Zmienna losowa X jest określona następującą funkcją rozkładu

Rozwiązania zadań z testu.
1. Zmienna losowa X jest określona następującą funkcją rozkładu prawdopodobieństwa:
Xi
pi
-3
0,2
-1
0,2
1
0,3
3
0,3
Wartość oczekiwana tej zmiennej jest równa:
EX 
x p
i
i
 3  0,2  (1)  0,2  1  0,3  3  0,3  0,6  0,2  0,3  0,9  0,4
i
Wariancja tej zmiennej jest równa:
D2 X 
x
2
i pi
 E 2 X  (3) 2  0,2  (1) 2  0,2  12  0,3  3 2  0,3  0,4 2 
i
 9  0,2  1  0,2  1  0,3  9  0,3  0,16  1,8  0,2  0,3  2,7  0,16  5  0,16  4,84
2. Dominantą zmiennej losowej określonej w zadaniu 1 jest:
a) liczba 1
b) liczba 2
c) nie ma dominanty
d) liczby 1 i 3
Odpowiedz poprawna: nie ma dominanty
Uzasadnienie: zmienna losowa typy skokowego ma dominantę wtedy, jeżeli istnieje jedna taka wartość
zmiennej losowej, której odpowiada maksymalne prawdopodobieństwo realizacji. W naszym przypadku
nie ma takiej wartości zmiennej losowej,
3. Miarą rozrzutu elementów zmiennej losowej wokół jej wartości oczekiwanej jest:
a) wariancja
b) mediana
c) dominanta
d) dystrybuanta
Odpowiedź poprawna: wariancja
4. Badając rozkład zarobków netto pracowników pewnej firmy ustalono, że ¾ pracowników zarabia więcej niż
1456 złotych miesięcznie. Wielkość 1456 jest:
a) kwartylem pierwszym
b) kwartylem drugim
c) kwartylem trzecim
Odpowiedź poprawna: kwartylem pierwszym, mamy bowiem P( X  1456) 
d) medianą
1
4
P( X  1456) 
5. Równość wartości oczekiwanej i wariancji jest cechą charakterystyczną rozkładu:
a) Studenta
b) dwumianowego
c) normalnego
d) Poissona
Odpowiedź poprawna: Poissona, gdzie EX  D 2 X  
6. Metoda najmniejszych kwadratów w statystyce jest stosowana do wyznaczania:
a) funkcji rozkładu prawdopodobieństwa
b) funkcji dystrybuanty
c) nieznanych parametrów populacji
d) współczynnika zmienności
Odpowiedź poprawna: nieznanych parametrów populacji, np. parametry regresji II rodzaju
3
4
7. Badając kosztochłonność produkcji pewnego detalu wyznaczono na podstawie 25 elementowej próby
następujący przedział ufności dla średniej generalnej: m  1,12; 1,24  z P  0,95 .
Średnia arytmetyczna wyznaczona z tej próby jest równa:
1,12  1,24 2,36

 1,18
2
2
Proszę uzasadnić odpowiedź: przedział ufności budowany jest centralnie wokół średniej z próby poprzez
odjęcie (dodanie) liczby będącej półprzedziałem ufności t ,n 1 S x . Mamy stąd
x  t ,n1 S x  x  t ,n1 S x
2

2x
x
2
8. Jeżeli zwiększymy liczebność próby, to rozpiętość przedziału ufności dla średniej:
a) zmniejszy się
b) zwiększy się
c) nie zmieni się
d) nie wiadomo
Odpowiedź poprawna: zmniejszy się
Uzasadnienie: zmniejszy się błąd średniej arytmetycznej, co wynika z wzoru S x 
S2
, tym samym
n
mniejszy będzie półprzedział ufności, czyli mniejszą liczbę będziemy odejmować (dodawać) do średniej.