Parametry rozkładu zmiennej losowej — wartość oczekiwana

Parametry rozkładu zmiennej losowej
—
—
—
—
—
wartość oczekiwana (wartość przeciętna, wartość średnia, nadzieja matematyczna)
wariancja
odchylenie standardowe
mediana
moda
Wartość oczekiwana
— Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej X
typu skokowego o rozkładzie pi = P (X = xi ), gdzie i ∈ {1, 2, . . . }, nazywamy liczbę
EX =
X
xi pi ,
i=1
przy założeniu, że suma
X
xi pi jest skończona albo szereg nieskończony
i=1
∞
X
|xi |pi jest zbieżny.
i=1
Wartość oczekiwana
— Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f nazywamy liczbę
+∞
Z
EX =
xf (x)dx,
−∞
+∞
Z
|x|f (x)dx jest zbieżna.
przy założeniu, że całka
−∞
Podstawowe własności wartości oczekiwanej
— E(aX + b) = aEX + b, gdzie a, b ∈ R
— jeżeli X i Y są dowolnymi zmiennymi losowymi, dla których istnieją wartości oczekiwane EX oraz EY , to E(X +
Y ) = EX + EY
— jeżeli istnieje E|X|, to prawdziwa jest nierówność |EX| 6 E|X|
— wartość oczekiwana jest miarą położenia, parametrem pozycyjnym: wskazuje punkt środkowy rozkładu, tzn. punkt,
wokół którego grupują się wartości zmiennej losowej
— interpretacja fizyczna: wartość oczekiwaną można utożsamiać z pojęciem środka ciężkości, jeśli prawdopodobieństwa
zinterpretujemy jako masy
Uwaga. Jak wynika z definicji, wartość oczekiwana dla niektórych zmiennych losowych nie istnieje (odpowiedni szereg
lub odpowiednia całka nie są zbieżne).
Wariancja
— Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę
D2 (X) = E(X − EX)2 .
— Jeżeli X jest zmienną losową typu skokowego o rozkładzie
pi = P (X = xi ), i ∈ {1, 2, . . . }, i wartości oczekiwanej EX = m, to
D2 (X) =
X
i
1
(xi − m)2 pi .
— Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f i wartości oczekiwanej EX =
m, to
+∞
Z
D2 (X) =
(x − m)2 f (x)dx.
−∞
Podstawowe własności wariancji
—
—
—
—
2
2
2
D (X) = E(X ) − (EX)
D2 (aX + b) = a2 D2 (X), gdzie a, b ∈ R
D2 (X) > 0 dla dowolnej zmiennej losowej X
wariancja jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej
Odchylenie standardowe
— Odchyleniem standardowym nazywamy liczbę
D(X) =
p
D2 (X).
— Podstawowe własności odchylenia standardowego:
— D(aX + b) = |a|D(X), gdzie a, b ∈ R
— D(X) > 0 dla dowolnej zmiennej losowej X
— odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej
Wartości EX oraz D2 (X) dla podstawowych rozkładów skokowych
— Rozkład jednopunktowy:
EX = a, D2 (X) = 0.
— Rozkład zero-jedynkowy:
EX = p, D2 (X) = pq.
— Rozkład Bernoulliego:
EX = np, D2 (X) = npq.
— Rozkład Poissona z parametrem λ:
EX = λ, D2 (X) = λ.
Wartości EX oraz D2 (X) dla podstawowych rozkładów ciągłych
— Rozkład jednostajny na przedziale ha, bi:
a+b
(b − a)2
EX =
, D2 (X) =
.
2
12
— Rozkład normalny N (m, σ):
EX = m, D2 (X) = σ 2 .
— Rozkład wykładniczy z parametrem λ:
EX = λ, D2 (X) = λ2 .
Mediana
— Medianą zmiennej losowej X nazywamy liczbę M e spełniającą warunki:
P (X 6 M e) >
1
1
oraz P (X > M e) > .
2
2
— W przypadku zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości f powyższe nierówności redukują się do jednego z dwóch
równań:
+∞
ZM e
Z
1
1
f (x)dx =
lub
f (x)dx = .
2
2
−∞
Me
— Mediana jest parametrem, który nie zawsze jest wyznaczony w sposób jednoznaczny.
Czasami zdarza się nawet, że mediana jest dowolną liczbą z pewnego przedziału domkniętego.
2
Moda
— Modą M o (dominantą) zmiennej losowej X nazywamy:
— w przypadku zmiennej losowej typu skokowego - wartość zmiennej losowej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo;
— w przypadku zmiennej losowej typu ciągłego - wartość, dla której gęstość prawdopodobieństwa przyjmuje
maksimum lokalne.
— Moda jest więc wartością, która należy do zbioru wartości zmiennej losowej. Istnieją rozkłady jednomodalne (jest
tylko jedna moda), wielomodalne (więcej niż jedna moda) oraz takie, dla których moda nie istnieje.
— Mediana i moda to, podobnie jak wartość oczekiwana, parametry charakteryzujące położenie zbioru wartości
zmiennej losowej. Są to tzw. wskaźniki położenia lub inaczej charakterystyki pozycyjne.
3