Inżynierskie zastosowania statystyki 4

Inżynierskie zastosowania statystyki 4
Zagadnienia: Zmienna losowe typu dyskretnego, funkcja prawdopodobieństwa, rozkład dwumianowy (Bernoulliego), liniowe przekształcenie zmiennej losowej, funkcja zmiennej losowej, rozkład normalny, zmienna losowa standaryzowana, kwantyl,
współczynnik asymetrii i kurtoza, dwuwymiarowa zmienna losowa typu ciągłego
i dyskretnego: dystrybuanta i gęstość oraz ich własności, rozkład łączny i brzegowy, niezależność zmiennych losowych.
1. Niech P (X = −2) = P (X = 2) = 1/6, P (X = 0) = 2/3. Wyznacz rozkład zmiennej
losowej Y = |X|.
2. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = 3X − 5, jeżeli X ma rozkład wykładniczy
z parametrem λ.
3. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (m, σ). Znaleźć rozkłady zmiennych losowych
(a) Y = aX + b, gdzie a i b są stałymi i a 6= 0,
X −m
,
(b) U =
σ
(c) Z = X 2 .
4. Oddano strzał w kierunku (nieskończonego) płotu, przy czym kąt strzału θ pomiędzy
torem kuli a prostopadłą do płotu ma rozkład jednostajny na przedziale (−π/2, π/2).
Wyznaczyć rozkład odległości X punktu trafienia od punktu odniesienia, w który trafia
się gdy θ = 0.
X
d
θ
5. Korzystając z tablic rozkładu normalnego obliczyć kwantyl rzędu 1 − α dla α = 0,1 oraz
dla α = 0,5 dla zmiennej losowej
(a) X ∼ N (0, 1),
(b) X ∼ N (−0,5, 2),
6. Wyznacz E(X) D2 (X) dla zmiennej losowej X o rozkładzie Bernoulliego.
1
7. Wyznacz współczynnik asymetrii i kurtozę dla rozkładu wykładniczego.
8. Wyznacz stałą c, aby funkcja:
c(x2 + y 2 ) dla (x, y) ∈ K,
f (x, y) =
0
w przeciwnym wypadku,
gdzie K = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x − 1 ≤ y ≤ 1 − x}, była funkcją gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ).
9. Niezależne zmienne losowe X i Y mają następujące rozkłady prawdopodobieństwa:
P (X = 0) = 1/3, P (X = 1) = 2/3
P (Y = 0) = 3/4, P (Y = 1) = 1/4.
Wyznacz:
(a) łączny rozkład prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X, Y ),
(b) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z = X + Y .
10. Niezależne zmienne losowe X i Y mają następujące rozkłady prawdopodobieństwa:
X
P
−1 0
1
0,2 0,3 0,5
Y
P
0
0,2
1
2
3
4
0,3 0,1 0,3 0,1
Wyznacz:
(a) rozkład łączny (X, Y ),
(b) rozkład zmiennej losowej Z = X + Y ,
(c) P (X > 1, Y < 2).
11. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma funkcję gęstości:
cx(x − y) dla (x, y) ∈ K,
f (x, y) =
0
w przeciwnym wypadku,
gdzie K = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, −x ≤ y ≤ x}.
Wyznacz:
(a) stałą c,
(b) rozkłady brzegowe X i Y — sprawdź, czy X i Y są niezależne.
12. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład jednostajny na obszarze [0, 1]×[0, 1].
Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej.
13. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma następujący łączny rozkład prawdopodobieństwa
(a) Sprawdź, czy X i Y są niezależne,
(b) Oblicz E(Z) i D2 (Z), gdzie Z = 2X + Y .
2
X/Y
0
1
1
0,3
0,2
2
3
0,2 0,1
0,1 0,1
14. Wyznacz stałą c, aby funkcja
f (x, y) =
c dla |x| < 1 i |y| < 1,
0 w przeciwnym wypadku,
była funkcją gęstości prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ).
Policz:
(a) P (X > 0, Y > 0)
(b) P (X > Y )
Jacek Cichosz
3