Zad. 1 Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X

Zad. 1
Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:
x
(-4;1]
(-∝;-4]
F(x)
0
0,3
a) dobrać stałą c;
b) znaleźć funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej.
(1;5]
c
(5; ∝)
2c
Zad. 2
W grupie studenckiej przeprowadzono kolokwium. Niech X oznacza ocenę / przy czterostopniowej skali ocen/
losowo wybranego studenta. Czy X jest zmienną losową?
Zad 3.
Zakładając, że w zadaniu poprzednim stosunek ocen 5 , 4 ,3, 2 wynosi 1:3:4:2 wyznaczyć dla określonej tam
zmiennej losowej X:
a) funkcję prawdopodobieństwa i jej wykres;
b) dystrybuantę i jej wykres;
c) prawdopodobieństwo P(X<3,5), korzystając z funkcji p-stwa i dystrybuanty;
d) p-stwo P(3<=X<4,5) z funkcji p-stwa i dystrybuanty
e) na wykresie zinterpretować P(X=3)
Zad. 4
W wielu sytuacjach można przyjąć, że czas X bezawaryjnej pracy danego urządzenia jest zmienną losową ciągłą
o gęstości:
f(x)= 1/λ exp(-x/λ) dla x> 0 . Niech λ =10.
a) obliczyć p-stwo P(5<=X<=10)
b) wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X
c) zinterpretować wyliczone p-stwo za pomocą wykresu gęstości i dystrubuanty
Zad. 5
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y=aX+b.
Zad. 6
Czy zmienne losowe o tym samym rozkładzie mogę być
a) niezależna;
b) zależna
Zad. 7.
Na drodze ruchu pociągów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafory / ze względu na znaczną
odległość niezależnie zezwalają na przejazd/. P-stwo zezwolenia na przejazd jest takie samo dla wszystkich
semaforów i wynosi p=0,8. Niech X oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd i poprzedzających
pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Znaleźć :
a) funkcję p-stwa zmiennej losowej X
b) dystrybuantę zmiennej losowej X
c) p-stwo P(X>=2)
Zad .8
Dwie maszyny wykonują ten sam rodzaj produkcji. Niech X oznacza liczbę produktów z usterkami
wyprodukowanych w ciągu jednej zmiany przez pierwszą maszynę; Y przez drugą. Dane są funkcję p-stwa tych
zmiennych :
xi
pi
0
0,3
1
0,4
2
0,3
yi
0
1
2
3
pi
0,1
0,4
0,4
0,1
Zakładając brak jakichkolwiek zależności między jakością produkcji obu maszyn, znaleźć funkcję p-stwa
zmiennej losowej
a) U=X+Y
b) U=XY
c) U=max(X,Y)
Jaką interpretację ma zmienna losowa U?