06DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe A Zadania na ćwiczenia

06DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
Definicja. 1. Zmienna losowa (rozkład zmiennej losowej) X jest skupiona na zbiorze S, jeśli PX (S) = P (X ∈ S) = 1.
(Podajemy najmniejszy lub „najładniejszy” taki zbiór.)
Definicja. 2. Dla zmiennej losowej X, dowolną liczbę rzeczywistą a ∈ R taką, że PX ({a}) = P (X = a) > 0 nazywamy
atomem (rozkładu) zmiennej losowej X.
Definicja. 3. Zmienna losowa X jest dyskretna
gdy jest skupiona na co najwyżej przeliczalnym
P (ma rozkład dyskretny),
P
zbiorze. (Jeśli A jest zbiorem atomów X, to a∈A P (X = a) = a∈A PX ({a}) = PX (A) = 1.)
Definicja. 4. Zmienna losowa X jest ciągła (ma rozkład ciągły), gdy istnieje funkcja nieujemna
rzeczywista f zwana
R
gęstością taka, że dla każdego zbioru borelowskiego A w R mamy PX (A) = P (X ∈ A) = A f (x)dx. Funkcja f spełnia
R∞
warunek −∞ f (x)dx = PX (R) = P (X ∈ R) = 1.
Uwaga 1. Aby podać rozkład zmiennej losowej dyskretnej skupionej na zbiorze S podajemy PX ({a}) = P (X = a) dla
każdego a ∈ S, gdzie S jest zbiorem na którym jest skupiona X (na którym jest skupiony rozkład zmiennej X).
Uwaga 2. Aby podać rozkład zmiennej losowej ciągłej wystarczy podać jej gęstość.
Fakt. 1. Dla ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f i dystrybuancie F mamy f (x) = F 0 (x) dla każdego x, w którym F
jest różniczkowalna.
Fakt. 2. Dwie funckje gęstości f1 i f2 , które różnią się na zbiorze miary zero, wyznaczają ten sam rozkład.
A
Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. W poprzednim zestawie w zadaniach A1, A2



0 dla x < 1


 3 dla 1 ¬ x < 2
0
9
A1. F (x) = 5
A2. F (x) = x2
 9 dla 2 ¬ x < 3




1

1 dla x ­ 3
i A3 wyznaczyliśmy dystrybuanty trzech zmiennych losowych.
dla x < 0
dla 0 ¬ x < 1
dla x ­ 1
A3. F (x) =


0
1
x
2

1
+
1
2
dla x < 0
dla 0 ¬ x < 1
dla x ­ 1
Dla każdej z tych zmiennych losowych:
• podaj na jakim zbiorze jest skupiona;
• podaj wszystkie atomy rozkładów;
• rozstrzygnij czy jest dyskretna/ciągła/ani ciągła ani dyskretna;
• jeśli jest ciągła lub dyskretna podaj jej rozkład.
Zadanie A.2. Niech X ma gęstość
(
f (x) =
c(1 − x2 )
0
dla − 1 < x < 1;
dla pozostałych x.
a. Znajdź c.
b. Wyznacz P (−3 ¬ X ¬ 1/2), P (X = 0).
c. Wyznacz dystrybauntę tej zmiennej losowej.
Zadanie A.3.
1
a. Sprawdź, że ciąg pn = n1 − n+1
(n = 1, . . .) określa rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej dyskretnej
dla której PX ({n}) = P(X = n) = pn .
b. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X o tym rozkładzie.
Zadanie A.4. Hurtownia zaopatruje 10 sklepów. Każdy sklep przysyła w danym dniu zamówienie z prawdopodobieństwem
0,4. Sklepy są daleko od siebie, więc złożenie zamówienia przez sklep nie wpływa na złożenie zamówień przez inne sklepy..
Podaj rozkład zmiennej losowej, jaką jest dzienna liczba zamówień otrzymanych przez hurtownię. Czy to jakiś „słynny”
rozkład?
1
Zadanie A.5. Jak wiadomo, każda czekolada może zawierać „śladowe ilości orzechów arachidowych”. W fabryce czekolady
do kadzi z masą czekoladową, z której wyprodukowano 2000 tabliczek czekolady wpadło 4000 mikroskopijnych odłamków
orzeszków arachidowych. Franek kupił w sklepie czekoladę wyprodukowaną z masy z tej kadzi. Ile w przybliżeniu wynosi
prawdopodobieństwo, że natrafił na co najmniej trzy odłamki orzeszka.
Zadanie A.6. W kasynie krupier tasuje 100 talii kart po 52 karty (tzn. 5200 kart). Następnie losuje
a. kolejno ze zwracaniem;
b. kolejno bez zwracania;
10 kart. Niech X będzie liczbą wylosowanych Asów. Jaki słynny rozkład ma zmienne losowa X? Wyznacz P (X = 4) i
porównaj wyniki w punktach a) i b).
B
Zadania domowe
Zadanie B.1. Znajdź stałą c, dla której poniższy ciąg jest rozkładem prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej.
a. pi = c(2/3)i , i = 1, 2, . . . , poza tym 0.
b. pi = ci, i = 1, . . . , 6, poza tym 0.
Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X, dla której PX ({i}) = P (X = i) = pi .
Zadanie B.2. Podaj rozkład zmiennej losowej, której dystrybuanta dana jest wzorem:


0 dla x < −5;



 61 dla − 5 ¬ x < 1;

a) F (x) = 13 dla 1 ¬ x < 4;


1


2 dla 4 ¬ x < 10;


1 dla x ­ 10.
(
0 dla x < 3;
b) F (x) =
2
1 − bxc
dla x ­ 3.
Zadanie B.3. Pięć kobiet i pięciu mężczyzn zostaje ustawionych w ranking na podstawie wyników egzaminu. Zakładamy,
że każdy wynik jest inny i wszystkie uporządkowania są jednakowo prawdopodobne. Niech X będzie najwyższą pozycją w
rankingu uzyskaną przez kobietę (np. X = 1, jeśli na pierwszym miejscu jest kobieta.) Podaj rozkład zmiennej losowej X.
Zadanie B.4. Łucznik strzela do tarczy do momentu trzeciego trafienia w 10. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X
równej liczbie oddanych strzałów, jeśli łucznik trafia w 10 przy każdym strzale niezależnie z prawdopodobieństwem 3/5.
Czy ten rozkład ma jakąś szczególną nazwę.
Zadanie B.5. W losowaniu totolotka wybiera się 10 różnych liczb ze zbioru {1, . . . , n} (n ­ 10). Niech X oznacza
najwiękaszą z wylosowanych liczb. Podaj rozkład zmiennej X.
Zadanie B.6. Losujemy 5 kart z talii 52. Niech X będzie liczbą wylosowanych kierów. Podaj rozkład zmiennej X. Czy X
ma znany rozkład?
Zadanie B.7. Dla gęstości zmiennej losowej X
(
x2 /18 dla − 3 < x < 3;
f (x) =
0
dla pozostałych x
znajdź P(|X| < 1) i P(X 2 < 9) oraz wyznacz jej dystrybantę.
Zadanie B.8. Zmienna losowa X posiada dystrybuantę:

 0
1
x
F (x) =
 2
1
dla x < 0
dla 0 ¬ x ¬ 2 .
dla x > 2
Oblicz prawdopodobieństwa: P(X 2 ¬ X), P(X ¬ 2X 2 ) oraz wyznacz jej gęstość.
Zadanie B.9 (Zad 3. §4.2.). Czy ta zmienna ma rozkład ciągły/dyskretny?
Zadanie B.10. Dana jest zmienna losowa X o dystrybuancie:


dla x < 0
0√
F (x) = 2 x dla 0 ¬ x < a


1 dla x ­ a.
Wyznacz wszystkie parametry a, dla których rozkład tej zmiennej losowej jest ciągły i wyznacz w tych przypadkach
gęstość.
2
Zadanie B.11. Zmienna losowa X posiada gęstość daną wzorem:
−6x(x − C) dla x ∈ [0, 1]
f (x) =
0
dla pozostałych x.
a. Wyznacz stałą C.
b. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X.
c. Oblicz P(X 2 < 14 ) dwoma sposobami: korzystając z gęstości oraz korzystając z dystrybuanty.
C
Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Asia i Basia umówiły się w restauracji między 7.00 a 8.00. Każda z nich przychodzi w losowym momenie
między 7.00 a 8.00. Wyznacz rozkład zmiennej losowej równej okresowi oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza.
Zadanie C.2. 5 różnych liczb rozdano (po 1) 5 graczom o numerach 1, 2, 3, 4, 5. Gdy 2 gracze porównują swoje liczby, ten
z większą liczbą jest zwycięzcą. Najpierw gracze 1 i 2 porównują swoje liczby, a zwycięzca porównuje swoją z graczem 3
itd. Niech X oznacza liczbę zwycięstw gracza 1. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa PX .
Zadanie C.3. Wykaż, że jeśli f i g są gęstościami, to, dla każdego 0 ¬ λ ¬ 1, funkcja λf + (1 − λ)g też jest gęstością.
Zadanie C.4. Pokaż, że nie można tak wyważyć dwóch kostek do gry, by suma S wyrzuconych oczek miała rozkład
1
równoprawdopodobny, tzn. by P (S = i) = 11
dla wszystkich i = 2, . . . , 12.
Zadanie C.5. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem


dla x < 1
0
F (x) = 61 (x + 1) dla 1 ¬ x < 2


1
dla x ­ 2
Przedstaw F jako wypukłą kombinację liniową dystrybuant: dyskretnej Fd i ciągłej Fc .
Zadanie C.6. Zad 6. §4.2.
Zadanie C.7. Zad 7. §4.2.
Zadanie C.8. Piekielny Piotruś hoduje bakterie. Na początku w terrarium znajduje sie jedna bakteria Escherichia
Coli oraz jedna bakteria Salmonella Enteritidis. Jeden cykl rozmnażania polega na tym, że losowo wybrana bakteria
(każda sposród bakterii obecnych w terrarium ma równe prawdopodobieństwo) dzieli sie przez podział na dwie bakterie
tego samego rodzaju (czyli np. zamiast jednej bakterii Escherichia będa dwie bakterie Escherichia). Powyżej opisane
rozmnażanie jest powtarzane tak długo, aż łączna liczba wszystkich bakterii w terrarium będzie wynosiła dokładnie 1011
(czyli sto miliardów). Przez X oznaczamy liczbę bakterii Salmonella na samym końcu. Znajdź rozkład zmiennej losowej X.
Jak zmieni się odpowiedź, gdy w terrarium znajdują się trzy bakterie Escherichia oraz pięć bakterii Salmonella?
Zadanie C.9. W urnie znajduje się 5 ponumerowanych kul: {1, 2, 3, 4, 5}. Losujemy 3 różne z nich. Niech a będzie
największym numerem na wylosowanych kulach. Jeśli a jest parzyste, to zapisujemy liczbę wlosowaną w sposób jednostajny
z przedziału (a + 1). Jeśli a jest nieparzyste, to zapisujemy a. Niech X będzie zapisaną liczbą.
Wyznacz dystrybuantę F tej zmiennej losowej. Czy jest ona dyskretna/ciągła? Jeśli tak, podaj jej rozkład. Jeśli nie, zapisz
jej dystrybuantę jako kombinację liniową dystrybuanty zmiennej ciagłej i dystrybuanty zmiennej dyskretnej.
Zadanie C.10. Dana jest liczba naturalna k. Rzucamy monetą do momentu aż wyrzucimy przynajmniej k reszek i
przynajmniej k orłów. Oznaczamy przez X liczbę rzutów. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.
Zadanie C.11. Wykonujemy rzut n monetami, z których na każdej wypada orzeł z prawdopodobieństwem p, niezależnie
od pozostałych. Rzucamy ponownie każdą monetą na której wypadł orzeł. Jaki jest rozkład liczby orłów które wypadną w
wyniku drugiego rzutu?
Zadanie C.12. Pokazać, że zmienna losowa o rozkładzie
• geometrycznym
• wykładniczym
ma własność braku pamięci, tzn. P (X > n + k | X > n) = P (X > k).
3
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.1 a) c = 1/2,
(
F (x) =
0
1 − (2/3)bxc
dla x < 1,
dla x ­ 1,
b) c = 1/21,

dla x < 1

0



1/21
dla 1 ¬ x < 2




3/21 dla 2 ¬ x < 3

F (x) = 6/21 dla 3 ¬ x < 4



10/21 dla 4 ¬ x < 5





15/21 dla 5 ¬ x < 6



1
dla x ­ 6
B.2 a)P (X = −5) = 1/6, P (X = 1) = 1/6, P (X = 4) = 1/6, P (X = 10) = 1/2.
b)P (X = 3) = 1/3 oraz P (X = k) =
B.3 P (X = k) =
(5)k−1 ·5·(10−k)!
,k
10!
2
k−1
−
2
k
dla k = 4, 5, . . .
= 1, 2, 3, 4, 5, 6.
k−1
(2/5)k−3 (3/5)3 , k = 3, 4, 5, . . . uwaga: rozkład ujemny dwumianowy.
n
B.5 P (X = k) = k−1
9 / 10 , k = 10, . . . , n.
39 13
B.4 P (X = k) =
B.6 P (X = k) =
2
k
5−k
52
5
, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
B.7 1/27, 1
F (t) =


03
t
 54

+
1
2
1
dla t < −3
dla − 3 ¬ t ¬ 3
dla t > 3
B.8 1/2, 3/4,
f (x) =

 0
dla x < 0
dla 0 ¬ x ¬ 2 .
dla x > 2
1
2

0
B.10 a = 1/4


x¬0
0 dla
√
f (x) = 1/ x dla 0 < x < 1/4


0 dla x ­ 1/4.
B.11 a) C = 1
b)


0
F (a) = 3a2 − 2a3


1
c) 1/2
4
dla a < 0
dla 0 ¬ a ¬ 1
dla a > 1