PODCIĄGI CIĄGU, GRANICA GÓRNA I DOLNA Podciągi i

Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15
PODCIĄGI CIĄGU, GRANICA GÓRNA I DOLNA
Podciągi i zbieżność
Niech (an )n∈N będzie ciągiem liczbowym.
Definicja 1 (Podciąg ciągu). Niech (nk )k∈N będzie ściśle rosnącym ciągiem liczb
naturalnych. Zapiszmy ciągi (nk ) oraz (an ) jako odpowiednio funkcje n : N → N
oraz a : N → R. Wtedy złożenie a ◦ n nazywamy podciągiem ciągu (an ) i zapisujemy
jako (ank ).
Przykład 2.
(1) Liczby parzyste są podciągiem ciągu liczb naturalnych.
(2) Niech
an = reszta z dzielenia n przez 4.
Wtedy na przykład podciąg (a4n ) jest ciągiem stale równym zero, zaś podciąg
(a2n+1 ) przyjmuje naprzemiennie wartości 3 i 1.
(3) Ciąg (4n ) jest podciągiem ciągu (2n ). Wystarczy zauważyć, że 4n = 22n .
Własność 3. Jeśli ciąg jest zbieżny, to każdy jego podciąg jest zbieżny. Co więcej,
wszystkie podciągi są zbieżne do tej samej granicy.
Warto zauważyć, że powyższa własność pociąga za sobą następujący wniosek.
Wniosek 4. Jeśli ciąg ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic, to jest rozbieżny.
Przykład 5. Ciąg (−1)n jest rozbieżny, ponieważ jego podciąg (−1)2n = 1 jest
zbieżny do 1, zaś podciąg (−1)2n−1 = −1 jest zbieżny do −1.
Kluczowym twierdzeniem jest Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa:
Twierdzenie 6 (Bolzano-Weierstrass). Każdy ciąg ograniczony ma podciąg
zbieżny.
Przypomnijmy, że jeśli ciąg jest rozbieżny do ∞ lub −∞, to mówimy, że jest zbieżny
do granicy niewłaściwej. Wówczas wnioskiem z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa
powyżej jest:
Wniosek 7. Każdy ciąg ma podciąg zbieżny do granicy skończonej lub niewłaściwej.
Granice częściowe, granica górna i dolna
Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi +∞ oraz −∞.
Definicja 8 (Granica częściowa). Mówimy, że g ∈ R jest granicą częsciową ciągu,
jeśli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do g.
1
Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15
2
PODCIĄGI CIĄGU, GRANICA GÓRNA I DOLNA
Zauważmy, że w powyższej definicji uwzględniamy również granice niewłaściwe
∞, −∞.
Rozważmy zbiór E ⊂ R wszystkich granic częściowych ciągu (an ). Z twierdzenia
Bolzano-Weierstrassa oraz wniosku 7 wynika, że:
Własność 9. Zbiór granic częściowych dowolnego ciągu jest niepusty.
Przykład 10.
(1) Zbiór granic częściowych ciągu liczb naturalnych to {+∞}
(2) Zbiór granic częściowych ciągu (−1)n to {−1, 1}
Prostym wnioskiem z Wlasności 3 i Wniosku 7 jest:
Własność 11. Ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbiór granic częściowych
jest jednoelementowy.
Warto zwrócić uwagę, że zbiór granic częściowych jest zawsze zbiorem domkniętym
(ćwiczenie dla zdolnych).
Definicja 12. Kres dolny zbioru granic częściowych ciągu nazywamy granicą dolną
ciągu, natomiast jego kres górny nazywamy granicą dolną ciągu.
Granicę górną ciągu (an ) oznaczamy
lim sup an ,
n→∞
zaś granicę dolną oznaczamy
lim inf an .
n→∞
Granica ciągu nie zawsze isnieje, natomiast zawsze istnieją granica górna i dolna
ciągu.
Własność 13. Mamy
lim sup an ­ lim inf an .
n→∞
n→∞
Ponadto równość
lim sup an = lim n→∞
inf an
n→∞
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jest zbieżny.
Rozważmy przykłady:
Przykład 14.
(1) Zbiór granic częściowych ciągu ( n1 ) jest zbiorem jednoelementowym {0}. Zatem
1
1
lim sup = 0 = lim n→∞
inf .
n
n→∞ n
(−1)n n
(2) Zbiorem granic częściowych ciągu n+1 jest zbiór {−1, 1}. Zatem
(−1)n n
= 1,
n→∞ n + 1
(−1)n n
lim n→∞
inf
= −1.
n+1
lim sup
Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15
PODCIĄGI CIĄGU, GRANICA GÓRNA I DOLNA
3
(3) Zbiorem granic częściowych ciągu (sin n) jest zbiór [−1, 1]. Zatem
lim sup sin n = 1,
n→∞
lim n→∞
inf sin n = −1.
. Zbiór granic czę(4) Rozważmy ciąg o wyrazach 10n x − [10n x], gdzie x = 38
27
ściowych jest trzyelementowy
407 47 740
,
,
.
999 999 999
Zatem
740
,
lim sup (10n x − [10n x]) =
999
n→∞
47
lim inf (10n x − [10n x]) =
.
n→∞
999
(Wystarczy zauważyć, że 38
= 1, (407) = 1 + 407
. Co się dzieje dla dowolnego
27
999
wymiernego x? A co gdy x jest niewymierny?)