Przedział ufności dla wskaźnika struktury

Estymacja przedziałowa
Średnia arytmetyczna i wariancja z próby są tzw. estymatorami
punktowymi, bowiem oceniają nieznany parametr poprzez konkretną wartość
liczbową. Obok estymatorów punktowych w statystyce wprowadza się także
tzw. estymatory przedziałowe.
Przedziałem ufności nazywamy losowy, uzyskany na podstawie próby
przedział, w którym z przyjętym prawdopodobieństwem (ufnością) leży
nieznany parametr, czyli zachodzi następująca relacja
Pa    b  1   .
Przedział ufności dla wartości oczekiwanej
Rozważmy przypadek populacji, w której badana cecha ma rozkład
normalny z wartością oczekiwaną  i wariancją 2. Z populacji tej pobieramy n
-elementową próbę i na jej podstawie wyznaczamy oszacowania nieznanych
parametrów.
Przedział ufności, dla
wartości
współczynniku ufności przyjmuje postać
oczekiwanej
przy
ustalonym
s
s 

P x  t ,n1
   x  t ,n1
  1,
n
n

gdzie t ,n1 jest wartością z tablic t-Studenta dla n-1 stopni swobody, spełniającą
warunek
P t  t ,n1   1   , wielkość 1- nazywamy współczynnikiem
ufności.
Uwaga 1 : jeśli próba jest próbą dużą (n>30), to w miejsce wartości
podstawiamy wartość u z tablic rozkładu normalnego.
t ,n 1
Uwaga 2 : jeśli wariancja populacji jest znana, to w miejscu wartości krytycznej
dla rozkładu t podstawiamy u , a oszacowanie wariancji czyli s zastępujemy
przez σ.
Przedział ufności dla wariancji
Przypadek I
Jeśli próba jest mała (n<30), to przedział ufności dla wariancji wyznacza się ze
wzoru
 n  1s 2
n  1s 2   1   ,
P
 2 
c1 
 c2
gdzie c1 i c2 są wartościami z rozkładu
zależności


1
P  2  c1  
2
oraz
 n21

spełniającymi następujące

1
P  2  c2   .
2
Przypadek II
Jeśli próba pobrana z populacji jest duża (n30), to w miejsce przedziału
ufności dla wariancji konstruuje się przedział ufności dla odchylenia
standardowego zgodnie ze wzorem


s
s
P
 
u
u

1 
1
2n
2n



  1  .



jest wartością z tablic rozkładu normalnego spełniającą warunek
P u  u   1   .
gdzie u
Przedział ufności dla wskaźnika struktury
Wskaźnik struktury określa częstość występowania badanego stanu w
populacji. Do oszacowania wskaźnika struktury pobieramy próbę z populacji i
oznaczamy w niej liczbę elementów (osobników) posiadających daną cechę.
Jeśli w n-elementowej próbie takich osobników jest m, to oszacowaniem
wskaźnika struktury jest
pˆ  m / n.
Na tej podstawie szacuje się wskaźnik struktury według następującego wzoru


m
P  u
n



m m
1  
m
n
n
 p   u
n
n
m  m  
1  
n
n
  1 .
n


