31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 1, a zmienna losowa Y rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 2. Obie zmienne są niezależne. Oblicz E (Y | X + Y = 3) . (A) 1,86 (B) 2,16 (C) 1,50 (D) 2,00 (E) 2,50 1 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 2 Niech X 0 , X 1 ,K, X n ,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0,2). Niech zmienna losowa N oznacza numer pierwszej ze zmiennych losowych X 1 , X 2 ,K, X n ,K o wartości większej niż X 0 , zatem N = inf {n : n ∈ {1,2,K} ∧ X n > X 0 }. Wtedy EX N jest równa (A) 1 (B) 1 2 (C) 3 2 (D) 2 3 (E) 5 4 2 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 3 Niech X 1 , X 2 , K , X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego N (m + θ ,1) , a Y1 , Y2 ,K, Yn będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego N (m − θ ,1) . Wszystkie zmienne są niezależne. Parametry m i θ są nieznane. Weryfikujemy hipotezę H 0 : θ = 0 przy alternatywie H1 : θ = 0,5 za pomocą testu opartego na ilorazie wiarogodności na poziomie istotności 0,05. Moc tego testu przy n = 18 jest równa (A) 0,899 (B) 0,950 (C) 0,913 (D) 0,995 (E) 0,500 3 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 4 Zmienna losowa N ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0 . Rozważamy losową liczbę zmiennych losowych X 1 , X 2 ,K, X N , przy czym zmienne losowe X 1 , X 2 ,K, X N są niezależne wzajemnie i niezależne od zmiennej losowej N. Każda ze zmiennych losowych X i ma rozkład Pareto o gęstości ⎧ θ ⎪ gdy x > 1 , pθ ( x) = ⎨ xθ +1 ⎪⎩ 0 gdy x ≤ 1 gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Obserwujemy tylko te spośród zmiennych X 1 , X 2 ,K, X N , które są większe od znanej liczby w>1. Nie wiemy ile jest pozostałych zmiennych ani jakie są ich wartości. Niech y1 , y2 ,K, yk będą zaobserwowanymi wartościami. Na podstawie tych danych wyznaczyć estymatory największej wiarogodności parametrów θ i λ . (A) θˆ = k k ∑ ln y i i =1 (B) θˆ = ∑ ln y − 2k ln w k i i i =1 (C) θˆ = k ∑ ln y i =1 (D) θˆ = (E) θˆ = k ∑ ln y − ln w λˆ = kwθ ˆ λˆ = kwθ ˆ i λˆ = k ( wθ − 1) i λˆ = kwθ ˆ i k k ∑ ln y − k ln w i =1 i ˆ i k i =1 λˆ = k ( wθ − 1) − 2k ln w k k i ˆ i 4 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 5 Łańcuch Markowa ma trzy stany: E1 , E2 , E3 , i macierz przejścia 3⎤ ⎡1 ⎢4 0 4⎥ ⎢ 1 1⎥ ⎢0 ⎥ . 2 2⎥ ⎢ ⎢1 1 0⎥ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ Niech X n oznacza stan, w którym znajduje się łańcuch po dokonaniu n kroków, n = 0,1,K . Funkcję f na zbiorze stanów określamy wzorem: f ( Ei ) = i dla i = 1,2,3. Niech c = lim Cov[ f ( X n ), f ( X n +1 )]. Granica c jest równa n→∞ (A) − (B) 17 64 0 (C) − 15 64 (D) − 21 64 (E) − 19 64 5 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 6 Rozważmy zmienne losowe N, X, Y. Wiadomo, że rozkład warunkowy zmiennej losowej N, gdy X = x i Y = y jest rozkładem Poissona o wartości oczekiwanej x. Rozkład warunkowy zmiennej losowej X, gdy Y = y jest rozkładem Gamma(2, y ) , a rozkład zmiennej Y jest rozkładem Gamma(4,3), gdzie rozkład Gamma(α , β ) ma gęstość ⎧ β α α −1 − βx ⎪ x e pα , β ( x) = ⎨ Γ(α ) ⎪⎩ 0 gdy x > 0 gdy x ≤ 0. Wtedy wariancja VarN jest równa (A) 2 (B) 7 (C) 3 (D) 6 (E) 5 6 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 7 Niech X 1 , X 2 ,K, X 13 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym N (m,1). Parametr m jest nieznany i jest realizacją zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N (1,3). Wyznaczamy estymator bayesowski parametru m przy funkcji straty LINEX danej wzorem L(m, a ) = e m − a − (m − a) − 1 , gdzie a oznacza wartość estymatora. 13 Załóżmy, że w wyniku doświadczenia uzyskano próbkę losową taką, że ∑X i =1 Wtedy estymator bayesowski przyjmuje wartość (A) 27 20 (B) 37 32 (C) 18 16 (D) 23 20 (E) 19 16 7 i = 15. 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 8 W pewnej populacji prawdopodobieństwo tego, że osobnik przeżyje pierwszy rok jest równe (1 − θ 2 ) . Jeżeli osobnik przeżył pierwszy rok, to prawdopodobieństwo warunkowe tego, że 2θ przeżyje następny rok jest równe . 1+θ W próbce losowej liczącej n osobników z tej populacji zanotowano: • n0 przypadków, kiedy osobnik nie przeżył pierwszego roku, • n1 przypadków, kiedy osobnik przeżył pierwszy rok, ale nie przeżył drugiego roku, • n2 przypadków, kiedy osobnik przeżył dwa lata. Błąd średniokwadratowy estymatora największej wiarogodności parametru θ wyraża się wzorem: (A) (B) (C) (D) (E) θ 2 (1 − θ 2 ) 2n θ (1 − θ )(1 + 2θ 2 ) 2n θ (1 − θ ) 2n θ 2 (1 − θ 2 ) n θ (1 − θ ) n 8 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 9 Mamy próbę prostą (( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),K, ( X 10 , Y10 )) z rozkładu normalnego dwuwymiarowego o nieznanych parametrach: EX i = EYi = μ , VarX i = VarYi = σ 2 , Cov( X i , Yi ) = σ 2 ρ . Niech 1 10 1 10 2 2 Z i = X i + Yi , Ri = X i − Yi , SZ = (Z i − Z )2 , S R = ( Ri − R) 2 , ∑ ∑ n − 1 i =1 n − 1 i =1 1 gdzie Z oraz R to odpowiednie średnie z próbki. Do testowania hipotezy H 0 : ρ = 3 1 przeciwko alternatywie H1 : ρ ≠ możemy użyć testu o obszarze krytycznym postaci: 3 2 2 SZ SZ < k lub > k2 , 1 2 2 SR SR przy czym liczby k1 i k 2 dobrane są tak, aby przy założeniu, że H 0 jest prawdziwa ⎛S 2 ⎞ ⎛S 2 ⎞ P⎜⎜ Z 2 < k1 ⎟⎟ = P⎜⎜ z 2 > k2 ⎟⎟ = 0,05 . ⎝ SR ⎠ ⎝ SR ⎠ Liczby k1 i k 2 są równe: (A) k1 = 0,157 i k 2 = 1,589 (B) k1 = 0,440 i k 2 = 4,451 (C) k1 = 0,225 i k 2 = 2,271 (D) k1 = 0,629 i k2 = 6,358 (E) k1 = 0,672 i k2 = 5,956 9 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Zadanie 10 Z urny, w której jest 6 kul czarnych i 4 białe losujemy kolejno bez zwracania po jednej kuli tak długo, aż wylosujemy kulę czarną. Wartość oczekiwana liczby wylosowanych kul białych jest równa (A) 1 (B) 4 7 (C) 11 7 (D) 4 6 (E) 10 6 10 31.05.2010 r. Prawdopodobieństwo i statystyka ___________________________________________________________________________ Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Prawdopodobieństwo i Statystyka Arkusz odpowiedzi * T Imię i nazwisko : .........................K L U C Z O D P O W I E D Z I.................................... Pesel ........................................... Zadanie nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * ♦ Odpowiedź A C C E D B E C D B Punktacja ♦ Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. 11