1 Zadanie 1 Niech 1,..., X X będą niezależnymi zmiennymi losowymi

Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 1
Niech X1,..., X 9 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
prawdopodobieństwa:
P( X i  1)  3 / 5 i P( X i  1)  2 / 5 .
k
Niech S k   X i dla k  1,2,...,9 .
i 1
Prawdopodobieństwo
P(S9  3 i S1  5, S2  5, ..., S8  5)
jest równe
(A) 0,2180
(B)
0,2478
(C)
0,2239
(D) 0,2209
(E)
0,2299
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 2
W urnie znajduje się 10 kul Zielonych, 10 kul Białych i 10 kul Czarnych. Losujemy
bez zwracania 9 kul. Niech



Z oznacza liczbę wylosowanych kul Zielonych,
B oznacza liczbę wylosowanych kul Białych,
C oznacza liczbę wylosowanych kul Czarnych.
Wtedy współczynnik kowariancji Cov(Z , B) jest równy
(A)

42
29
(B)

21
29
(C)

21
30
(D)

42
30
(E)

24
30
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 3
 X , Y  będzie dwuwymiarową zmienną losową,
  ,   , wariancji każdej ze współrzędnych równej 
Niech
2
X
Y
o wartości oczekiwanej
oraz kowariancji równej
   . Staramy się obserwować niezależne realizacje tej zmiennej, ale nie w pełni to
2
wychodzi - czasem udaje się zaobserwować jedynie pierwszą lub jedynie drugą ze
współrzędnych. Przyjmijmy ważne założenie, iż do „zgubienia” obserwacji
(całkowitego, jej pierwszej współrzędnej, lub jej drugiej współrzędnej) dochodzi
całkowicie niezależnie od wartości tych obserwacji.
Załóżmy, iż otrzymaliśmy próbkę, zawierającą 25 obserwacji wyłącznie pierwszej
współrzędnej, 50 obserwacji całej pary, oraz 25 obserwacji wyłącznie drugiej
współrzędnej. Niech:
X oznacza średnią z próbki (75-ciu) obserwacji na zmiennej X,
Y oznacza średnią z próbki (75-ciu) obserwacji na zmiennej Y,
X  Y oznacza średnią z próbki (50-ciu) obserwacji na różnicy zmiennych X  Y ;
oraz niech
 X  Y  i X  Y oznaczają dwa alternatywne estymatory różnicy r  X  Y .
Różnica błędów średniokwadratowych obu estymatorów czyli
E ( X  Y  r )2  E ( X  Y  r )2
jest równa
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2 
3 
1   
75  2 
2
1   
75
2 5

  1
75  3

2 3

  1
75  2

2
  1
75
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 4
Zakładając, że obserwacje x1, x2 ,, x12 stanowią próbkę losową z rozkładu Pareto o
gęstości
 4 

gdy x  0
f ( x)   (4  x) 1

0
gdy x  0

gdzie   0 jest nieznanym parametrem, wyznaczono wartość estymatora największej
wiarogodności parametru  i otrzymano ˆ  1,5 . W próbce były dwie obserwacje o
wartości 12, a pozostałe dziesięć obserwacji miało wartości mniejsze od 12. Okazało
się, że w rzeczywistości zaobserwowane wartości stanowiły próbkę z uciętego
rozkładu Pareto, czyli były realizacjami zmiennych losowych X i  min Yi ,12, gdzie
Yi , i  1,2,,12 , są niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości f .
Wyznaczyć wartość estymatora największej wiarogodności parametru  po
uwzględnieniu modyfikacji założeń.
(A)
2,04
(B)
1,25
(C)
0,74
(D)
1,05
(E)
1,91
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 5
Niech X1 , X 2 ,, X n , , I1 , I 2 ,, I n , ,N
będą niezależnymi zmiennymi losowymi.
Zmienne X1 , X 2 ,, X n , mają rozkład o wartości oczekiwanej 4 i wariancji 1.
Zmienne I1 , I 2 ,, I n , mają rozkład jednostajny na przedziale 0,1 . Zmienna N ma
( 2  n)  3   1 
rozkład ujemny dwumianowy PN  n  
    dla n  0,1,2, .
n!  4   4 
2
gdy N  0
 0
N
Niech S N  
.
I i X i gdy N  0

i 1
Wtedy Var S N  jest równa
(A)
26
9
(B)
10
9
(C)
65
18
(D)
14
3
(E)
32
9
5
n
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 6
Niech X1, X 2 , , X n , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym
rozkładzie o gęstości
3

gdy x  1
,
f ( x)   x 4

 0 gdy x  1
Niech U n   X1  X 2    X n n . Wtedy
1
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
9

lim P (U n  1,5) n    0,1587
n  
4



lim P (U n  1,5) n  3e3  0,1587
n  






lim P (U n  e1 / 3 ) n  3e1 / 3  0,1587
n  
lim P (U n  e1 / 3 ) n  3e1 / 3  0,1587
n  
lim P 3(U n  e1 / 3 ) n  e1 / 3  0,1587
n  
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 7
Niech X1, X 2 , , X10 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym
rozkładzie normalnym N (  ,  2 ) z nieznanymi parametrami   R i   0 .
Budujemy przedział ufności dla parametru  postaci
[ X 3:10, X 7:10 ] ,
gdzie X k :10 oznacza k-tą statystykę pozycyjną z próby X1, X 2 , , X10 .
Wtedy prawdopodobieństwo P ,  [ X 3:10, X 7:10 ] jest równe
(A)
111
128
(B)
112
128
(C)
114
128
(D)
99
128
(E)
100
128
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 8
Niech ( X , Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową z rozkładu o gęstości
2 x gdy x  (0,1)  y  (0,1)
p( x, y )  
 0 w przeciwnymprzypadku.
1

Niech U  X  Y i V  X  Y . Wtedy E U |V   jest równa
3

(A)
10
9
(B)
1
(C)
8
9
(D)
7
18
(E)
15
18
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 9
Niech X1, X 2 , , X10 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym
rozkładzie Weibulla o gęstości
2x exp  x 2 
gdy x  (0,)
f ( x)  
0
w przeciwnymprzypadku,

gdzie   0 jest nieznanym parametrem. Testem jednostajnie najmocniejszym na
poziomie istotności 0,05 weryfikujemy hipotezę H 0 :   2 przy alternatywie
H1 :   2 . Niech Fk (x) oznacza dystrybuantę rozkładu chi-kwadrat z k stopniami
swobody w punkcie x.
Moc tego testu przy alternatywie H1 :   6 jest równa
(A)
1  F10 (6,1023)
(B)
1  F20 (10,4701)
(C)
F10 (11,8209)
(D)
F20 (32,5524)
(E)
F20 (10,8508)
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Zadanie 10
Załóżmy, że X 1 , X 2 ,, X n ,  są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie jednostajnym na przedziale [0; 1], zaś N jest zmienną losową o rozkładzie
Poissona z wartością oczekiwaną 2, niezależną od zmiennych losowych
X 1 , X 2 ,, X n ,  . Niech
min{ X 1 , X 2 ,, X N } gdy N  0
YN  
0
gdy N  0,

max{ X 1 , X 2 ,, X N } gdy N  0
ZN  
0
gdy N  0.

Obliczyć E Z N  YN  .
(A)
2e2  1
(B)
2e2  2
(C)
4e2
(D)
e2
(E)
2e2
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
15.06.2015r.
Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : .......................K L U C Z O D P O W I E D Z I...............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*

Odpowiedź
C
B
C
B
D
E
D
A
D
E
Punktacja
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11