W rachunku prawdopodobieństwa mówiąc o zmiennej losowej
advertisement
Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej m. Model I Zakładamy, że populacja generalna ma rozkład N(m,). Wartość średnia m jest nie znana, zaś jest znane. Zachodzi to w sytuacji np. gdy pomiaru danej cechy dokonujemy przyrządem pomiarowym o znanej dokładności (rozrzut pomiarów powinien być podany przez wytwórcę przyrządu pomiarowego). Przedział ufności dla średniej otrzymuje się wówczas z wzoru: P( x u < m < x u )=1- n n gdzie u wyznacza się z tablicy rozkładu normalnego N(0, 1) w taki sposób aby dla danego z góry prawdopodobieństwa 1 - spełniona była relacja P(u U u ) 1 P( U u ) . Model II Zakładamy, że populacja generalna ma rozkład N(m,). Wartość średnia m i odchylenie standardowe populacji są nie znane. Z populacji wylosowano niezależnie małą próbę o liczebności n. Przedział ufności dla średniej otrzymuje się wówczas z wzoru: s s < m < x t )=1- n 1 n 1 P( x t gdzie t,n-1 oznacza wartość zmiennej t - Studenta odczytaną z tablicy tego rozkładu dla n - 1 stopni swobody w taki sposób, aby dla danego z góry prawdopodobieństwa 1 - spełniona była relacja P(t ,n1 t t ,n1 ) 1 P( t t ,n1 ) Model III Zakładamy, że populacja generalna ma rozkład N(m,) lub dowolny inny rozkład o średniej m i odchyleniu . Wartość średnia m i odchylenie standardowe populacji są nie znane, zaś liczba obserwacji n jest bardzo duża (n > 30) przynajmniej kilkadziesiąt. Przedział ufności dla średniej otrzymuje się wówczas z wzoru: P( x u s s < m < x u )=1- n n gdzie u wyznacza się z tablicy rozkładu N(0, 1) w taki sposób aby dla danego z góry prawdopodobieństwa 1 - spełniona była relacja P(u U u ) 1 P( U u ) Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia standardowego Model I Populacja generalna ma rozkład normalny N(m, ) o nieznanych parametrach m i . Z populacji tej wylosowano niezależnie 2 próby n elementów ( zakładamy, że n jest małe, tj. n<30). Z próby obliczono s .. Wówczas przedział ufności dla wariancji 2 populacji generalnej określony jest wzorem: 2 ns 2 ns 2 P 2 σ 2 1 α χ χ α α ,n 1 1 ,n 1 2 2 gdzie 2 2 ,n 1 , 2 1 , n 1 2 są wartościami zmiennej 2 wyznaczonymi z tablicy rozkładu 2 z n - 1 stopniami swobody . Chcąc wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego bierzemy pierwiastek kwadratowy z końców przedziału ufności dla wariancji 2 . Model II Przedział ufności dla odchylenia standardowego populacji generalnej, gdy liczba obserwacji n jest bardzo duża przynajmniej kilkadziesiąt określony jest wzorem: s 2n P 2n 1 u s 2n 2 n 1 u =1- gdzie u wyznacza się z tablicy rozkładu N(0, 1) w taki sposób aby dla danego z góry prawdopodobieństwa 1 - spełniona była relacja P(u U u ) 1 P( U u ) .
