Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2
Zmienne losowe i ich rozkłady
Magdalena Frąszczak
Wrocław, 11.10.2016r
Zmienne losowe i ich rozkłady
Doświadczenie losowe:
Rzut monetą
Rzut kostką
Wybór losowy n kart z talii 52
Gry losowe
Z wynikiem doświadczenia losowego wiąże się w naturalny sposób
pewną liczbę albo ciąg liczb. Funkcję przekształcająca wynik
eksperymentu losowego na liczbę rzeczywistą nazywamy zmienną
losową.
Zmienna losowa
Niech (Ω, F, P) oznacza podstawową przestrzeń
probabilistyczną.
Definicja 2.1: Zmienna losowa
Zmienną losową nazywamy funkcję określoną na przestrzeni
zdarzeń elementarnych Ω o wartościach ze zbioru liczb
rzeczywistych X : Ω → R, taką że dla każdego a ∈ R
{ω : X (ω) ¬ a} ∈ F
Mniej formalnie mówiąc, zmienna losowa to taka funkcja X
określona na zbiorze zdarzeń elementarnych o wartościach
liczbowych, dla której dane są prawdopodobieństwa
przyjmowania przez X wartości z dowolnego zbioru.
Zmienna losowa
Zmienne losowe:
dyskretne (typu skokowego) - zmienna przyjmuje dowolne
wartości ze zbioru skończonego albo przeliczalnego
typu ciągłego -zmienna przyjmuje dowolne wartości z
określonego przedziału
Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami, np.: X , Y , Z ,
natomiast małymi literami (x, y , z) oznaczamy wartości
zmiennych losowych.
Rozkład zmiennej losowej
Definicja 2.2: Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X nazywamy funkcję
FX (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako
FX (t) = P(ω : X (ω) ¬ t)
Własności dystrybuanty
FX jest niemalejąca
limt→∞ FX (t) = 1
limt→−∞ FX (t) = 0
FX jest prawostronnie ciągła
Rozkład zmiennej losowej
Warto zauważyć, że dla ciągłej zmiennej losowej i dowolnych liczb
a, b ∈ R
P(X ¬ a) = FX (a)
P(X ­ a) = 1 − FX (a)
P(a ¬ X ¬ b) = FX (b) − FX (a)
Gęstość zmiennej losowej
Definicja 2.3:
Funkcją gęstości rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X
nazywamy funkcję fX (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako
fX (t) = P(ω : X (ω) = t)
Definicja 2.4:
Funkcją gęstości rozkładu ciągłej zmiennej losowej X nazywamy
funkcję fX (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako
Z t
FX (t) =
−∞
fX (t)dt
Własności gęstości zmiennej losowej
Uwaga!
d
FX (t) = fX (t)
dt
Każda funkcja, będąca gęstością prawdopodobieństwa,
wyznacza jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym
rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej.
Twierdzenie 2.1
Funkcja f (x) jest gęstością pewnej zmiennej losowej wtedy i tylko
wtedy, gdy
1
f (x) ­ 0
2
R∞
−∞ f (t)dt
=1
Własności gęstości zmiennej losowej
Przykład 2.1
Dobrać stałe a i b > 0 tak, aby funkcja
(
f (x) =
a cos x dla x ∈ [0, b]
0 dla x ∈
/ [0, b]
była gęstością pewnej zmiennej losowej.
Należy dobrać stałe tak aby były spełnione warunki 1 i 2 z
Twierdzenia 2.1. A zatem, aby f (x) ­ 0 musi zachodzić
a ­ 0 oraz 0 ¬ b ¬ π/2.
Aby był spełniony warunek 2 musi zachodzić równość:
Z b
a cos xdx = 1
0
Własności gęstości zmiennej losowej
Obliczając całkę
Z b
0
a cos xdx = a sin x|b0 = a sin b − a sin 0 = a sin b
dostajemy warunek a sin b = 1, a stąd b = arc sin(1/a).
Zatem aby dana funkcja była gęstością, stałe muszą spełniać
warunki: a ­ 0, b = arc sin(1/a).
Interpretacja graficzna zależności pomiędzy funkcją
gęstości a rozkładem prawdopodobieństwa
Funkcje zmiennych losowych
Przykład 2.2
Niech X będzie nieujemną zmienną
√ losową o gęstości fX . Znaleźć
gęstość zmiennej losowej Y = X .
Dla x ­ 0 zachodzi:
Z
√
FY (t) = P( X ¬ t) = P(X ¬ t 2 ) = FX (t 2 ) =
0
a stąd:
fY (t) =
dFY (t)
= 2tfX (t 2 )I(0,∞) (t)
dt
t2
fX (u)du
Transformacje zmiennych losowych
Twierdzenie 2.2
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie z gęstością fX (x) oraz
niech Y = g (X ), gdzie g jest funkcją ściśle monotoniczną.
Załóżmy, że fX (x) jest funkcją ciągłą oraz że g −1 (y ) jest funkcją z
ciągłą pochodną. Wtedy gęstość rozkładu zmiennej losowej Y jest
postaci:
d −1
−1
fY (y ) = fX (g (y )) g (y )
dy
Transformacje zmiennych losowych
Przykład 2.3
Niech X oznacza zmienną losową o gęstości:
fX (x) = e −x I(0,∞) (x).
Chcemy znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ln X .
Funkcją g jest tutaj g (x) = ln(x), a zatem dla y ∈ R,
d −1
g −1 (y ) = e y . Dalej dy
g (y ) = e y .
Korzystając z Twierdzenia 2.2 otrzymujemy
y
fY (y ) = e −e · e y
Transformacje zmiennych losowych
Przykład 2.4
Niech X będzie daną zmienną losową. Znaleźć gęstość zmiennej
losowej Y = aX + b, a, b ∈ R+
Sposób I:
t −b
FY (t) = P(aX +b ¬ t) = P(ax ¬ t −b) = P X ¬
a
= FX
zatem
t −b
a
1
dFY (t)
fY (t) =
= fX
dt
a
t −b
a
=
Transformacje zmiennych losowych
Sposób II
g (x) = ax + b, a stąd g −1 (y ) = 1a (y − b), a następnie
d −1
(y ) = 1a . Zatem
dy g
d
fY (y ) = fX (g −1 (y )) dy
g −1 (y ) =
1
fX
|a|
y −b
a
Literatura:
Bartoszewicz J.,Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN,
Warszawa 1989
Gajek L., Kałuszka M.,Wnioskowanie statystyczne, WNT,
Warszawa 2000, wyd. IV.
M. Krzyśko,Statystyka matematyczna, Wyd. UAM, Poznań
2004
R. Zieliński,Siedem wykładów wprowadzających do statystyki
matematycznej, PWN, Warszawa 1990