Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Dr Anna ADRIAN
Paw B5, pok 407
[email protected]
Plan wykładu
• Zmienna losowa ciągła
• Dystrybuanta i funkcja gęstości rozkładu
zmiennej losowej ciągłej
• Rozkłady ciągłe: jednostajny, wykładniczy
i normalny.
Rozkład zmiennej losowej ciągłej
Uwagi o zmiennej losowej ciągłej:
– Liczba wszystkich możliwych i wzajemnie wykluczających się
zdarzeń elementarnych jest nieskończona
– Dystrybuanta dla dowolnej zmiennej losowej
F(x) = P (X<x),
– Zmienna losowa o dystrybuancie F jest typu ciągłego, jeśli
istnieje funkcja f≥0, spełniająca równość
x
F ( x) =
∫
f ( x ) dx
(1)
−∞
Funkcję f nazywa się gęstością prawdopodobieństwa zmiennej
losowej ciągłej
Związek dystrybuanty i gęstości
zmiennej losowej ciągłej
Dla dowolnej funkcji f, będącej gęstością
prawdopodobieństwa zachodzi zależność
F (∞ ) =
∞
∫
f ( x ) dx = 1
−∞
Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi równość
P (a ≤ X ≤ b) = F(b) – F (a)
Stąd wynika, że:
P (X= a)= 0
ponieważ P (X = a) = P (a ≤ X ≤ a) = F (a) - F (a) = 0
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa odgrywa najważniejszą
rolę w definiowaniu rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych
losowych typu ciągłego.
Definicja
Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu
ciągłego nazywamy funkcję f (x), określoną na zbiorze liczb
rzeczywistych, taką że:
f(x)≥0 ( przyjmuje wartości nieujemne) oraz
dla dowolnych a < b zachodzi
b
∫ f ( x ) dx = P ( a < X < b )
a
Interpretacja graficzna związku funkcji
gęstości z prawdopodobieństwem
f(x)
a
b
b
∫ f ( x)dx = P (a < X < b)
a
Własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa
• Funkcja gęstości jest nieujemna; f ≥ 0.
• W punktach, w których f jest ciągła zachodzi równość:
f(x) = F’(x); funkcja gęstości jest pochodną dystrybuanty.
• Każda funkcja f, będąca gęstością prawdopodobieństwa, wyznacza
jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym rozkład
prawdopodobieństwa pewnej zmiennej.
• Z faktu, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe zeru, nie
wynika , że zdarzenie to jest niemożliwe, bo
P ( X = x ) = lim P( x ≤ X < x + ∆x) = lim
∆x →0
∆x →0
x0 + ∆x
∫
x0
f ( x)dx =
x0
∫ f ( x)dx = 0
x0
Przykład – czy dana funkcja może być
funkcją gęstości
Sprawdzić czy dana funkcja f ,
 0
f ( x) =  − x
e
1.
2.
3.
dla
x<0
dla
x≥0
jest gęstością prawdopodobieństwa
znaleźć dystrybuantę F(x)
obliczyć
P (X< 0,5)
P (1<X<2)
4.
przedstawić graficzną interpretację wyników obliczeń
Rozwiązanie
Czy f jest gęstością prawdopodobieństwa:
1.
Funkcja f jest nieujemna
∞
2.
∫
0
f ( x ) dx =
−∞
∞
∫ 0 dx + ∫ e
−∞
dx = − e
0
Dystrybuanta
 0
F (x) = 
−x
1
−
e

−x
dla
dla
−x
∞
0
=1
x ≤ 0
x > 0
P(X<0,5) = F(0,5) = 1- e -0,5
P(1<X<2) = F(2) – F(1) = (1- e -2 ) – ( 1- e -1 )= e -1 + e -2
Zadanie do domu
• Wyznaczyć stałą A taką , aby funkcja f była
gęstością prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X.
• Obliczyć P(X>1)
• Zinterpretować otrzymane wyniki na wykresie
gęstości i dystrybuanty
 0
f (x) = 
−3x
Ae

dla
dla
x < 0
x ≥ 0
Funkcje zmienne losowej
• Niech zmienna losowa Y będzie funkcją pewnej zmiennej X, tzn
Y( ω)= g(X(ω))
• Znając rozkład zmiennej X możemy wyznaczyć rozkład
zmiennej Y
• Zadanie :
Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y (dystrybuantę i gęstość),
gdy :
Y= aX+b,
gdzie: a≠0
X jest zmienną losową typu ciągłego z gęstością fX i
dystrybuantą FX
Rozważmy dwa przypadki : a>0 i a<0
Funkcje zmienne losowej - rozwiązanie
dla a>0
FY (y)= P (Y<y) = P (aX+b <y) = P (X<(y-b)/a)= FX ((y-b)/a)
zauważmy, że funkcja FX jest różniczkowalna w punktach ciągłości fX
więc
d
d
y−b
d
fY ( y ) =
FY ( y ) =
FX (
)=
dy
dy
a
dy
∫
( y −b ) / a
−∞
f X ( x ) dx =
1
y−b
fX (
)
a
a
dla a< 0
FY(y)= P(Y<y) = P(aX+b <y) = P(X >(y-b)/a) = 1- FX((y-b)/a)
zauważmy, że funkcja FX jest różniczkowalna w punktach ciągłości fX
więc
d
d
y −b
d ∞
y −b
1
fY ( y ) =
FY ( y ) = [1 − FX (
)] =
f X ( x)dx =
fX (
)
∫
(
y
−
b
)
/
a
dy
dy
a
dy
−a
a
gęstość f Y (y) możemy zapisać
1
y −b
fY ( y ) =
fX (
)
a
a
Wartość przeciętna i wariancja
zmiennej losowej ciągłej
• Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
zmiennej losowej ciągłej, o gęstości prawdopodobieństwa
0
f ( x) =  − x
e
x<0
x≥0
dla
dla
wartość oczekiwana/nadzieja matematyczna
∞
∞
_∞
0
−x
[
−x
] [
∞
−x
−x
E ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ xe dx = − xe + ∫ e dx = − xe − e
0
]
−x 1
0
=1
wariancja/dyspersja: D2(X) = E[X-E(X)]2 = E(X2)-(E(X))2
∞
∞
2 −x
∞
−x
[
2
_∞
0
D2(X)= 2- 12=1
0
2
] + 2∫
2 −x ∞
0
E( X ) = ∫ x f (x)dx = ∫ x e dx = − ∫ x d (e ) = − x e
2
∞
0
x e−xdx =2
Mediana,
Medianę zmiennej losowej X oznaczaną x1/2 lub me
definiują następujące wzory
P( {ω: X(ω)≤ me })≥1/2 i P( {ω: X(ω) ≥ me }) ≥1/2
Dla zmiennej losowej ciągłej medianę wyznacza się ze wzoru
∫
me
_∞
Przykład
∫
me
0
1
f ( x)dx =
2
1
e dx =
2
−x
czyli 1- exp(- me)=1/2
stąd me = ln2
Kwantyle
• Mediana jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego
parametru, zwanego Kwantylem.
• Definicja
Kwantylem rzędu p (0<p<1) zmiennej losowej X, o
dystrybuancie F, nazywamy liczbę xp, taką że
F(xp) ≤ p ≤ F(xp+)
• Dla zmiennej losowej ciągłej kwantyl xp jest wyznaczany
z wzoru F(xp) = p
• Mediana jest kwantylem rzędu 1/2
Rozkład jednostajny
• Rozkład jednostajny (zwany też równomiernym
lub prostokątnym albo płaskim) to ciągły rozkład
prawdopodobieństwa, dla którego gęstość
prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest
stała i różna od zera, a poza nim równa zeru.
• Ponieważ rozkład jest ciągły, nie ma większego
znaczenia czy punkty a i b włączy się do
przedziału czy nie. Rozkład jest określony parą
parametrów a i b, takich że b>a.
Rozkład jednostajny
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
 0; x < a

1

f (x) = 
;a ≤ x ≤ b
−
b
a

 0 ; x > b
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana
a+b
E( X ) =
2
Wariancja
D2(X ) =
(b − a )2
12
Zastosowanie rozkładu jednostajnego
• Rozkład jednostajny: ma zastosowanie przy
analizie niepewności systematycznych.
Gęstość prawdopodobieństwa f(x) jest stała
wewnątrz przedziału (a, b) i równa zero poza nim.
• Dla pomiarów obarczonych niepewnością
systematyczną ∆x, mamy b – a = 2∆x, zatem
S
x
=
D
2
(X ) =
(b − a ) 2
∆x
=
12
3
Zadanie
Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu
koła o promieniu r. Niech O będzie ustalonym punktem
okręgu, natomiast X długością łuku łączącego punkty OM.
•
•
•
•
Określić rozkład zmiennej losowej X
Narysować wykres funkcji gęstości i dystrybuanty zmiennej X
Obliczyć P (X<πr) oraz P(X> 3πr/2)
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
M
X
O
Rozwiązanie zadania – postać funkcji gęstości
x<0
 0 ;
 1
f ( x) = 
; 0 ≤ x ≤ 2πr;
 2πr
x > 2πr
 0 ;
Rozwiązanie należy dokończyć samodzielnie
Zadanie – praca samodzielna
Pociągi przyjeżdżają na stację dokładnie co 10 minut.
Pasażer przychodzi na stację w pewnej przypadkowej
chwili. Niech X oznacza czas oczekiwania na przybycie
pociągu.
Należy:
• Określić funkcję gęstości prawdopodobieństwa f,
wykonać wykres
• Określić dystrybuantę F, wykonać wykres
• Obliczyć P(X<8) i przedstawić interpretację graficzną
• Obliczyć oczekiwany/średni czas czekania na przyjazd
pociągu
Rozkład wykładniczy
Funkcja gęstości
f(x) = λ e- λ x
Dystrybuanta:
F(x) = 1- e - λ x
Wartość oczekiwana
E(x) = λ-1
Wariancja
D (X) = λ-2
Znajduje zastosowanie do obliczania prawdopodobieństwa przejścia
obiektu ze stanu X w stan Y w czasie δt, przy stałym, w jednostce czasu,
prawdopodobieństwie zmiany stanu obiektu z X na Y.
Rozkład wykładniczy - zastosowania
• w zagadnieniach ruchu na liniach telefonicznych
• w problemach czasu eksploatacji elementów maszyn
• w problemach czasu obsługi i czasu oczekiwania na obsługę przy
maszynach, w sklepach itp
Niezawodność urządzenia to prawdopodobieństwo tego, że urządzenie wykona
zamierzone zadanie w określonym przedziale czasu i w określonych warunkach =
prawdopodobieństwo niewystąpienia uszkodzeń w ciągu czasu t.
Sprawdzono, że dobrą aproksymacją niezawodności jest funkcja
N(t)= e -λt dla t>0
(wykładnicze prawo niezawodności)
z tego wynika, że
N(t)=1-F(t)
gdzie F(t) jest dystrybuantą w punkcie t, zmiennej losowej T
(czas poprawnej pracy) o rozkładzie wykładniczym
Rozkład normalny
Rozkład zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a jest najczęściej
spotykanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej.
Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład
normalny o wartości oczekiwanej µ i odchyleniu
standardowym σ , co symbolicznie zapisuje się:
X ~ N (µ , σ )
Rozkład normalny – funkcja gęstości
Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym N(µ,σ),
ma postać:
1
f ( x) =
σ 2π
 (x − µ )
−
2

2
σ
e
2




i jest określona dla wszystkich rzeczywistych wartości
zmiennej losowej X.
Rozkład normalny – wykres funkcji
gęstości i interpretacja
f(x)
σ
x
µ
Parametry rozkładu N(µ,σ),
µ - Wartość oczekiwana
σ2 - Wariancja
Graficzna interpretacja funkcji gęstości
i prawdopodobieństwa (dystrybuanty)
Cechy charakterystyczne funkcji
gęstości rozkładu normalnego
Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym:
• jest symetryczna względem prostej x = µ
• w punkcie x = µ osiąga wartość maksymalną
• ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x = µ - σ
oraz x = µ + σ
Kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów: µ, σ :
parametr µ decyduje o przesunięciu krzywej,
-
parametr σ decyduje o „smukłości” krzywej.
Wykresy funkcji gęstości rozkładów N (µ
µ, σ)
Przykłady funkcji gęstości rozkładów N (µ, σ)
dla różnych wartości µ i σ
0,5
N(0,1)
N(3,1)
N(0,2)
N(3,2)
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Wykresy dystrybuanty rozkładów N (µ
µ, σ)
Wykresy dystrybuanty rozkładu normalnego
dla różnych wartości µ i σ
N(µ,σ),
1,2
N (0,1)
1
N (3,1)
N (0,2)
0,8
N (3,2)
0,6
0,4
0,2
0
-4
-0,2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Rozkład normalny
Reguła 3 sigma
Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny N(µ,σ) to:
- 68,3 % populacji mieści się w przedziale (µ - σ; µ + σ)
- 95,5 % populacji mieści się w przedziale (µ - 2σ; µ + 2σ)
- 99,7 % populacji mieści się w przedziale (µ - 3σ; µ + 3σ)