dr Agnieszka Kowalska-Styczeń ZADANIA CZĘŚĆ 1 Zad. 1. Dany jest rozkład zmiennej losowej X: -5 -2 0 1 3 8 xi pi 0,1 0,2 0,1 0,2 c 0,1 a) wyznacz stałą c b) wyznacz dystrybuantę zmiennej X i naszkicuj jej wykres c) znajdź wartość oczekiwaną zmiennej X d) znajdź wartość wariancji i odchylenia standardowego zmiennej losowej X e) oblicz P(X=3), P (X ≤ 3), P(-3< X ≤ 5) Zad. 2. Gracz rzuca monetą 3 razy. X oznacza wyrzucenie orła. Podać rozkład tej zmiennej, a następnie : a) wyznacz dystrybuantę zmiennej X b) znajdź wartość oczekiwaną zmiennej X c) znajdź wartość wariancji i odchylenia standardowego zmiennej losowej X d) oblicz P (X ≤ 1), P(X > 0) Zad. 3. Dany jest rozkład zmiennej losowej X: xi -1 0 1 2 pi 0,1 0,3 0,4 0,2 a) wyznacz dystrybuantę zmiennej X b) znajdź wartość oczekiwaną zmiennej X c) znajdź wartość wariancji i odchylenia standardowego zmiennej losowej X d) oblicz P (X ≤ 0), P(-1< X ≤ 1) Zad. 4. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa postaci: xi -3 -1 3 5 pi 0,3 0,4 0,1 0,2 a) wyznacz dystrybuantę zmiennej X b) znajdź wartość oczekiwaną zmiennej X c) znajdź wartość wariancji i odchylenia standardowego zmiennej losowej X d) wyznacz funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej U jeśli U = 2X + 3 e) wyznacz funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej U jeśli U = X2 - 5 Zad. 5. Niech zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: , 0 < ≤ 4 f(x) = 0, a) wyznacz dystrybuantę zmiennej X b) wyznacz wartość oczekiwana zmiennej X c) wyznacz wariancję zmiennej X d) Oblicz P(1< X ≤ 2) Zad. 6. Niech zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: , 0 ≤ ≤ f(x) = 0, e) wyznacz stałą c f) wyznacz dystrybuantę zmiennej X g) wyznacz wartość oczekiwana zmiennej X h) wyznacz wariancję zmiennej X i) Oblicz P( < X ≤ 1) 1 dr Agnieszka Kowalska-Styczeń Zad. 7. Niech zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: − 2, 4 ≤ ≤ 6 f(x) = 0, a) wyznacz dystrybuantę zmiennej X b) wyznacz wartość oczekiwana zmiennej X Zad. 8. Niech zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: a , ∊< 2, 3 > f(x) = 0 a) wyznacz stałą b) wyznacz dystrybuantę zmiennej X c) wyznacz wartość oczekiwana zmiennej X d) Oblicz P(1< X ≤ 2,5) Zad. 9. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: 6 1 − ∊< 0, 1 > f(x) = 0 a) wyznacz dystrybuantę zmiennej X b) Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej X c) Oblicz wariancję zmiennej X d) Oblicz P(0< X ≤ 2) Zad. 10. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: 0 ≤ 0 1 ! =# 0 < ≤ 4 8 0 > 4 a) wyznacz dystrybuantę zmiennej X b) Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej X c) Oblicz P(X > 5), P(X ≤ 2) Zad 11. Czas miedzy kolejnymi zgłoszeniami abonentów w pewnej centrali telefonicznej jest zmienna losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 2. Oblicz średni czas między kolejnymi zgłoszeniami oraz prawdopodobieństwo, że przed upływem 3 min nastąpi zgłoszenie. Zad 12. W pewnym przedsiębiorstwie zaobserwowano, że w ciągu miesiąca zdarzają się średnio 2 wypadki i że rozkład liczby wypadków może być opisany za pomocą rozkładu Poissona. Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu: a) nie będzie wypadku b) będą 4 wypadki 2