Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 10
Definicja 1. Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach w Rn nazywamy
rozkład prawdopodobieństwa µX , określony na B(RN ) zależnością
µX (B) = P (X −1 (B)),
B ∈ B(Rn ).
Uwaga 1. W naszych rozważaniach będziemy używać dwuwymiarowej zmiennej losowej
(X, Y ) : Ω × Ω → R2 .
Definicja 2. Dwuwymiarową zmienną losową nazywamy parę zmiennych losowych (X, Y ) określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω i przyjmujących wartości rzeczywiste. Symbolicznie
(X, Y ) : Ω × Ω → (−∞, ∞) × (−∞, ∞).
Definicja 3. Łącznym rozkładem prawdopodobieństwa (lub rozkładem łącznym) pary zmiennych losowych (X, Y ) określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy przyporządkowanie
A → P ((X, Y ) ∈ A),
gdzie A - dowolny podzbiór zbioru par wartości zmiennych X, Y .
Definicja 4. Dystrybuantą zmiennej losowej (X,Y) nazywamy funkcję
F (x, y) = P (X ¬ x, Y ¬ y),
gdzie −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞.
Definicja 5. Funkcją prawdopodobieństwa (łącznego) dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej
nazywamy funkcję
f (x, y) = P (X = x, Y = y).
Własności 1. Funkcji prawdopodobieństwa f oraz jej związek z dystrybuantą
1. f (x, y) ­ 0 dla dowolnej pary wartości (x,y),
2.
P P
f (x, y) = 1 gdzie sumowanie odbywa się po wszelkich możliwych parach wartości zmiennych X i Y odpowiednio
x
y
3. P ((X, Y ) ∈ A) =
P
f (x, y)
(x,y)∈A
4. F (x, y) =
P P
f (s, t)
s¬x t¬y
Zadanie 1. W każdym z dwóch etapów teleturnieju można otrzymać 0, 1, lub 2 punkty. Niech
zmienne losowe X, Y oznaczają odpowiednio liczby punktów uzyskane w etapie I i II przez losowo
wybranego uczestnika. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego określa tabela:
1
2
y
x
0
1
2
0
1
2
0,5
0,2
0,02
0,05
0,1
0,03
0,01
0,06
?
Prawdopodobieństwo P (X = x i Y = y) podane jest na przecięciu wiersza X = x i kolumny
Y = y, na przykład P (X = 1 i Y = 0) = 0, 2. Znajdziemy:
a) f (2, 2) = P (X = 2, Y = 2),
b) P (Y = 2),
c) F (1, 1).
Definicja 6. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) nazywana jest ciągłą zmienną losową (krócej
- zmienną ciągłą), jeśli jej łączny rozkład prawdopodobieństwa określony jest przez funkcję gęstości
łącznej (łączną gęstość prawdopodobieństwa) taką, że
(i) f (x, y) ­ 0,
(ii)
R∞ R∞
−∞ −∞ f (x, y)
dx dy = 1
(iii) P ((X, Y ) ∈ A) =
RR
f (x, y) dx dy
A
Zadanie 2. Niech zmienna losowa (X, Y ) ma (łączną) gęstość prawdopodobieństwa
(
f (x, y) =
x + y gdy 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1
0
w przeciwnym przypadku
Obliczmy P (X ¬ 0, 8, Y > 0, 25).
Zadanie 3. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma gęstość łączną postaci
(
f (x, y) =
Cx2 gdy 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1
0
gdy wprzeciwnymprzypadku
dla pewnej stałej C. Znajdź wartość stałej C.
Definicja 7. Rozkładem brzegowym pary (X, Y ) nazywamy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X lub zmiennej losowej Y
a. dla dyskretnych zmiennych X, Y , brzegowe funkcje prawdopodobieństwa są postaci
fX (x) = P (X = x) =
X
f (x, y),
fY (y) = P (Y = y) =
X
y
x
b. dla ciągłych zmiennych X, Y , brzegowe gęstości są postaci
Z ∞
fX (x) =
Z ∞
f (x, y)dy,
∞
fY (y) =
f (x, y)dx
∞
Zadanie 4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma gęstość
(
f (x, y) =
3
8 (x
0
− y)2 gdy −1 ¬ x ¬ 1, −1 ¬ y ¬ 1
gdy wprzeciwnymprzypadku
Znajdziemy gęstość zmiennej losowej X.
Zadanie 5. Kontynuacja zadania 1. Uzupełnij tabelę:
f (x, y)
3
y
x
0
1
2
fY (y)
0
1
2
fX (x)
0,5
0,2
0,02
?
0,05
0,1
0,03
?
0,01
0,06
?
?
?
?
?
Definicja 8. Niech (X, Y ) będzie parą zmiennych losowych o rozkładzie określonym przez funkcję
f (x, y) będącą funkcją prawdopodobieństwa łącznego lub gęstością. Zmienne losowe X, Y są niezależne, jeśli
f (x, y) = fX (x)fY (y),
dla wszystkich wartości x, y. Zmienne X i Y , które nie są niezależne nazywamy zależnymi zmiennymi
losowymi.
Zadanie 6. Kontynuacja zadania 1. Czy liczby punktów uzyskane w I i II etapie teleturnieju przez
losowo wybranego uczestnika są niezależnymi zmiennymi losowymi?
Zadanie 7. Czy X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, jeśli ich łączna gęstość ma postać:
(
f (x, y) =
3
8 (x
0
− y)2 gdy −1 ¬ x ¬ 1, −1 ¬ y ¬ 1
w przeciwnym przypadku
Definicja 9. Wartością oczekiwaną (średnią) zmiennej losowej g(X, Y ) nazywamy
E[g(X, Y )] =
XX
x
gdy X, Y są dyskretne,
E[g(X, Y )] =
g(x, y)f (x, y)
y
Z ∞ X
∞
g(x, y)f (x, y)dxdy
−∞ −∞
gdy X, Y są ciągłe.
Definicja 10. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to
E(XY ) = EX · EY.
Zadanie 8. Niech (X, Y ) ma rozkład
Y
X
X=1
X=2
Y=0
Y=1
1
6
1
4
1
3
1
4
Obliczyć E(X), E(Y ), E(XY ), E(XY 2 )
Definicja 11. Kowariancją całkowalnych zmiennych losowych X i Y , spełniających warunek warunek E|XY | < ∞, nazywamy wielkość
cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )].
Własności 2. Mamy:
1. cov(X, Y ) = E(XY ) − EXEY
4
2. Jeśli cov(X, Y ) = 0 to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi
√
3. |cov(X, Y )| ¬ D2 X · D2 Y
Definicja 12. Współczynnik korelacji
cov(X, Y )
cor(X, Y ) = √
D2 X · D2 Y
Zadanie 9. Oblicz: cov(X, Y ) oraz cor(X, Y ) dla zmiennych X, Y z zadania 8.