Estymacja przedziałowa Średnia arytmetyczna i wariancja z próby są tzw. estymatorami punktowymi, bowiem oceniają nieznany parametr poprzez konkretną wartość liczbową. Obok estymatorów punktowych w statystyce wprowadza się takŜe tzw. estymatory przedziałowe. Przedziałem ufności nazywamy losowy, uzyskany na podstawie próby przedział, w którym z przyjętym prawdopodobieństwem (ufnością) leŜy nieznany parametr, czyli zachodzi następująca relacja P(a < θ < b ) = 1 − α . Przedział ufności dla wartości oczekiwanej RozwaŜmy przypadek populacji, w której badana cecha ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną µ i wariancją σ2. Z populacji tej pobieramy n -elementową próbę i na jej podstawie wyznaczamy oszacowania nieznanych parametrów. Przedział ufności, dla wartości współczynniku ufności przyjmuje postać oczekiwanej przy ustalonym s s P x − tα ,n−1 < µ < x + tα ,n−1 = 1−α, n n gdzie tα ,n−1 jest wartością z tablic t-Studenta dla n-1 stopni swobody, spełniającą warunek P ( t < tα ,n −1 ) = 1 − α , wielkość 1-a nazywamy współczynnikiem ufności. Uwaga 1 : jeśli próba jest próba duŜą (n>30), to w miejsce wartości podstawiamy wartość ua z tablic rozkładu normalnego. tα ,n−1 Uwaga 2: jeśli wariancja populacji jest znana, to w miejscu wartości krytycznej dla rozkładu t podstawiamy ua a oszacowanie wariancji czyli s zastępujemy przez σ. Przykład 1 Obserwowano średnią temperaturę kwietnia w latach 1988 – 2000. Uzyskano dane: 15,3 15,7 13,3 18,5 16,6 14,9 15,1 14,3 15,0 13,8 13,7 13,9 17,6. Zbudować 95% przedział ufności dla wartości oczekiwanej. n = 13, 1-a = 0.95 (14.26; 16.15) Przedział ufności dla wariancji Przypadek I Jeśli próba jest mała (n<30), to przedział ufności dla wariancji wyznacza się ze wzoru (n − 1)s 2 ( n − 1)s 2 2 = 1−α, P <σ < c c 2 1 gdzie c1 i c2 są wartościami z rozkładu zaleŜności ( ) 1 P χ 2 < c1 = α 2 oraz χ n2−1 ( spełniającymi następujące ) 1 P χ 2 ≥ c2 = α . 2 Przykład 2 Zbudować 90% przedział ufności dla danych z przykładu 1. ( 0.89; 3.59 ) Przypadek II Jeśli próba pobrana z populacji jest duŜa (n≥30), to w miejsce przedziału ufności dla wariancji konstruuje się przedział ufności dla odchylenia standardowego zgodnie ze wzorem s s P <σ < uα u 1− α 1+ 2n 2n = 1 −α. gdzie uα jest wartością z tablic rozkładu normalnego spełniającą warunek P( u < uα ) = 1 − α . Przykład 3 Obserwowano średnią temperaturę kwietnia w latach 1961 – 2000. Okazało się, Ŝe odchylenie standardowe badanej cechy obliczone na podstawie tych danych jest równe 1.25. Zbudować 95% przedział ufności dla odchylenia standardowego średniej temperatury kwietnia. Przedział ufności dla wskaźnika struktury Wskaźnik struktury określa częstość występowania badanego stanu w populacji. Do oszacowania wskaźnika struktury pobieramy próbę z populacji i oznaczamy w niej liczbę elementów (osobników) posiadających daną cechę. Jeśli w n-elementowej próbie takich osobników jest m, to oszacowaniem wskaźnika struktury jest pˆ = m / n. Na tej podstawie szacuje się wskaźnik struktury według następującego wzoru m P − uα n m m 1 − m n n < p < + uα n n m m 1 − n n =1−α . n Przykład 4 W pewnej populacji badano liczbę osób palących. Wśród 400 zbadanych osób 80 było palących. Z dokładnością 99% chcemy oszacować metodą przedziałową wskaźnik osób palących w tej populacji. W rozwaŜanym przykładzie mamy m = 80, n = 400 oraz granice przedziału są równe: 0.2 − 2.576 * u 0.01 = 2.576 . Stąd 0.2(1 − 0.2 ) = 0.2 − 2.576 * 0.02 = 0.2 − 0.052 = 0.148 400 , czyli nieznany procent osób palących z prawdopodobieństwem 0.99 mieści się w przedziale ( 14.8; 25.2 ).