3_Zmienne losowe_cw

Zmiennelosoweskokowe
1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta
Zad.1
Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym
rzucie kostką do gry, czyli xi=1,2,3,…,6.
a) Podaj rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej, naszkicuj wykres,
b) Podaj wartość dystrybuanty dla poszczególnych x, naszkicuj wykres.
Rozwiązanie
a)
xi
pi
b)
xi
F(x)
Zad.2
Dwóch graczy A i B ustaliło następujące zasady gry: jeżeli przy pojedynczym rzucie kostką wypadnie
parzysta liczba oczek, wówczas gracz A wygrywa od gracza B 0,50 zł; jeżeli wypadną 3 lub 5 oczek, to
gracz B wygrywa od gracza A 1,00 zł; jeżeli wypadnie 1, nikt nie wygrywa.
a) Określ rozkład zmiennej losowej X, jako wygraną z punktu widzenia gracza A, naszkicuj
wykres
b) Podaj wartości dystrybuanty tej zmiennej, naszkicuj wykres.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz A nie przegra?
Rozwiązanie
a)
xi
pi
b)
xi
F(x)
c)
Zad.3
W firmowym salonie meblowym określono prawdopodobieństwo liczby sprzedawanych każdego dnia
wersalek.
xi 0
1
2
3
4
5
6
7
8
pi 0,04 0,09 0,15 0,22 0,21 0,14 0,07 0,06 0,02
Dystrybuanta zmiennej losowej liczba sprzedanych każdego dnia wersalek przedstawia się
następująco:
xi
(-∞,0] (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] (6,7] (7,8] (8,+∞)
F(x)
0 0,04 0,13 0,28 0,5 0,71 0,85 0,92 0,98
1
Pamiętając, iż P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a), obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w losowo wybranym
dniu zostanie sprzedanych:
a) ponad 3, ale nie więcej niż 7 wersalek, czyli P(3<X≤7),
b) ponad 3, ale nie mniej niż 7 wersalek, czyli P(3<X<7),
c) co najmniej 3, ale co najwyżej 7 wersalek, czyli P(3≤X≤7
d) nie mniej niż 3, ale mniej niż 7 wersalek, czyli P(3≤X<7).
Rozwiązanie
a)
b)
c)
d)
Wskazówka: P(3<X≤7)=P(4≤X<8)
Wskazówka: P(3<X<7)=P(4≤X<7)
Wskazówka: P(3≤X≤7)=P(3≤X<8)
P(3≤X<7)
Zad.4
Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
xi
-5 -2 0 1 3
8
pi 0,1 0,2 0,1 0,2 c
0,1
a) Wyznacz stałą c,
b) Narysuj wykres funkcji prawdopodobieństwa,
c) Wyznacz dystrybuantę i narysuj jej wykres.
Rozwiązanie
a)
b)
c)
Zad.5
Zadania samodzielne
Zad.5
Liczba pojazdów wjeżdżających na parking w ciągu kwadransa w soboty w godzinach
popołudniowych jest zmienną losową X o następującym rozkładzie.
xi 0
1
2
3 4
5
pi 0,1 0,25 0,35 0,15 0,1 0,05
a) Sprawdź, czy podany rozkład jest rozkładem prawdopodobieństwa,
b) Określ dystrybuantę zmiennej X,
c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że w najbliższą sobotę godzinach od 14.00 do 14.15 na
parking ten:
• Wjadą przynajmniej 3 pojazdy,
• Wjedzie mniej niż 1 pojazd,
• Wjedzie parzysta liczba pojazdów,
• Wjadą co najwyżej 4 pojazdy.
Zad.6
Dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej X, oznaczającej dzienną liczbę wybrakowanych elementów
wytwarzanych przez zespół dwóch pracowników pewnej firmy ma następującą postać:
xi
3
4 5
6
7
8
9 10 11
F(x) 0,01 0,13 0,4 0,61 0,75 0,86 0,95 0,98 1
Określ rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej (czyli pi).
1.2 Parametry zmiennej losowej skokowej (wartość oczekiwana,
Wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności)
Zad.5 (cd. zad. 1)
Podaj wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej X określonej jako liczba oczek,
które wypadną przy pojedynczym rzucie kostką. Zinterpretuj wyniki.
Rozwiązanie
xi
pi
1
2
3
4
5
6
xipi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Suma
xi
1
2
3
4
5
6
xi2pi
xi2
pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Suma
Zad.6 (cd. zad. 2)
Podaj wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe zmiennej losowej X określonej jako wygrana
z punktu widzenia gracza A. Zinterpretuj wyniki.
Rozwiązanie
xi
pi
-1
0
0,5
xipi
xi2
xi2pi
2/6
1/6
3/6
Suma
Zad.7
Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej U=3X-2Y, jeżeli zmienne są niezależne
oraz: E(X)=-3, E(Y)=-4, D2(X)=0,5, D2(Y)=2.
Zadania samodzielne
Zad.8 (cd. zad. 3)
Podaj wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności zmiennej losowej X
określonej jako liczba sprzedanych wersalek. Zinterpretuj wyniki.
Zad.9 (cd. zad. 4)
Podaj wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności zmiennej losowej X.
Zmiennelosoweciągłe
Zad.10
Automat produkuje kulki o średnicach X. Średnica X jest zmienną losową o gęstości
a) Wyznacz wartość przeciętną i wariancję średnicy tych kulek,
b) Wyznacz dystrybuantę średnicy kulek.
Rozwiązanie
a)
b)
Zad.11
Dobierz tak stałą C, by funkcja f(x) była funkcją gęstości.
0
0
0
4,
0
4
a następnie wyznacz jej dystrybuantę oraz oblicz prawdopodobieństwo P(1<X≤2).
Rozwiązanie
Dobieranie stałej C
=1
Wyznaczanie dystrybuanty
Obliczanie prawdopodobieństwa P(1<X≤2).
Zadania samodzielne
Zad.12
Sprawdź, czy funkcja
0
≤0
1
0 < ≤ √6
3
0
> √6
Jest funkcją gęstości. Jeśli tak, to wyznacz dystrybuantę.
Zad.13
Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, której rozkład jest określony dystrybuantą postaci.
0
≤0
1
=
0 < ≤ 4
4
1
>4
Wskazówka: Aby obliczyć funkcję gęstości, należy skorzystać z zależności, iż f(x)=F’(x)