Dla zmiennych losowych można podać pewne podstawowe

Dla zmiennych losowych można podać pewne podstawowe chrakterystyki:
1. Wartość oczekiwana- oznaczana EX
– (a) X - zmienna losową dyskretna - EX =
Pn
i=1
xi pi , gdzie pi = P [X = xi ].
– (b) X - zmienna losowa ciągła o gęstości f - EX =
Z ∞
xf (x)dx.
−∞
2. Wariancja i odchylenie standardowe- oznaczane D2 X i DX =
– (a) dla zmiennej dyskretnej D2 X =
n
X
√
D2 X odpowiednio
pi (xi − EX)2 ;
i=1
2
– (b) dla zmiennej typu ciągłego D X =
Z ∞
(x − EX)2 f (x)dx.
−∞
Można pokazać, że D2 X = EX 2 − (EX)2 .
3. Moda - inaczej dominanta lub wartość modalna- oznaczana M o – (a) dla zmiennej dyskretnej jest to wartość x o największym prawdopodobieństwie wystąpienia, lub wartość najczęściej występująca w próbie;
– (b) dla zmiennej losowej mającej rozkład ciągły jest to wartość x, dla której funkcja
gęstości prawdopodobieństwa osiąga maximum
4. Mediana- oznaczana M e-nazywamy liczbę x spełniającą związki
P [X ¬ x]  21 , P [X  x]  12 .
– (a) W przypadku zmiennej losowej ciągłej o gęstości f (x) i dystrybuancie F (x) powyższe nierówności sprowadziają się do równania F (x) = 12 .
Rozkład Bernoullie’go
! (dwumianowy, binominalny)- funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzon k n−k
rem P [X = k] =
p q , q = 1 − p k = 0, 1, . . . , n, i interpretowana jest jako prawdopodok
bieństwo k sukcesów w n próbach. Dla rozkładu tego mamy EX = np, D2 X = npq.
Twierdzenie
ma rozkład N (0, 1).
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N (µ, σ) to zmienna losowa Y = X−µ
σ