kurs prawdopodobieństwo

KURS
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
Lekcja 6
Ciągłe zmienne losowe
ZADANIE DOMOWE
www.etrapez.pl
Strona 1
Część 1: TEST
Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Pytanie 1
Zmienna losowa ciągła jest to…
a)
b)
c)
d)
Przedział liczbowy
Pewien zbiór liczb rzeczywistych
Funkcja przyporządkowująca zdarzeniom liczby z pewnego przedziału liczbowego
Zmienna w równaniu
Pytanie 2
Prawdopodobieństwo w zmiennej losowej ciągłej to…
a) Wartości funkcji gęstości
b) Funkcja gęstości
c) Dystrybuanta
d) Całka oznaczona (lub niewłaściwa) z funkcji gęstości
Pytanie 3
Zmienna losowa X jest zmienną losową ciągłą. Prawdopodobieństwo tego, że zmienna
losowa X przyjmie wartość pomiędzy liczbami a i b możemy obliczyć…
a) Obliczając wartości dystrybuanty zmiennej X w punktach a i b i odejmując mniejszą od
większej
b) Obliczając wartości funkcji gęstości zmiennej X w punktach a i b i odejmując mniejszą
od większej
x
c) Obliczając całkę
 f  t  dt dla x 
a, b

b
d) Licząc całkę oznaczoną z dystrybuanty:
 F  x  dx
a
www.etrapez.pl
Strona 2
Pytanie 4
Dystrybuanta w ciągłej zmiennej losowej oznacza…
a) Zupełnie coś innego, niż w dyskretnej zmiennej losowej
b) To samo, co w dyskretnej zmiennej losowej, tzn. P  X  x 
c) Liczbę
d) Funkcję ciągłą – ale niekoniecznie rosnącą (jak w zmiennej losowej dyskretnej)
Pytanie 5
Jaki jest alternatywny wzór do obliczenia wariancji?
a) D2  X    EX   EX 2
2
b) D2  X   E 2 X  EX 2
c) D2  X   E 2 X   EX 
2
d) D2  X   EX 2   EX 
2
Pytanie 6
Która z charakterystyk liczbowych dyskretnej zmiennej losowej nie ma odpowiednika w
charakterystykach liczbowych ciągłej zmiennej losowej?
a) Żadna nie ma odpowiednika
b) Kwantyl
c) Dominanta
d) Wszystkie mają odpowiedniki
Pytanie 7
Wykres funkcji gęstości musi spełniać warunek:
a)
b)
c)
d)
Przedstawiać funkcję rosnącą
Przedstawiać funkcję ciągłą
Pole pod wykresem a osią OX powinno być równe 1
Powinien mieć asymptotę poziomą y  1
www.etrapez.pl
Strona 3
Pytanie 8
Prawdą jest, że…
a)
b)
c)
d)
Dystrybuanta to pochodna z funkcji gęstości
Funkcja gęstości to pochodna z dystrybuanty
Funkcja gęstości to całka z dystrybuanty
Dystrybuanta to całka ze zmiennej losowej
Pytanie 9
Dwa parametry rozkładu normalnego to:
a)
b)
c)
d)
Wartość oczekiwana i wariancja
Wariancja i mediana
Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe
Wartość oczekiwana i zmienna standaryzowana Z
Pytanie 10
Po co „standaryzuje” się zmienną losową X przechodząc na zmienną losową Z?
a) Aby przejść z dowolnego rozkładu na rozkład normalny
b) Aby przejść z rozkładu normalnego na dowolny inny rozkład
c) Aby przejść z dowolnego rozkładu normalnego N  m,   na rozkład normalny N  0,1
d) Aby przejść z rozkładu normalnego N  0,1 na dowolny rozkład normalny N  m,  
www.etrapez.pl
Strona 4
Część 2: ZADANIA
Zadanie 1
Zmienna losowa ma rozkład o gęstości:
 xe x dla x  0
f  x  
0 dla pozostalych x
Oblicz jej dystrybuantę, a także: P 1  X  2  , P  X  3 , P  X  1
Zadanie 2
Dobierz stałą a, tak, żeby funkcja:



a cos x dla   x 
f  x  
2
2

0
dla
pozostalych
x

była funkcją gęstości, wyznaczyć jej dystrybuantę, wartość oczekiwaną i


P X  
6

Zadanie 3
Zmienna losowa funkcję gęstości postaci:
0 dla x  1
1
 x  1 dla x  1, 0
2
2
f  x  
 1 x  1 dla x  0,3
 6
2
0 dla x  3

Wyznacz jej dystrybuantę, wartość oczekiwaną, dominantę, wariancję, odchylenie
standardowe, współczynnik zmienności, współczynnik asymetrii, współczynnik koncentracji.
www.etrapez.pl
Strona 5
Zadanie 4
Zmienna losowa X typu ciągłego ma dystrybuantę postaci:
0 dla x  1

  1
F  x   2 1   dla 1  x  2
  x
1 dla x  2
Wyznacz jej funkcję gęstości, P  2  X  1 14  i wartość oczekiwaną.
Zadanie 5
Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(0,1). Wyznacz:
a) P  X  0,9 
b) P  X  1
c) P  0,6  X  1,5
d) P  0, 2  X  0,76 
e) P  X  0, 25
f)
P  X  2
g) P  X  0,1
h) P  1  X  0,5
i)
P  1  X  1
j)
P  X  0,5
k) P  X  2 
Zadanie 6
Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(-2,3). Wyznacz:
a) P  2, 2  X  1,9 
b) P  X  0 
c) P  X  1
www.etrapez.pl
Strona 6
Zadanie 7
Błąd pomiaru długości w pewnym doświadczeniu jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym, z wartością oczekiwaną błędu równą 2mm i odchyleniu standardowym 3mm.
Oblicz prawdopodobieństwo, że przy mierzeniu pomyliliśmy się o więcej niż 4 milimetry.
Zadanie 8
Masa wyprodukowanych w zakładzie samochodów jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym N(1600kg,100kg).
a) Jaki procent samochodów wyprodukowanych w tym zakładzie ma masę ponad
1700kg?
b) Pod uwagę bierzemy 10% najcięższych samochodów wyprodukowanych przez ten
zakład. Ile waży najlżejszy z nich?
Zadanie 9
Czas przeglądu samochodu w warsztacie jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z
wartością oczekiwaną 0,5 godziny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas przeglądu
samochodu jest mniejszy niż 2 godziny?
KONIEC
www.etrapez.pl
Strona 7