Dwuwymiarowa zmienna losowa

Zestaw 8. Dwuwymiarowa zmienna losowa
Zadanie 1. Dany jest rozkład zmiennej losowej (X,Y)
Y 1 2 3
X
3
0,2 0,2 0
4
0,1 0,2 0,3
a) Znaleźć rozkłady brzegowe i obliczyć E(X) i D(X).
b)Wyznaczyć rozkład warunkowy P(XIY=1) i obliczyć wartość oczekiwaną w tym
rozkładzie.
Zadanie 2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) posiada następujący rozkład:
yj
xi 0
1
1 0,1 0,1
4 0,1 0,2
7 0,0 0,5
a)Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej (X,Y)
b) Wiedząc, że E(Y)=0,8 obliczyć kowariancję w tym rozkładzie.
Zadanie 3. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 5 oraz 10, natomiast zmienna Y - 0 i 1.
Dane są: - rozkład warunkowy: P(X=5IY=0)= 1/3 ; P(X=10IY=0)=2/3
- rozkład brzegowy zmiennej Y: P(Y=0) =1/4; P(Y=1) = 3/4
a) Wiedząc, że zmienne X oraz Y są niezależne, określić rozkład brzegowy zmiennej X oraz
łączny rozkład zmiennej (X,Y).
b) Sprawdź czy zmienne X i Y są nieskorelowane, wyznaczając wartości oczekiwane
zmiennych X oraz XIY=1, a także kowariancję.
Zadanie 4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma rozkład prawdopodobieństwa
określony następująco :
P X  1, Y  1  0,2, P X  1, Y  2  0,3, P X  3, Y  1  0,4, P X  3, Y  2  0,1.
a) Zapisać ten rozkład w tabeli,
b) Zbadać, czy zmienne losowe X i Y są niezależne,
c) Wyznaczyć dystrybuantę dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y)
przeciętną zmiennej losowej X,
d) Obliczyć wartość dystrybuanty w punkcie (2, 2).
i wartość
Zadanie 5. Wybieramy liczby spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zmienna losowa X przyjmuje 1,
gdy wylosowano liczbę parzystą lub wartość 0, gdy wylosowano liczbę nieparzystą. Zmienna
losowa Y przyjmuje wartość 1, gdy wylosowano liczbę podzielną przez 3 lub wartość 0, gdy
wylosowano liczbę niepodzielną przez 3.
(a)Znajdź rozkład zmiennej losowej (X, Y).
(b)Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej (X,Y)
(c)Oblicz P(X=-1,Y=-1),P(X=0,Y=-1),P(X=0,Y=1),F(-1,-1),F(0,-1),F(1,1)
Zadanie 6. Zmienna losowa X oznacza cenę komputera (w zł), Y oznacza liczbę awarii tego
komputera w czasie T. Zmienna losowa dwuwymiarowa (X,Y) skokowa ma funkcję
prawdopodobieństwa przedstawioną w tabeli
yj
0
1
2
3
4
5
xi
2
0
0,01 0,02 0,02 0,06 0,06
3
0,01 0,02 0,03 0,02 0,05 0,04
4
0,02 0,03 0,04 0,04 0,04 0
5
0,03 0,05 0,05 0,01 0,03 0
6
0,04 0,07 0,04 0,01 0
0
7
0,05 0,08 0,03 0
0
0
(a)Znajdź rozkłady brzegowe tych zmiennych.
(b)Znajdź rozkład awarii komputerów kosztujących 7 tyś. zł oraz rozkład ceny komputerów mających
4 awarie w ciągu czasu T.