Wartosc oczekiwana, wariancja - zadania na 26

07DWRP - Wartość oczekiwana, wariancja.
Definicja. 1. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej dyskretnej X o wartościach (atomach) {x1 , x2 , . . .} nazywamy
liczbę
X
EX =
xi P (X = xi ) .
i
Definicja. 2. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę
VarX = E((X − EX)2 )
(przydatny wzór: VarX = E(X 2 ) − (EX)2 ).
Twierdzenie. 1 (Prawo leniwego statystyka). Niech X będzie zmienną losową dyskretną o wartościach (atomach)
{x1 , x2 , . . .} i g : R → R będzie funkcją, wtedy
X
E(g(X)) =
g(xi )P (X = xi ) .
i
Twierdzenie. 2. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b ∈ R
Var(aX + b) = a2 VarX.
E(aX + b) = aEX + b,
A
Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Zmienna losowa X posiada rozkład podany w poniższej tabeli
k
1
2
3
4
5
P(X = k)
2
15
5
15
4
15
3
15
1
15
Oblicz wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej X.
Zadanie A.2. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie
a. P(X = n) = ( 12 )n (n = 1, . . .);
b. P(X = n) =
1
n
−
1
n+1
(n = 1, 2, . . .);
wyznacz EX o ile istnieje (wskazówka: dla x ∈ (−1; 1)
P∞
k=1
kxk−1 = 1/(1 − x)2 ).
Zadanie A.3. Zmienna losowa X posiada rozkład podany w poniższej tabeli:
i
P(X = i)
−2
0, 18
−1
0, 16
0
0, 28
1
0, 23
2
0, 14
7
0, 01
Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = sgnX. Następnie wyznacz EY na dwa sposoby: korzystając z rozkładu zmiennej
Y i z „prawa leniwego statystyka”.
Zadanie A.4. Niech X oznacza liczbę reszek wyrzuconych przy n-krotnym rzucie monetą. Podaj rozkład zmiennej
losowej Y = (−1)X . Korzystając z „prawa leniwego statystyka” oblicz E(Y ) oraz Var(Y ).
Zadanie A.5. Wiedząc, że E(X) = 1 i Var(X) = 5, oblicz E((2 + X)2 ) oraz Var(4 + 3X).
Zadanie A.6. Wykorzystując znajomość wartości oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej określającej liczbę sukcesów
w n niezależnych próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p (wynoszą one odpowiednio np i np(1 − p)),
oblicz wartość oczekiwaną i wariancję łącznej wygranej w grze, w której jest n etapów, w każdym prawdopodobieństwo
wygranej wynosi p oraz
a) za wejście do gry płacimy 100zł, a za każdą wygraną dostajemy 100zł.
b) za każdą wygraną dostajemy 2zł, a za przegraną płacimy 3zł.
1
B
Zadania domowe
Zadanie B.1. Przypuśćmy, że P(X = 0) = 1 − P(X = 1). Wiedząc, że E(X) = 3Var(X), oblicz P(X = 0).
Zadanie B.2. Przypuśćmy, że P(X = 0) = 1 − (P(X = 1) + P(X = 2)) oraz P(X = 1) = P(X = 2). Wiedząc, że
9 = Var(3X) + E(X 3 ), oblicz P(X = 0).
Zadanie B.3. Wylosowano liczbę z zakresu od 1 do 10. Twoim zadaniem jest odgadnięcie wylosowanej liczby na podstawie
pytań „tak, nie.” Oblicz wartość oczekiwaną liczby pytań, które musisz zadać w dwóch przypadkach:
a) Twoje i-te pytanie brzmi: Czy to jest i? i = 1, 2, . . . , 10?
b) W każdym pytaniu starasz się najbardziej jak to możliwe wyeliminować połowę pozostałych liczb.
Zadanie B.4. Zmienna losowa X posiada rozkład podany w poniższej tabeli
k
1
2
3
4
P(X = k)
1
4
3
8
1
8
1
4
Oblicz wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej X.
Zadanie B.5. Zmienna losowa ma rozkład
P(X = i) =
1
1
, dla i = 1, 2, 3, 4 i P(X = 8) =
.
i
2
16
Wyznacz rozkład zmiennych losowych Y = (−2)X oraz Z = 4X + 1. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych
losowych Y = (−2)X oraz Z = 4X +1 na dwa sposoby: korzystając z rozkładu i korzystając z „prawa leniwego statystyka”.
Podaj wzory, z których korzystasz.
Zadanie B.6. Zmienna losowa X ma rozkład
P (X = i) =
7
, dla i = 1, 2, 3 . . .
8i
Wyznacz EY i VarY dla Y = 2X .
Zadanie B.7. Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = cos(πX), jeżeli zmienna losowa X ma rozkład:
P(X = k) =
1
,
2k
k = 1, 2, . . . .
Następnie oblicz EY i VarY
Zadanie B.8. EX = 10 oraz VarX = 3. Oblicz E((3X + 7)2 ) oraz Var(2X + 17). Podaj wzory, z których korzystasz.
Zadanie B.9. W ruletce mamy 37 numerów (w tym 18 czerwonych, 18 czarnych i 1 zielony). Każdy numer wypada z
tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję wygranej (w żetonach) w pojedynczej grze,
jeśli grający
a. obstawia jeden żeton na czerwone (za dobrze wybrany kolor dostaje dodatkowo 1 żeton, za źle wybrany kolor odbiera
mu się postawiony żeton);
b. obstawia jeden żeton na numer 17 (za dobrze wybrany numer dostaje dodatkowo 35 żetonów, za źle wybrany numer
odbiera mu się obstawiony żeton).
Zadanie B.10. Załóżmy, że gracz z poprzedniego zadania za wejście do kasyna płaci równowartość 10 żetonów a następnie
gra 37 razy za każdym razem obstawiając numer 17. Wykorzystując znajomość wartości oczekiwanej i wariancji zmiennej
losowej określającą liczbę sukcesów w n niezależnych próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p (wynoszą
one odpowiednio np i np(1 − p)) wyznacz wartość oczekiwaną wygranej gracza.
2