Zmienne losowe 1. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami?

Zestaw 2: Zmienne losowe
1. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami?


0,
F1 (x) = x,
F2 (x) = x,


2,
(
0,
F4 (x) =
1,
(
F7 (x) =
0,
1
2
x ¬ 0,
x > 0,
x < 1,
− x1 , 1 ¬ x,
Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres.


x ¬ 0,
x ¬ 0,
1,
F
(x)
=
0 ¬ x < 2,
1 − x, 0 ¬ x < 1,
3


2 ¬ x,
0,
1 ¬ x,

(

x < 0,
0,
0, x < 0,
F5 (x) =
F6 (x) = 0.5, 0 ¬ x < 1,

1, x ­ 0,

1,
1 ¬ x,
(
(
0,
x < 1,
0,
x < 1,
F8 (x) =
F9 (x) =
1
1 − x1 , 1 ¬ x,
1 − 2x
, 1 ¬ x.
2. Zmienna losowa X ma rozkład podany w tabeli:
−1
0.1
xi
pi
0
0.2
1
0.3
3
0.1
6
0.3
Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe X oraz wyznacz jej dystrybuantę.
3. Dany jest rozkład zmiennej losowej Z.
zi
pi
2
0.3
?
0.1
5
0.2
7
?
Ponadto wiadomo, że E(Z) = 4.75. Oblicz wariancję Z oraz wyznacz jej dystrybuantę.
4. Wyznacz dystrybuanty zmiennych losowych o rozkładach:
1. P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 5) = 14 ,
2. P(Y = −2) = 0.2, P(Y = 1) = 0.3, P(Y = 2) = 0.5.
5. Zmienna Y ma rozkład taki jak w zadaniu 4. Wyznacz rozkłady i dystrybuanty zmiennych losowych:
Y1 = Y + 1,
Y2 = 2Y,
Y3 = −Y,
Y4 = Y 2 ,
Y5 = |Y |,
Y6 = Y −1 .
6. Wykonujemy trzykrotny rzut monetą. Zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych reszek w trzech
rzutach.
1. Przedstaw rozkład zmiennej losowej X w postaci tabeli i w postaci graficznej.
2. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X i przedstaw ją na wykresie.
3. Wyznacz parametry rozkładu zmiennej losowej X (wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe).
7. Prawdopodobieństwo wylosowania dobrego długopisu z wybranej partii wynosi 0.8. Znajdź rozkład
prawdopodobieństwa liczby dobrych długopisów w zakupionej partii czterech długopisów.
8. Wiadomo, że 25% wszystkich szkód zgłaszanych do zakładu ubezpieczeniowego stanowią włamania.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zgłoszonych 10 szkód liczba włamań będzie:
• równa 5,
• większa niż 2,
• nie mniejsza niż 4 i nie większa niż 8?
9. W pewnej grze, gracz za wylosowanie figury (walety, damy, króle, asy) z talii 52 kart otrzymuje 10 zł.
W przeciwnym wypadku rzuca monetą. Jeśli wypadł orzeł to gracz płaci 8 zł, jeśli reszka to jedynie 2 zł.
Oblicz wartość oczekiwaną takiej gry dla gracza.
10. Test składa się z 30 pytań. Przy każdym pytaniu znajduje się 4 odpowiedzi, z których należy wybrać
dokładnie jedną (test jednokrotnego wyboru). Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba rozwiązująca
test całkowicie losowo zaznaczy dokładnie 10 poprawnych odpowiedzi. (Wystarczy podać odpowiednie
wyrażenie – nie trzeba go wyliczać).
11. Zmienna losowa X ma rozkład dany wzorem P(X = k) =
Oblicz P(X > 3).
λk −λ
k! e
dla k = 0, 1, 2, . . . , gdzie λ = 2.
12. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem

0,
dla x < 0,



0.1 + x, dla 0 ¬ x < 0.5,
F (x) =
0.4 + x, dla 0.5 ¬ x < 0.55,



1,
dla x ­ 0.55.
Wyznacz P(X = 0.5), P(0.2 < X < 0.3), P(X ∈ [0, 0.5]), P(X ∈ (0, 0.55)).
13. Wiedząc, że E(X) = 7, E(Y ) = 4, D2 (X) = D2 (Y ) = 1 oraz zmienne losowe X i Y są niezależne,
oblicz wartości oczekiwane i wariancje zmiennych losowych: X + Y , X − Y , 4X, 7Y , 2X − Y , XY .
14. Z urny zawierającej po 10 banknotów o nominałach 1, 5, 10 PLN, wylosowano jeden banknot, a
następnie bez zwracania pierwszego wylosowano drugi. Niech X1 oznacza nominał pierwszego banknotu,
a X2 nominał drugiego.
• Jaki jest rozkład X1 ?
• Jaki jest rozkład X2 ?
• Jaki jest rozkład łączny X1 i X2 ?
• Jaki jest rozkład X1 + X2 ?
• Oblicz E(X1 ), E(X2 ), E(X1 + X2 ), D2 (X1 ), D2 (X2 ) i D2 (X1 + X2 ).
• Co się zmieni, jeśli zwrócimy pierwszy banknot przed losowaniem drugiego?
15. Dla jakiej wartości liczby C poniższa funkcja jest funkcją gęstości zmiennej losowej X?


0 x ¬ 2,
f (x) = C 2 ¬ x ¬ 4,


0 x > 4.
Wyznacz dystrybuantę X oraz oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję. Ponadto wyznacz prawdopodobieństwa: P(X = 3), P(2.5 < X < 3), P(X < 3.5), P(X ­ 2.2).
16. Dla jakiej wartości liczby C poniższa funkcja jest funkcją gęstości zmiennej losowej X?


x ¬ 2,
0
f (x) = Cx 2 < x ¬ 4,


0
x > 4.
Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X, oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję. Ponadto wyznacz
prawdopodobieństwa: P(X = 5.9), P(4 < X < 5), P(5 < X < 6), P(X ­ 4.5), P(X < 5.75).
17. Dla jakiej wartości c poniższa funkcja jest funkcją gęstości zmiennej losowej X?


x ¬ 0,
0
f (x) = 3x2 0 ¬ x ¬ c,


0
x > c.
Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X, oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję.
18. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest równa


0 2
F (x) = x25


1
x ¬ 0,
0 ¬ x ¬ 5,
x > 5.
Wyznacz funkcję gęstości, wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.
19. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem


t < 0,
0,
FX (t) = ct3 , 0 ¬ t < 2,


1,
2 ¬ t.
Wiedząc, że rozkład ten ma ciągłą dystrybuantę, wyznacz jego gęstość.
20. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem


t < 1,
0,
2
FX (t) = t − 2t + 1, 1 ¬ t < 2,


1,
2 ¬ t.
Oblicz jej wartość oczekiwaną.
21. Żywotność pewnego urządzenia (w godzinach) ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 0.001.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że urządzenie będzie pracować dłużej niż 1500 godzin?
22. Aparat wykonuje serię niezależnych zdjęć. Wiadomo, że 10% zdjęć spełnia stawiane wymagania
techniczne. Ile zdjęć należy wykonać aby z prawdopodobieństwem 0.9 co najmniej 10 zdjęć spełniało
wymagania?
23. Zmienne losowe Xi , i = 1, . . . , 100 są niezależne i mają jednakowe rozkłady
P(Xi = k) = 0.2,
Oszacuj prawdopodobieństwo, że Y =
P100
i=1
dla k = 1, 2, 3, 4, 5.
Xi przyjmie wartość większą od 320.
24. Rzucono 720 razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych czwórek
(czterech oczek) będzie zawarta w granicach od 100 do 150?
25. W skład złożonej aparatury wchodzi n = 500 elementów określonego rodzaju. Prawdopodobieństwo
uszkodzenia w ciągu roku każdego z tych n elementów jest równe 0.002 i nie zależy od stanu pozostałych
elementów. Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku więcej niż 2 elementów. Wskazówka:
zastosuj Twierdzenie Poissona.
26. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 3. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y = g(X), jeśli


x < 1,
1,
g(x) = 2, 1 ¬ x < 3,


3, 3 ¬ x.
27. Wykonano n prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu 1/3. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacuj prawdopodobieństwo zdarzenia
1
Xn − 1 ¬ 0.01
n
3
gdzie Xn oznacza liczbę sukcesów oraz a) n = 9000, b) n = 75000. Oszacuj te same prawdopodobieństwa
korzystając z CTG.
28. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład
Y \X
-1
0
1
-2
0
0
1
3
0
0
1
3
0
2
1
3
0
0
Oblicz współczynnik korelacji między X i Y .
29. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład
Y \X
0
1
1
1
6
2
6
1
6
2
6
2
Zbadaj czy zmienne losowe X oraz Y są niezależne.
30. Sprawdź, które z poniższych funkcji są gęstościami rozkładów i wyznacz ich dystrybuanty:
f1 (x) = 1[0,1] (x),
f2 (x) = (2 − 2x) · 1[0,1] (x),
f3 (x) = (2x − x2 ) · 1[0,2] (x),
f4 (x) = 0.4 · 1[0,2] (x) + 0.1 · 1(2,4] (x),
f5 (x) = e−x · 1[0,∞) (x),
f6 (x) = 2x−1/2 · 1(0,1) (x).
(
1 dla x ∈ A,
Uwaga: 1A (x) =
0 dla x 6∈ A.
31. Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = 1[0,1] (x). Wyznacz dystrybuanty i gęstości zmiennych losowych:
Y1 = X + 1,
Y6 = exp(X),
Y2 = 2X,
Y7 = − ln(X),
Y8 = |X −
√
Y4 = X 2 ,
Y3 = −X,
1
2 |,
Y9 = (X −
Y5 =
1 2
3) ,
X,
X10 = X −1 .
32. Wyznacz gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = 2X + 1, jeśli gęstością zmiennej losowej
X jest fX (x) = 2e−2x 1[0,∞) (x).
33. Niech X oraz Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrami λ1
oraz λ2 odpowiednio. Wyznacz rozkład zmiennej X + Y .
34. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję dla rozkładów: a) dwupunktowego, b) dwumianowego, c)
Poissona, d) geometrycznego, e) jednostajnego, f) wykładniczego.
35. Oblicz współczynnik asymetrii α3 = µ3 /σ 3 oraz kurtozę (współczynnik spłaszczenia) α4 = (µ4 /σ 4 −3)
dla rozkładu wykładniczego.
Odpowiedzi
1 nie, nie, nie, nie (tak według innej konwencji), tak, tak, nie, tak, tak,
√
2 E(X) = 2.3, D(X) = 12.1,
3 D2 (Z) = 4.4625,
5 np. P(Y5 = 2) = 0.7,
6 E(X) = 3/2, D2 (X) = 3/4,
7 np. P(X = 2) = 0.1536,
8 0.0583992, 0.4744072, 0.2240953,
9 −5/13,
10 0.09086524,
11 0.14288,
12 0.3, 0.1, 0.9, 0.85,
13 np. E(2X − Y ) = 10, D2 (2X − Y ) = 5, E(XY ) = 28, D2 (XY ) = 66,
14 np. P(X1 = 1, X2 = 5) = 10/87, E(X1 ) = E(X2 ) = 5 31 , D2 (X1 ) = 13 59 , D2 (X1 + X2 ) ≈ 26.17625, przy
losowaniu ze zwracaniem zmieni się rozkład i wariancja sumy,
15 C = 1/2, E(X) = 3, D2 (X) = 1/3, prawdopodobieństwa: 0, 0.25, 0.75, 0.9,
16 C = 1/6, E(X) = 28/9, D2 (X) = 26/81, prawdopodobieństwa: 0, 0, 0, 0, 1,
17 c = 1, E(X) = 3/4, D2 (X) = 3/80,
18 f (x) = 0.08x · 1[0,5] (x), E(X) = 10/3, D2 (X) = 25/18,
19 c = 1/8,
20 E(X) = 5/3,
21 0.2231301601,
22 aproksymacja rozkładem normalnym: n ­ 135, wynik dokładny (rozkład dwumianowy): n ­ 140,
23 0.0786496, z poprawką na ciągłość: 0.08396924,
24 0.9759, z poprawkami na ciągłość: 0.9786736,
25 0.9196986,
26 np. P(Y = 3) = 0.0001234098,
27 nierówność Czebyszewa: a) 61/81, b) 131/135, CTG: a) 0.9558287, b) 0.999999994,
28 −1,
29 nie są niezależne,


x < 0,
0
30 tak, tak, nie, tak, tak, nie, F4 (x) = 0.4x
0 ¬ x < 2, .


0.8 + 0.1x 2 ¬ x
32 e−(x−1) 1[1,∞) (x),
33 X + Y ∼ P ois(λ1 + λ2 ),
35 α3 = 2, α4 = 6,