Kurs do wyboru - Instytut Matematyki i Informatyki UO

dr Przemysław Szczepaniak
Kurs do wyboru
Wstęp do analizy algorytmów
Instytut Matematyki i Informatyki UO
2011/2012
ZLICZANIE
1. Z miasta A do miasta B prowadzi pięć dróg. Iloma sposobami można odbyć podróż
A −→ B −→ A pod warunkiem, że nie można wracać tą samą drogą?
2. Ile jest liczb czterocyfrowych (a) o niepowtarzających się cyfrach, (b) w których cyfry
mogą się powtarzać?
3. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr 0,1,2,3,4,5 tak, by żadna cyfra
w liczbie nie powtarzała się i by w rzędzie jedności stała cyfra 3 lub 4?
4. Ile jest liczb pięciocyfrowych, które nie zmieniają się, gdy są czytane od końca?
5. Ile dzielników mają liczby (a) 1000, (b) 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13, (c) 10! ?
6. Budynek ma 8 pięter. Windą jedzie 12 osób. Na ile sposobów mogą wysiąść?
7. Winda rusza z 7 pasażerami i zatrzymuje się na 10 piętrach. Iloma sposobami pasażerowie
mogą opuścić windę tak, by na każdym piętrze wysiadł co najwyżej 1 człowiek?
8. Na ile sposobów można wybrać z grupy 5 osób (a) 3-osobową komisję, (b) przewodniczącego, jego zastępcę i skarbnika?
9. Ile płaszczyzn wyznacza 5 punktów, z których żadne 4 nie należą do jednej płaszczyzny?
10. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 13 kart. Ile jest wyników losowania, w których (a)
wylosujemy dokładnie 2 asy, (b) dokładnie 1 asa, 3 króle i 2 damy, (c) co najmniej 1 asa?
11. Na ile sposobów można z talii 52 kart wybrać 12 tak, by mieć po 3 karty w tym samym
kolorze?
12. Nie możesz sobie przypomnieć 7-cyfrowego numeru telefonu. Pamiętasz, że składa się
on z cyfry 1, dwóch 2, dwóch 3 i dwóch 4. Sprawdzasz kolejno takie numery. Ile numerów
wykręcisz w przypadku skrajnego pecha?
13. Ile różnych ”słów” utworzy analfabeta przestawiając w dowolny sposób litery w wyrazie
(a) KWIAT, (b) ANALFABETA, (c) MATEMATYKA?
14. Na ile sposobów można zestawić pociąg z 4 wagonów klasy I, 6 wagonów klasy II i
wagonu restauracyjnego (zakładamy, że wagony ustalonej klasy są nierozróżnialne)?
Uwaga. Ćwiczenia nie są oznaczone, przy zadaniach jest symbol ⋄ , przy trudniejszych zadaniach jest
symbol ⋆ .
1
15. Na ile sposobów można rozmieścić w trzech różnych pokojach dwuosobowych (a) 6 osób,
(b) 5 osób, (c) 4 osoby?
16. Test składa się z 10 pytań z 3 wariantami odpowiedzi na każde. Wiadomo, że zawsze
dokładnie jedna odpowiedź jest poprawna. Na ile sposobów możesz wypełnić test przy założeniu, że (a) nie ma punktów karnych za odpowiedzi błędne, a więc zawsze zakreślasz jedną
z odpowiedzi, (b) są punkty karne za odpowiedzi błędne?
17. Pociąg złożony jest z 9 wagonów. Ile jest sposobów umieszczenia 5 osób w pociągu, jeśli
wszystkie osoby mają znaleźć się w dwóch wagonach?
18. Na ile sposobów można podzielić 10 różnych lizaków (a) pomiędzy dwie osoby, (b) na
dwie części?
19. W miasteczku WEN KROY ulice biegną jak na rysunku. Ile jest dróg minimalnej długości
od A do B?
B
A
20. Na ile sposobów możesz przebyć drogę z miasta A do miasta B nie odwiedzając żadnego
miasta dwukrotnie jeśli (a) wybierasz drogę najkrótszą, (b) chcesz odwiedzić po drodze
wszystkie miasta, (c)⋄ możesz wybrać dowolną drogę?
B
A
21.⋄ Rozdajemy 10 identycznych pączków 5 dziewczętom. Na ile sposobów możemy to zrobić
jeśli (a) każda z dziewcząt ma dostać co najmniej jednego pączka, (b) podział może być
skrajnie niesprawiedliwy?
22.⋄ Ile jest czwórek (x1 , x2 , x3 , x4 ) liczb naturalnych takich, że x1 + x2 + x3 + x4 = 10?
2
TOŻSAMOŚCI
23. Udowodnij poniższe tożsamości (spróbuj kombinatorycznie, w ostateczności wykonaj
brutalny rachunek).
(a + b)n =
n X
n
k
k=0
ak bn−k (wzór dwumianowy Newtona),
n
k
n
m
n−1
k−1
n
n
k
=
n+1
k
n
k+1
k
m
k
n−1
k−1
=
n
i
m
k−i
=
+
−
n
0
n
+
0
m+n
k
i=0
n
k+1
n
n−k
=
n
k
dla k ¬ n,
n+1
k+1
n−k
m−k
dla k < n,
dla k ¬ m ¬ n,
dla n ­ k > 0 (reguła pochłaniania),
n−1
k
n
0
k X
=
2
+
=
n
k
n+1
k+1
n
1
+
n
1
2
n
1
+
+
n
k−1
n
2
+ ... +
n
2
2
n
2
dla k < n (reguła sześciokąta),
n
n
− ... ±
+ ... +
= 2n ,
n
n
2
n
n
= 0,
=
2n
n
,
dla k ¬ min{n, m} (tożsamość Cauchy ′ego).
24.⋆ Udowodnij wzór włączeń i wyłączeń:
|A1 ∪A2 ∪...∪An | =
X
1¬i¬n
|Ai |−
X
1¬i<j¬n
|Ai ∩Aj |+
X
1¬i<j<k¬n
|Ai ∩Aj ∩Ak |−...+(−1)n+1 |A1 ∩A2 ∩...∩An |.
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
25. Wiedząc, że P (A) = 21 , P (B) = 23 , P (A ∪ B) = 54 , oblicz P (A ∩ B), P (A \ B), P (B ∩ Ac ).
26. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia szóstki w lotto (6 z 49).
27. Z urny, w której są 3 kule białe i 5 czarnych losujemy dwie kule (a) ze zwracaniem, (b)
bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A - dwie kule będą białe, B - kule będą
tego samego koloru, C - za drugim razem otrzymamy kulę białą, D - co najmniej jedna kula
będzie biała.
28. Z talii 52 kart losujemy 13 kart bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania
(a) 4 asów, (b) 4 asów i dokładnie 2 króli, (c) trzynastu pików, (d) co najmniej jednego asa.
29. Ze zbioru {1, 2, 3, ..., 20} losujemy 12 razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Jakie jest
prawdopodobieństwo otrzymania (a) liczb parami różnych, (b) co najmniej raz liczby 1, (c)
co najwyżej raz liczby 1, (d) rosnącego ciągu liczb?
3
30. Stacja paliw obsługuje samochody osobowe i dostawcze, a stosunek liczby tankujących
samochodów osobowych do dostawczych wynosi 6:4. 60% samochodów osobowych tankuje
etylinę, 30% gaz, 10% olej napędowy oraz 10% samochodów dostawczych tankuje etylinę, 5%
gaz, 85% olej napędowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że (a) samochód, który podjechał po
paliwo, zatankuje etylinę, (b) podjechał samochód dostawczy, jeśli wiadomo, że zatankował
olej napędowy.
31. Pokaż, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to zdarzenia (a) Ac i B c są niezależne, (b)
Ac i B są niezależne.
32. Dwaj strzelcy A i B trafiają do celu z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio 0,6 i
0,8. Strzelcy oddają po jednym strzale do tego samego celu. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że (a) cel zostanie trafiony dwa razy, (b) cel zostanie co najmniej raz trafiony, (c) cel zostanie
trafiony dokładnie raz, (d) strzelec A trafił, jeśli wiadomo, że cel trafiono dokładnie raz?
33. Trzej strzelcy A, B i C trafiają do celu z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio 54 ,
3 1
i . Strzelcy oddają po jednym strzale do tego samego celu. Jakie jest prawdopodobieństwo,
5 2
że (a) cel zostanie trafiony trzy razy, (b) cel zostanie trafiony co najmniej raz, (c) cel nie
zostanie trafiony, (d) cel zostanie trafiony dokładnie dwa razy?
34. Pojedynczym strzałem trafiamy do celu z prawdopodobieństwem 0,8. Ile należy oddać
strzałów, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,95 trafić w cel co najmniej raz?
35. Dwanaście przedmiotów dzielimy pomiędzy dwie osoby tak, że każdy przedmiot przypada
losowo którejś osobie z prawdopodobieństwem 12 . Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda
osoba otrzyma 6 przedmiotów?
36.⋄ Małżeństwo A i B zawiera umowę o używaniu wspólnego samochodu:
1. pierwszego dnia samochodem jeździ B,
2. jeśli któregoś dnia samochodem jeździ A, to następnego dnia jeździ B,
3. jeśli któregoś dnia samochodem jeździ B, to losowanie monetą decyduje kto ma jeździć
następnego dnia.
(a) Wyznacz rekurencyjny wzór na prawdopodobieństwo pn tego, że n-tego dnia trwania
umowy samochodem jeździ B. (b) Wyznacz zwarty wzór na pn . (c) Oblicz limn→∞ pn .
ZMIENNE LOSOWE
37. Zmienna losowa X ma rozkład {(−1, 41 ), (0, 81 ), (2, 38 ), (1, 41 )}. Podaj w postaci tabelek
rozkłady zmiennych losowych Y = 3X − 5, Z = 2X 2 + 1.
38. Niech niezależne zmienne losowe X, Y mają odpowiednio rozkłady {(−1, 21 ), (1, 13 ), (2, 61 )},
{(0, 41 ), (1, 34 )}. Znajdź rozkłady zmiennych losowych X + Y , X · Y .
39. Niech X będzie liczbą oczek uzyskanych w jednokrotnym rzucie kostką, Y zaś sumą
oczek uzyskanych w dwóch rzutach kostką. Opisz rozkłady zmiennych losowych X oraz Y .
Oblicz EX i EY .
4
40. Udowodnij własności wartości oczekiwanej: (a) E(C) = C, (b) E(CX) = CEX, (c)⋆
E(X + Y ) = EX + EY , (d) E(C1 X1 + ... + Cn Xn ) = C1 EX1 + ... + Cn EXn , gdzie C oraz Ci
są stałymi.
41. Pokaż, że jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to E(X · Y ) = EX · EY .
Terminologia. Rozkład zero-jedynkowy to {(0, 1 − p), (1, p)},
gdzie p ∈ (0, 1). Rozkład
Bernoulliego (lub dwumianowy) z parametrami n i p to {(k, nk pk q n−k ) : k = 0, 1, ..., n},
gdzie p ∈ (0, 1), q = 1 − p. Zmienna Sn o rozkładzie Bernoulliego z parametrami n i p to po
prostu liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego o n próbach.
42. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie zero-jedynkowym.
43.⋄ Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej Sn o rozkładzie Bernoulliego.
44. Gracz rzuca 10 razy monetą. Jeśli w k-tym rzucie wypadnie reszka, to otrzymuje k zł,
jeśli orzeł, to nie dostaje nic. Oblicz wartość oczekiwaną łącznej wygranej gracza.
Terminologia. Niech zmienna losowa X ma rozkład {(x1 , p1 ), (x2 , p2 ), ..., (xn , pn )}. Liczbę
VarX = (x1 − EX)2 p1 + (x2 − EX)2 p2 + ... + (xn − EX)2 pn = E((X −√
EX)2 ). nazywamy
wariancją zmiennej losowej X. Oczywiście VarX ­ 0. Liczbę σ(X) = VarX nazywamy
odchyleniem standardowym zmiennej losowej X.
45. Niech X będzie sumą oczek uzyskanych w dwóch rzutach kostką. Oblicz VarX.
46. W urnie są dwie kule białe i dwie czarne. Losujemy bez zwracania dotąd, aż po raz
pierwszy wyciągniemy kulę białą. Niech X będzie numerem tego losowania. Opisz rozkład
zmiennej losowej X i oblicz EX, VarX.
47. Wykaż wzór na obliczanie wariancji
(♠)
VarX = E(X 2 ) − (EX)2 .
48. Oblicz wariancję zmiennej losowej o rozkładzie zero-jedynkowym.
49. Pokaż, że (a) Var(C) = 0, (b) Var(CX) = C 2 VarX, (c) Var(X + C) = VarX gdzie C
jest stałą.
50. Wariancja zmiennej losowej X wynosi 5. Oblicz wariancje i odchylenia standardowe
zmiennych losowych X − 1, −2X, 3X + 6.
51. Pokaż, że Var(X1 + ... + Xn ) = VarX1 + ... + VarXn dla parami niezależnych zmiennych
losowych X1 , ..., Xn .
Wsk. Skorzystaj z wzoru (♠).
52. Znajdź wariancję zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p.
5
53.⋄ Pokaż, że jeśli X jest nieujemną zmienną losową, to
P (X ­ ε) ¬
EX
.
ε
54. (Nierówność Czebyszewa) Pokaż, że dla dowolnej liczby ε > 0
P (|X − EX| ­ ε) ¬
VarX
.
ε2
Wsk. Rozważ zmienną (X − EX)2 i skorzystaj z zadania poprzedniego.
55. Załóżmy, że X jest zmienną losową o wartości średniej EX = 7 i wariancji VarX = 4.
Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacuj prawdopodobieństwo, że zmienna X odchyli
się od swojej średniej (a) o co najmniej 2 21 , (b) o mniej niż 6. Dla jakich ε zachodzi nierówność
P (|X − 7| < ε) ­ 0, 99?
56. (Reguła trzech sigm) Pokaż, że dowolna zmienna losowa X o odchyleniu standardowym
σ przyjmuje wartości z przedziału (EX − 3σ, EX + 3σ) z prawdopodobieństwem większym
lub równym 89 .
6