszczególne wyniki  doświadczenia losowego
traktujemy jako zdarzenia elementarne i zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako
przestrzeń zdarzeń elementarnych  .
Przykład I. Rzucamy kostką do gry - doświadczenie losowe D. Zdarzenie elementarne  liczba wyrzuconych oczek.  = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Przykład II. Losujemy element z populacji generalnej Z tak aby każdy element miał
jednakowe szansę wylosowania - doświadczenie losowe D. Zdarzenie elementarne  wylosowany element z populacji generalnej.  - zbiór wszystkich możliwych elementów
populacji generalnej tzn.  =Z. Tak będziemy traktować populację generalną za pomocą
rachunku prawdopodobieństwa.
Praktycznie interesują nas nie pojedyncze zdarzenia elementarne  doświadczenia D lecz
podzbiory przestrzeni  . W przypadku gdy przestrzeń  jest skończona lub przeliczalna
to każdy podzbiór przestrzeni  nazywamy zdarzeniem losowym. W przypadku gdy
przestrzeń  jest nieprzeliczalna to nie każdy podzbiór jest zdarzeniem losowym.
-ciałem zdarzeń losowych przestrzeni  nazywamy rodzinę podzbiorów  przestrzeni
 spełniających warunki (aksjomaty):
1o   
2o Jeżeli A   to A’   gdzie A’ =  - A dopełnieniem (przeciwne) zdarzenia A.
3o Suma przeliczalnej lub skończonej liczby zbiorów z rodziny  należy do rodziny ,
tzn. jeżeli A1   ,………, An  ,….. to (A1…. An…… ) .
Każdy zbiór A należący do -ciała zdarzeń losowych  (A  ) będziemy nazywać
zdarzeniem losowym.
W przypadku przestrzeni  skończonej lub przeliczalnej =2 = { A   ; A podzbiór  }
Czyli każdy podzbiór przestrzeni  jest zdarzeniem losowym należącym do rodziny  .
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Funkcje P :   R przyporządkowującą każdemu zdarzeniu losowemu A   liczbę
P(A)  R nazywamy prawdopodobieństwem jeżeli są spełnione warunki (aksjomaty):
P1: P(A)≥0 dla dowolnego zdarzenia losowego A  
P2: P()=1
P3: Jeżeli A1   ,………, An  ,….. jest ciągiem parami rozłącznych zdarzeń losowych to
P(A1…. An…… )= P(A1)+….+P( An)+..…
Uwaga Zdarzenia A1   ,………, An  ,….. są parami rozłączne jeżeli część wspólna
dowolnej pary zdarzeń jest pusta tzn. AiAj= dla i  j i  zbiór pusty.
Z definicji prawdopodobieństwa wynikają następujące własności prawdopodobieństwa.
1o P( )=0 2o Jeżeli zdarzenie losowe A pociąga zdarzenie B (A  B ) to P(A)  P(B ).
3o P(A)  1 dla dowolnego zdarzenia losowego A  
4o Jeżeli zdarzenie losowe A pociąga zdarzenie B (A  B ) to P(B - A) =P(B ) - P(A).
A1   ,………, An   są parami rozłącznymi zdarzeniami losowymi to
P(A1…. An)= P(A1)+….+P( An)
6o P(A)+P( A’) =1 a stąd P(A)=1 - P( A’) i P(A’)=1 - P( A)
5o Jeżeli
7o P(A  B)  P(A)+P(B)-P(AB) dla dowolnych zdarzeń losowych A ,B   .
8o Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych  jest skończona lub przeliczalna. Wtedy
prawdopodobieństwa pi = P({i})  0 dla i  i
P1+….+ pn=1 gdy przestrzeń  jest skończona n – elementowa
P1+….+ pn+…..=1 gdy przestrzeń  jest przeliczalna
9o a) Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych  jest n – elementowa tzn.   n
b) zdarzenia elementarne {i} są jednakowo prawdopodobne tzn.
1
P({1})= P({2})=…….= P({n})=
n
to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A składającego się z k zdarzeń
elementarnych tzn. A  k wyraża się wzorem
A k liczba zdarzen elementarnych sprzyjajacych zdarzeniu A
P(A)=
= =
 n liczba wszystkich zdarzen elementarnych przestrzen i 
Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Tak określoną trójkę ( ,  , P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Prawdopodobieństwo warunkowe.
Niech B   i P(B)>0.
Definicja. Prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem zdarzenia B
dowolnego zdarzenia A   nazywamy liczbę P( A B) określoną wzorem:
p( AB)
A, B  
P( B)  0 . Stąd
P( B)
;
P( AB)  P( B) P( A B)
P( B)  0
P( AB)  P( A) P( B A)
P( A B) 
Definicja. Zdarzenia
P( AB)  P( A) P( B) .
A, B   są niezależne  P( A B)  P( A)
P( A)  0

Definicja. Zdarzenia
A1 , A2 ,....., An   są niezależne
 każdego
mn i
rosnącego ciągu liczb naturalnych 1  i1  i2  .....  im  n
P( Ai1 Ai2 ... Aim )  P( Ai1 ) P( Ai2 )...P( Aim ) .
Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.
Jeżeli B jest dowolnym zdarzeniem i A1 , A2 ,..., An są zdarzeniami spełniającymi warunki:
i j
a). Parami rozłączne
tzn. Ai A j  
b). Pokrywają zdarzenie B
tzn. B  A1  A2  ...  An
i
P( Ai )  0
i  1,2,...., n
to P( B)  P( A1 ) P( B A1 )  P( A2 ) P( B A2 )  ....  P( An ) P( B An )
Twierdzenie Bayesa.
Jeżeli zdarzenia B, A1 , A2 ,..., An spełniają założenia twierdzenia o
prawdopodobieństwie zupełnym i P( B)  0 to prawdopodobieństwo warunkowe
P( Ak B) zdarzenia Ak pod warunkiem zdarzenia B wyraża się wzorem
P( Ak B) 
P( Ak ) P( B Ak )
P ( B)
k  1,2,......, n
Wariancje i kombinacja
Jeżeli A  {a1 , a2 ,..., an } jest zbiorem różnych elementów.
Wariancją bez powtórzeń nazywamy każdy k – wyrazowy ciąg k różnych elementów
zbioru A. Taki k – wyrazowy ciąg k różnych elementów zbioru A powstaje ciągnąc k razy
z zbioru A bez zwracania elementów. Liczba wszystkich k – wyrazowych wariancji bez
powtórzeń n – elementowego zbioru A wynosi
Vnk  n(n  1)( n  2).......( n  k  1) k  n .
Wariancją z powtórzeniami nazywamy każdy k – wyrazowy ciąg k elementów zbioru A.
Taki k – wyrazowy ciąg k elementów zbioru A powstaje ciągnąc k razy z zbioru A z
zwracaniem wylosowanych elementów do zbioru A. Liczba wszystkich k – wyrazowych
Vn k  n k .
wariancji z powtórzeniami n – elementowego zbioru A wynosi
Kombinacja bez powtórzeń nazywamy każdy k – wyrazowy ciąg k różnych elementów
zbioru A w którym kolejność występowania wyrazów jest nie istotna czyli każdy k
elementowy podzbiór zbioru A. Liczba wszystkich k – wyrazowych kombinacji bez
powtórzeń n – elementowego zbioru A wynosi
 n  n(n  1)( n  2).......( n  k  1)
n!
Cnk    

k  n.
k!
k!(n  k )!
k 
Kombinacja z powtórzeniami nazywamy każdy k – wyrazowy ciąg k elementów zbioru
A w którym kolejność występowania wyrazów jest nie istotna . Liczba wszystkich k –
wyrazowych kombinacji z powtórzeniami n – elementowego zbioru A wynosi
nk
Cnk 
.
k!
Zmienne losowe jednowymiarowe
Niech ( ,  , P ) będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną
Definicja. Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję X :   R określoną na
przestrzeni zdarzeń elementarnych  o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych R
jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych X ( )  x
jest zdarzeniem losowym tzn. {   : X ( )  x}   dla każdego x  R .
Gdy przestrzeń  jest skończona lub przeliczalna to każda funkcja X :   R jest
zmienną losową.
Zmienne losowe będziemy oznaczać dużymi literami np. X , Y, S, T, Z…… a
odpowiadające im wartości odpowiednio małymi literami x , y, s, t, z……
Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową wartości ze
zbioru A podzbioru liczb rzeczywistych R.
Gdy X jest zmienną losową to zdarzeniami losowymi są zbiory zdarzeń elementarnych
{   : X ( )  A} gdy np. A  {x0 } , A  a, b  , A  a, b) , A  (a, b  ,
A  (a, b) , A  (, b) , A  a,) , A  (a,) , A  N itd.
Również w przypadku gdy A   gdzie  jest najmniejszym -ciałem zdarzeń losowych
przestrzeni =R zawierających różnego rodzaju przedziały liczbowe / zbiory Borelowskie /
zbiory {   : X ( )  A} są zdarzeniami losowymi .
Wtedy określone są prawdopodobieństwa P ( X  A) przyjęcia przez zmienną
losową X wartości ze zbioru A, określone w następujący sposób:
P( X  A)  P({   : X ( )  A}) .
A więc np. gdy A  a, b) . Wtedy
P( X  a, b))  P(a  X  b)  P({   : a  X ( )  b})
Tak określone prawdopodobieństwa określają rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X .
Definicja. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R  R
określoną na zbiorze liczb rzeczywistych R taką , że F ( x)  P( X  x) dla każdego x  R .
Dystrybuanty rozkładów prawdopodobieństwa pewnych zmiennych losowych są
stablicowane i z tablic możemy znaleźć najważniejsze prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X . Np.
P(a  X  b)  F (b)  F (a) ; P( X  a)  1  F (a) .
W badaniu statystycznym populacji generalnej ze względu na jedną cechę zmiennymi
losowymi będą funkcje X :   Z  R przyjmujące wartości – wartość cechy elementu
populacji.
Zmienne losowe określone na tym samym zbiorze zdarzeń elementarnych można
dodawać(mnożyć) – dodając(mnożąc) ich wartości dla zdarzenia elementarnego.
Zmiennymi losowymi są funkcje stałe tzn. przyjmujące tylko ustaloną określoną wartość dlatego też zmienne losowe można mnożyć i dzielić przez liczbę i dodawać lub odejmować
liczbę do zmiennej.
Zmienne losowe typu skokowego
Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego) jeżeli istnieje skończony zbiór
WX  {x1, x2 ,........, xn } lub przeliczalny WX  {x1 , x2 ,........, xn ,.......} jej wartości taki, że:
P( X  xi )  pi  0 i  1,2,...., n
i
n
p1  p2  ...  pn   pi  1 w przypadku skończonym
i 1
P( X  xi )  pi  0 i  N
i

p1  p2  ...  pn  ....   pi  1 w przypadku przeliczalnym
i 1
Zmienną losową X typu skokowego i jej rozkład prawdopodobieństwa można zapisać za
pomocą tabelki:
X  xi
x1 x 2 ........ x n .
w przypadku skończonym
P( X  xi )  pi p1 p 2 ....... p n .
X  xi
x1 x 2 ........ xn . .......
w przypadku przeliczalnym
P( X  xi )  pi p1 p 2 ....... p n . ........
Wtedy: P( X  A)   pi i dystrybuanta
xiA
F ( x)   pi
xi  x
Wartość oczekiwana m  E ( X ) określa się wzorem
n
m  E ( X )  x1 p1  x2 p 2 ...  xn pn   xi pi
w przypadku skończonym
i 1

m  E ( X )  x1 p1  x2 p 2 ...  xn pn  ....   xi pi
w przypadku przeliczalnym
i 1
Wariancja
 2  D 2 ( X ) określa się wzorem
n
 2  D 2 ( X )  ( x1  m) 2 p1  ( x2  m) 2 p 2 ...  ( xn  m) 2 p n   ( xi  m) 2 pi w przypadku skończonym
i 1

 2  D 2 ( X )  ( x1  m) 2 p1  ( x2  m) 2 p 2 ...  ( xn  m) 2 p n  ..   ( xi  m) 2 pi w przypadku przeliczalnym
i 1
Twierdzenie
n
 2  D 2 ( X )  x12 p1  x2 p 2 ...  xn p n  m 2   xi pi  m 2 w przypadku skończonym
2
2
2
i 1

  D ( X )  ( x p  x2 p 2 ...  xn p n  ....)  m   xi pi  m 2 w przypadku przeliczalnym
2
2
2
1 1
2
2
2
2
i 1
Odchylenie standardowe   D(X ) określa się wzorem   D( X )   2
Przykład wykorzystania i interpretacja obliczonych parametrów patrz plik „ Wartość
oczekiwana w multi lotku” na mojej stronie internetowej.
Przykład
Rzucamy kostką do gry tak długo aż wypadnie szóstka. Wyznaczyć zmienną losową
X przyjmującą wartości - liczbę rzutów kostką do momentu wyrzucenia szóstki oraz
rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Ponadto wyznaczyć wartość
oczekiwaną m tej zmiennej losowej i prawdopodobieństwo, że liczba rzutów będzie
większa niż 4.
Niech zdarzenie losowe Ai oznacza zdarzenie losowe, że w i – tym rzucie wypadnie
5
1
szóstka iN. P(Ai)=
i P(Bi)= gdzie Bi zdarzenie losowe przeciwne zdarzenia Ai a
6
6
więc zdarzenie, że w i – tym rzucie wypadnie inna liczba oczek niż 6. Ciąg zdarzeń Z1 , Z2 ,
…… , Zk
Z=A lub Z =B dla dowolnego kN jest niezależny. Do momentu wyrzucenia
szóstki w k – tym rzucie w poprzednich rzutach zachodzi zdarzenie Bi i=1,2,3,….,k-1 a w
k – tym rzucie wystąpi zdarzenie Ak. A więc zdarzenie, że zmienna losowa X przyjmie
wartość k, tzn.
{X=k}=B1B2…..Bk-1Ak . Z niezależności ciągu zdarzeń mamy
5k 1 1 5k 1
pk=P(X=k)=P(B1B2…..Bk-1Ak)= P(B1)P(B2)…..P(Bk-1)P(Ak)= k 1  k . Stąd tabelka zmiennej
6 6 6
losowej X typu skokowego przeliczalnego ma postać:
X  xi
1
2 ........ k . .......
1 5
5 k 1
....... k . ........
2
6 6
6
P ( X  xi )  p i
Uwaga
pk  P( X  k )  q k 1 p k  1,2,3,....
0  p 1
q  1 p
5
z parametrem 0  p  1 . W naszym przypadku P( X  k )   
6
k 1
- rozkład geometryczny
1
6
k  1,2,3,....;
p
1
.
6



1
1
 1 
n
stąd
x

nx n1 dla x  1 jako suma wyrazów

 

2
1  x n 0
 1  x  (1  x)
n 1
postępu geometrycznego dla q  x i a1  1 oraz można różniczkować obie strony
Ponieważ
równości a prawą stronę wszystkie wyrazy szeregu potęgowego w obszarze zbieżności.
A więc


5
pk    

k 1
k 1  6 
k 1
1 1   5 
  
6 6 k 1  6 
k 1
k
1   5 
1 1
   
1
6 k 0  6 
6 1 5
6
Wartość oczekiwana

m  E ( X )  x1 p1  x2 p 2 ...  xn pn  ....   xi pi
i 1

m  E( X )   k
k 1
5k 1 1   5 
  k 
6k
6 k 1  6 
k 1

1
1
6
6  5 2
1  
 6
Prawdopodobieństwo, że liczba rzutów będzie większa niż 4.
P(X>4)=1-P(X4)=1-P({X=1}{X=2}{X=3}{X=4})=1-(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4))
1 5 52 53
63  5  6 2  52  6  53
671
P( X  4)  1  (  2  3  4 )  1 
1
 1  0,5177  0,4823
4
6 6
6
6
6
1296
1
1
Analogicznie P(X>5)=0,4119 ; P(X>6)=0,3349 ; P(X>90)=
; P(X>91)=
13375568
16050678
Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, że rzucimy co najmniej 90 razy kostką do
gry i nie pojawi się szóstka jest takie same a nico większe co prawdopodobieństwo trafienia
szóstki w dużym lotku , które wynosi
1
.
13983816
Niektóre rozkłady skokowe.
Rozkład zero-jedynkowy.
Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p ,
p(0,1) jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa ma postać:
xi
0 1 .
pi
q
q  1 p
p .
m  E ( X )  0  (1  p)  1  p  p
 2  D 2 ( X )  pq
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego )
Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład dwumianowy z parametrami
p , p  (0,1) i n  N , jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa ma postać:
n
Wartościami zmiennej są liczby k  0 ,1 , 2 ,......, n i pk  P( X  k )    p k q nk k  0,1,2,...., n
k 
gdzie q  1  p
m  E ( X )  np
Wtedy
 2  D 2 ( X )  npq
Zmienna losowa X o rozkładzie dwumianowym jest związana z schematem
Bernoulliego z n niezależnymi doświadczeniami D1 , D2, …..,Dn w których
prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesu A wynosi p . Wartościami zmiennej losowej X
jest liczba sukcesów w n doświadczeniach.
Rozkład Poissona
Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład Poissona z parametrami >0 jeżeli
jej funkcja prawdopodobieństwa ma postać:
Wartościami zmiennej są liczby k =0,1,2,……,n,…N0
i
k

e2,72
p k  P ( X  k )  e 
k  N  0
k!
m  E( X )  
 2  D2 ( X )  
Zmienna losowa X rozkładu Poissona zastępuje z dużą dokładnością rozkład
dwumianowy dla dużej liczby doświadczeń n i małym prawdopodobieństwem sukcesu p.
W rozkładzie Poissona =np. .
Zmienne losowe typu ciągłego.
Zmienne losowe X jest typu ciągłego jeżeli istnieje funkcja y  f ( x) f : R  R taka,
że:
10 Przyjmuje wartości nieujemne tzn. f ( x)  0 x  R
20 Pole zawarte między wykresem funkcji y  f (x) a osią OX jest równe 1 .
30 Prawdopodobieństwa P(a  X  b) a  b a, b  R   , jest równe polu
zawartemu między wykresem funkcji y  f (x) , prostymi x  a , x  b i osią OX.
Funkcja y  f ( x) f : R  R spełniająca powyższe własności nazywa się funkcją
gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X .
Dla zmiennej losowej typu ciągłego P( X  x0 )  0 dla dowolnej ustalonej wartości x0 .
Stąd w prawdopodobieństwach
P ( a  X  b)  P ( a  X  b)  P ( a  X  b)  P ( a  X  b) .
Dla zmiennej losowej typu skokowego rodzaj nierówności ma znaczenie.
Dla tych co nie znają teorii całek podstawowe parametry nie można zdefiniować i
poszczególne parametry będą podawane dla poszczególnych rozkładów którymi będziemy
posługiwać się i które są stablicowane.
Dla tych co znają całki poszczególne wzory są następujące:

Własność 20 w definicji funkcji gęstości ma postać
 f ( x)dx  1

b
Własność 3 w definicji funkcji gęstości ma postać P(a  X  b) 
0
 f ( x)dx
a

m  E( X ) 
 xf ( x)dx


 2  D 2 ( X )   ( x  m) 2 f ( x)dx

x
Dystrybuanta F ( x)  P( X  x)   f ( )d .

Niektóre rozkłady typu ciągłego.
Rozkład równomierny (jednostajny , prostokątny).
Zmienna losowa X typu ciągłego ma rozkład równomierny skoncentrowany na
przedziale < a , b > jeżeli funkcja gęstości tego rozkładu jest określona wzorem:
 1

f ( x)   b  a

0
m  E( X ) 
dla
a xb
dla pozostalyc h
ab
2
Wtedy
x
 2  D2 (X ) 
0
x  a

F ( x)  
b  a

1
dla
dla
dla
xa
a xb
xb
(b  a) 2
12
Rozkład normalny.
Zmienna losowa X typu ciągłego ma rozkład normalny (gaussowski) jeżeli funkcja
gęstości tego rozkładu jest określona wzorem:
( x m )2

1
2
1
f ( x) 
e 2
   x  
dla
gdzie e  lim (1  ) n  2,72
n
n
 2
Parametrami rozkładu są liczby m ,   R i   0
Zmienna losowa X typu ciągłego mająca rozkład normalny oznaczać będziemy symbolem
N (m,  ) . Zapis X ~ N (m,  ) oznacza, że zmienna losowa X ma rozkład normalny z
parametrami m ,   R i   0 .
Wtedy :
wartość oczekiwana
wariancja
odchylenie standardowe
m  E( X )  m ;
współczynnik asymetrii (skośności)
 2  D2 (X )   2 ;
  ;
g3  0 ;
współczynnik spłaszczenia (eksces) g 4  0 ;
Współczynnik spłaszczenia dla dowolnej zmiennej losowej porównuje skupienie rozkładu wokół
jego wartości oczekiwanej m z rozkładem skupienia rozkładu N ( m,  ) . Jeżeli g 4  0 to
rozkład jest bardziej skupiony (stromy) niż odpowiedni rozkład normalny. Jeżeli g 4  0 to jest
przeciwne.
Jest to najważniejszy i najczęściej występujący w zastosowaniach i w przyrodzie rozkład
typu ciągłego.
Twierdzenie
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny ( X ~ N (m,  ) ) to zmienna losowa
X m
U
ma rozkład normalny standaryzowany N (0,1) ( U ~ N (0,1) ).

Twierdzenie to pozwala na sprowadzenie obliczania zagadnień związanych z zmienną
losową X ~ N (m,  ) do obliczania tych zagadnień związanych z zmienną losową
U ~ N (0,1) który jest stablicowany. Np. jeżeli X ~ N (m,  ) to
am X m bm
am
bm
bm
am
P ( a  X  b)  P (


)  P(
U 
)  (
)  (
)







bm
am
), (
) są wartościami dystrybuanty rozkładu normalnego
Gdzie wartości (


standaryzowanego U ~ N (0,1) który jest stablicowany.
Twierdzenie
P( X  m  3 )  P(m  3  X  m  3 )  0,9973  99,73%
P( X  m  2 )  P(m  2  X  m  2 )  0,9545  95,45%
P( X  m   )  P(m    X  m   )  0,6827  68,27%
Oznacza to np. że wszystkich wartości jakie przyjmie zmienna losowa X ~ N (m,  ) z przedziału
 m  3 , m  3  będzie w przybliżeniu 99,73%
Ponieważ np.
P(m  3  X  m  3 )  P(3 
X m

 3)  P(3  U  3)  (3)  (3)  0,99965  0,00135  0,9973
Inne rozkłady które będziemy wykorzystywać i które są stablicowane:
Rozkład chi-kwadrat
Jest to rozkład zmiennej losowej  2   n2  X 12  X 22  .....  X n2
i  1,2,...., n są zmiennymi niezależnymi.
losowe X i ~ N (0,1)
m  E( )  n
2
gdzie zmienne
  D 2 ( X )  2n
2
Rozkład ten ma stopień swobody n.
Rozkład t  Studenta .
Jest to rozkład zmiennej losowej t  t n 
X
 /n
2
n
gdzie
X ~ N (0,1) i  n2 ma
rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody.
n . Rozkład t  Studenta ma n stopień swobody.
m  E (t )  0
 2  D 2 (t ) 
n2
Dla n>30 rozkład ten ma rozkład asymptotycznie normalny
N (0,1) .
N (0,1) tzn. w przybliżeniu
Jeszcze będzie wykorzystywany rozkład stablicowany Snedecora F (r1 , r2 ) mający dwa
stopnie swobody r1 , r2 .
x 1