Wyklad-01a

PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
WYKŁAD 1
FUNKCJE, CIĄGI, GRANICE CIĄGÓW
Funkcją (przekształceniem,odwzorowaniem)
określoną na zbiorze S o wartościach w zbiorze T
nazywamy taką relację, która każdemu elementowi
x  S przyporządkowuje dokładnie jeden element
y  T , co krótko można zapisać:
f :S T
x  S  ! y  T : y  f ( x)
SS
f
T
Dla funkcji wprowadzamy pojęcie:
 dziedziny Dom(f)
 przeciwdziedziny Im(f) (obraz funkcji)
Dom(f)= S Im(f)={ f(x)єT: xєS}
Dom(f)
Im(f)
Df
D 1 f
Zbiór argumentów
Dziedzina
Zbiór wartości
Przeciwdziedzina
1
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Wykresem funkcji nazywamy zbiór par
uporządkowanych postaci (x,y)єSxT : (x,f(x))
S '  S oraz T '  T
Niech:
definiujemy obraz zbioru S’ w tym przekształceniu:
f ( S ' )  { f ( x)  T : x  S ' }
definiujemy przeciwobraz zbioru T’ w tym przekształceniu
f
1
(T ' )  {x  S : f ( x)  T '}
Pojęcie przeciwobrazu zbioru jednoelementowego {y}
pozwala wprowadzić trzy rodzaje funkcji ważne dla
zastosowań:
Jeżeli y  T przeciwobraz f 1 ( y )
Ma conajwyżej jeden element
to f(x) iniekcja
(różnowartościowa)
f : S T
Ma conajmniej jeden element
to f(x) surjekcja
( ”na”)
f : S T
Ma dokładnie jeden element
to f(x) bijekcja
(wzajemnie jednoznaczna)
f :S T
w
na
2
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Iniekcję (funkcję różnowartościową ) można też
zdefiniować inaczej:
x1 , x2  S
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Różnym argumentom odpowiadaja różne wartości funkcji
Implikacja powyższa równoważna jest kontrapozycji,
co stanowi równoważną definicję różnowartościowości.
x1 , x2  S
f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2
Surjekcja (funkcja S ‘na’ T) oznacza że każdy element
y  T jest w tym odwzorowaniu wykorzystany tzn. jest
wartością funkcji dla pewnego argumentu x  S .
Bijekcja (funkcja wzajemnie jednoznaczna) oznacza że
każdemu elementowi x  S odpowiada jeden element
y  T i na odwrót: każdemu elementowi y  T
odpowiada jeden element x  S ( odwzorowanie 1:1).
3
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Funkcja złożona (składanie funkcji)
Rozważmy dwie funkcje:
f :S T
g :U  W
Wówczas określamy nową funkcję:
g  f : S W
według definicji:
( g  f )( x)  g ( f ( x))
Jest to przepis na tworzenie funkcji złożonej.
Warunkiem istnienia złożenia jest zachodzenie inkluzji:
Im( f )  Dom ( g )
W ogólności składanie funkcji nie jest przemienne tzn.
g f  f g
Funkcja odwrotna (odwracanie funkcji)
Funkcja odwrotna do funkcji f oznaczana jako f 1
jest to funkcja spełniająca następujące warunki:
f
1
 f  f  f
1
I
gdzie I jest funkcją identycznościową (tożsamościową)
I ( x)  x
Uwaga: Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.
Jeżeli funkcja jest bijekcją to ma funkcję odwrotną (jest odwracalna).
4
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Monotoniczność funkcji
Funkcja f(x) jest rosnąca
x1 , x2  Dom( f )
x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )
tzn. większym argumentom odpowiadają większe wartości
funkcji
Funkcja f(x) jest niemalejąca
x1 , x2  Dom( f )
x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )
tzn. większym argumentom odpowiadają większe lub równe
wartości funkcji
Funkcja f(x) jest malejąca
x1 , x2  Dom( f )
x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )
tzn. większym argumentom odpowiadają mniejsze wartości
funkcji
Funkcja f(x) jest nierosnąca
x1 , x2  Dom( f )
x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )
tzn. większym argumentom odpowiadają mniejsze lub
równe wartości funkcji
5
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Parzystość, nieparzystość, okresowość funkcji
Funkcja f(x) jest parzysta
x  Dom ( f ) :
f ( x)  f ( x)
Funkcja f(x) jest nieparzysta
x  Dom ( f ) :
f ( x)   f ( x)
Funkcja f(x) jest okresowa
T  0 x  Dom ( f ) :
f ( x  T )  f ( x)
Najmniejsza taka liczba T- okres podstawowy Tp
Ograniczoność funkcji o wartościach w R
Funkcja f(x) jest ograniczona z góry
M  R x  Dom( f ) :
f (x )  M
Funkcja f(x) jest ograniczona z dołu
m  Rx  Dom ( f ) :
f (x )  m
Funkcja f(x) jest ograniczona
M  Rx  Dom( f ) :
f ( x)  M
6
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Pojęcie ograniczoności możemy wrowadzić nie tylko w zbiorze wartości funkcji
ale w dowolnym zbiorze liczbowym A z relacją ≤
(np. w podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych R) .
Liczba M jest ograniczeniem górnym zbioru A
 x  A : x  M
Najmniejsze ograniczenie górne nazywamy kresem górnym zbioru A
i oznaczamy sup A (supremum A)
Jeżeli istnieje kres górny (sup A) to wówczas:
  0 x  A : (sup A   )  x
Liczba m jest ograniczeniem dolnym zbioru A
 x  A : m  x
Najmniejsze ograniczenie górne nazywamy kresem dolnym zbioru A
i oznaczamy inf A (infimum A)
Jeżeli istnieje kres dolny (inf A) to wówczas:
  0 x  A : x  (inf A   )
W zbiorze liczb rzeczywistych prawdziwa jest tzw.
zasada zupełności.
Zasada zupełności w zbiorze R
Każdy zbiór A liczb rzeczywistych ograniczony z góry
ma kres górny
Każdy zbiór A liczb rzeczywistych ograniczony z dołu
ma kres dolny
7
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Podział funkcji
Podstawowe funkcje elementarne:
 funkcje stała
 funkcja potęgowa
 funkcja wykładnicza
 funkcja logarytmiczna
 funkcje trygonometryczne
 funkcje cyklometryczne (odwrotne do trygonom.)
y
f(x)=c
x
Funkcja stała
8
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
y
f(x)=x^(-1)=1/x
0
x
f(x)=x^(-1)=1/x
Funkcja potęgowa(odwrotność)
y
f(x)=x^(1/2)=sqrt(x)
0
x
Funkcja potęgowa(pierwiastek kwadratowy)
9
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
y
f(x)=e^x
f(x)=e^(-x)
1
0
x
Funkcja wykładnicza o podstawie e (exp(x))
y
f(x)=ln(x)
1
1
e
x
Funkcja logarytmiczna(logarytm naturalny)
10
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
y
f(x)=sin(x)
1
2*Pi
-Pi/2
-Pi
0
Pi
Pi/2
x
-1
Funkcja trygonometryczna sin(x) (Tp=2π)
y
f(x)=cos(x)
1
-Pi
Pi
0
-Pi/2
Pi/2
x
-1
Funkcja trygonometryczna cos(x) (Tp=2π)
11
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
y
f(x)=tg(x)
0
-Pi/2
Pi/2
x
Funkcja trygonometryczna tg(x) (Tp=π)
y
f(x)=ctg(x)
0
Pi
x
Funkcja trygonometryczna ctg(x)(Tp=π)
12
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
y
f(x)=arccos(x)
Pi
f(x)=arcsin(x)
Pi/2
-1
1
x
-Pi/2
Funkcje cyklometryczne arcsin(x),arccos(x)
y
Pi/2
f(x)=arctg(x)
0
x
-Pi/2
Funkcje cyklometryczna arctg(x)
13
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
y
Pi
Pi/2
f(x)=arcctg(x)
0
x
Funkcje cyklometryczna arcctg(x)
Funkcje elementarne:
Funkcje które można otrzymać z podstawowych funkcji
elementarnych przez:
 dodawanie
 odejmowanie
 mnożenie
 dzielenie
 składanie funkcji
Funkcje elementarne to np: wielomiany, funkcje
wymierne, funkcje hiperboliczne
14
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Jako przykład funkcji elementarnych rozważmy funkcje hiperboliczne
sinh(x), cosh(x), tgh(x), ctgh(x):
sinh( x) 
e x  ex
2
e x  ex
cosh( x) 
2
sinh( x) e x  e  x
tgh( x) 

cosh( x) e x  e  x
ctgh( x) 
cosh( x) e x  e  x

sinh( x) e x  e  x
Własności funkcji hiperbolicznych
cosh 2 ( x)  sinh 2 ( x)  1
tgh( x)  ctgh( x)  1
sinh( x  y )  sinh( x) cosh( y )  sinh( y ) cosh( x)
cosh( x  y )  cosh( x) cosh( y )  sinh( x) sinh( y )
tgh( x  y ) 
ctgh( x  y ) 
tgh( x)  tgh( y )
1  tgh( x)  tgh( y )
1  ctgh( x)  ctgh( y )
ctgh( x)  ctgh( y )
15
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
y
f(x)=cosh(x)
1
0
x
f(x)=sinh(x)
Funkcje hiperboliczne sinh(x), cosh(x)
y
f(x)=ctgh(x)
1
f(x)=tgh(x)
0
x
-1
f(x)=ctgh(x)
Funkcje hiperboliczne tgh(x), ctgh(x)
16
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Funkcje nieelementarne (przykłady):
 część całkowita: E(x)
 signum: sgn(x)
 funkcja Dirichleta: D(x)
y
x
f(x)=E(x)=floor(x)
Funkcja nielementarna E(x)
y
1
f(x)=sign(x)
0
x
-1
Funkcja nielementarna sgn(x)
17
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Granica ciągu
Podstawowe idee:
Nicolas d’Oresme XIV w.
Newton, Leibnitz XVII w.
Definicja
Ciągiem f w zbiorze liczb rzeczywistych R,
nazywamy funkcję f : N  R
określoną na zbiorze liczb naturalnych N
o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych R.
Oznaczenie ciągu:
 xn nN , gdzie xn  f n dla n  N
tj. zamiast funkcji f operujemy zbiorem jej wartości
zapisanych w powyższy sposób.
Będziemy często pisali w skrócie  xn  zamiast  xn nN
18
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykład
(x n ) nN =(2 n ) nN
x0  2 0  1
x1  21  2

xn  2 n
Stąd funkcja:
 0 1
 1 2

24
 

n  2 n
Ciągi w informatyce często definiuje się rekurencyjnie
x0  x
xn 1  F  xn ,
n  0,1,...
gdzie F jest daną funkcją rzeczywistą.
Przykłady definicji rekurencyjnych:
xn 1  xn  r (ciąg arytmetyczny)
(ciąg geometryczny)
xn 1  qxn
19
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Wprowadzimy teraz pojęcie odległości d(P,Q)
między elementami P,Q zbioru.
Odległość d(P,Q) jest pewną miarą podobieństwa
elementów P,Q; będziemy kierowali się intuicyjną
zasadą, że elementy P,Q „są bliskie” wtedy,
gdy odległość d(P,Q) jest „dostatecznie mała”.
Odległość d w zbiorze R określimy przyjmując:
d P( x1 ), Q( x2 )   ( x1  x2 ) 2  x1  x2
Odległość d w zbiorze R2 określimy przyjmując:
d P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2  
( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2
Odległość d w zbiorze R3 określimy przyjmując:
d P ( x1 , y1 , z1 ), Q ( x2 , y 2 , z 2  
( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2  ( z1  z 2 ) 2
20
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Definicja Cauchy’ego zbieżności ciągu
Dla ciągu xn nN liczb rzeczywistych fakt, że
liczba rzeczywista q jest granicą ciągu xn nN
xn  q ,
zapiszemy symbolicznie: lim
n 
lim xn  q 
n 
lim xn  q 
n 
q+
  
  0 n0 n  n0
 
  0 n0 n  n 0
q  xn  
q    xn  q  
•
•
•
q
q-
•
a no
•
•
•
Mówimy w tej sytuacji, że x n jest zbieżny do q
lub, że x n posiada granice równą q.
Często pisze się xn  q zamiast lim xn  q
21
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Interpretacja definicji granicy ciągu:
Mówimy, że ciąg posiada granicę,
jeżeli: istnieje takie q, że  xn  jest zbieżny do q
tzn. że:
 dla każdej liczby rzeczywistej   0
 istnieje liczba naturalna n0 o tej własności, że:
q  xn  
wtedy, gdy n  n0 .
Znaczy to, że dostatecznie dalekie wyrazy x n ciągu
xn nN są tak bliskie liczby q jak tylko tego chcemy
(co wyrażamy przez nasz wybór  );
dla dostatecznie dużych n wyrazy ciągu  xn 
skupiają się wokół wartości q.
Liczba niewymierna jako granica ciągu wymiernych
przybliżeń dziesiętnych
a1  3,1
a2  3,14
a3  3,141
a4  3,1415
a5  3,14159
lim an  
n
a6  3,141592
a7  3,1415926
22
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Definicja
Sumą, różnicą, iloczynem oraz ilorazem ciągów
(an ), (bn ) nazywamy odpowiednio ciągi:
a 
(an  bn ), (an  bn ), (an  bn ),  n 
 bn 
W ostatnim przypadku przyjmujemy, że bn  0 dla wszystkich n
Twierdzenie (arytmetyka granic ciągów)
Jeżeli:
ciągi (an ), (bn ) są zbieżne tzn. lim an  a, lim bn  b
n 
n 
to wówczas :
są zbieżne ciągi:
( an  bn ),
(an  bn ),
( an  bn )
(
an
)
bn
a ich granice są odpowiednio równe:
lim (an  bn )  a  b
n
lim (an  bn )  a  b
n
lim (an bn )  a  b
n
a  a
lim  n  
n   bn 
b
jeżeli b  0
23
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Definicja:
Mówimy, że ciąg a n  jest rozbieżny do   (lim an  )
lim an      
n 
M n p nn p
an  M
Definicja:
Mówimy, że ciąg a n  jest rozbieżny do   (lim an  )
lim an      
n 
M n p nn p
an  M
Dokonując operacji arytmetycznych na granicach
ciągów możemy napotkać:
 wyrażenie oznaczone i ono jest granicą ciągu
 wyrażenie nieoznaczone określonego typu
Typy wyrażeń nieoznaczonych:
0
0


0      1
0
00
Wyrażenie nieoznaczone mówi o tym że w danej postaci nie
można określić granicy wyrażenia; należy zatem
przekształcić to wyrażenie do innej postaci za pomocą
tożsamościowych działań algebraicznych tak aby usunąć
nieoznaczoność.Sposób przekształcenia tożsamościowego
zależy od typu wyrażenia nieoznaczonego.
24
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykłady granic
Przykład-1:
1
0
n  n
lim
1
0   
  0 n0 n  n0
n  n
lim
1
0 
n
Istotnie, dla wybranego przez nas   0 mamy:
1
1
1 
 0   , gdy n 
n0     1
tj. np.: dla
n

 
mamy: jeśli n  n0
1
0 .
n
to
Przykład-2:
Udowodnić, korzystając z nierówności Bernoulliego,że
gdzie a  0
lim n a  1
n
Nierówność Bernoulliego:
1  x n  1  nx  nn  1 x 2 , gdzie n  N i x  R
2
25
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykład-3:
lim q n  0
n 
gdzie q  1
Warunek q n  0   jest równoważny warunkowi
n
log 
log q
 log  
i wystarczy przyjąć n0  
 1
 log q 
Po tych przykładach przejdźmy do przytoczenia dwóch
ważnych twierdzeń wynikających bezpośrednio z
definicji granicy ciągu.
Twierdzenie (o dwóch ciągach)
Wersja A
Wersja B
( n0n  n0
an  bn
 bn   )  a n  
( n0 n  n0
an  bn
 bn   )  a n  
26
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Twierdzenie (o trzech ciągach)
Przypuśćmy, że ciągi an , bn  , cn 
spełniają warunek an  bn  cn dla pewnego n  n0 :
Wtedy: jeśli lim an  lim cn  q to lim bn  q .
n 
n 
n 
R
q 
an
a n0
a n0 ,1
a n0 , 2
q 
an
- element ciągu bn
- element ciągu c n
- element ciągu
27
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Dowód:
Dla danego  0 znajdziemy n0,1 , n0, 2 takie, że:
lim an  q    
an  q    q    an
lim cn  q   
cn  q    cn  q  
 0 n0 ,1 n  n0 ,1
n

 0 n0 , 2 n  n0 , 2
n
Niech N  max no , no,1 , no, 2  wtedy dla n  N
q    an  bn  cn  q  
q    bn  q  
bn  q  
Mamy więc:
tj.
bn  q  
czyli
q    an  bn  cn  q  
gdy n  N
lim bn  q
n 
28
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykład:
Obliczyć granicę: lim n 3n  4 n  5 n
n 
n
5 n  n 3n  4 n  5 n  n 3  5 n
Ponieważ:
lim n 5n  lim 5  5
n
n
lim n 3  5n  lim 5n 3  5
n
n
to z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że
lim n 3n  4 n  5 n = 5
n 
29
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykład
lim n n  1.
n
Wykorzystamy wzór dwumianowy Newtona:
n  n
n
a  b    a i b ni
i 0 i 
n
 n   
n
n
Mamy więc:
n
n
n 1 1     
k 0  k 
 
n
n

n

k
nk
n  1 1
n2

4
n n  12
2
0  n 1 
n
2
lim
 0,
n  n
n
stąd, na mocy twierdzenia o trzech ciągach:
lim n n  1
n
30
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykład:
lim
an
n  n k
 
gdzie
a  1, k  0
Z poprzedniego przykładu: a 
n
a  12
 Gdy k = 1, to:
2
a n a n a  12


 n  1, zatem
k
n
2
n
 nn  1
lim
an
n  n k
 
 Gdy k > 1, to:
an
nk
 1 n 
 a k  
 
 


n 






k
=> poprzedni przypadek
zatem lim
an
n  n k
 
 Gdy k < 1, to:
an
an
 1 k => poprzedni przypadek
k
n
n
an
zatem lim k  
n  n
31
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykład:
loga n
lim
 0,
n n
gdzie a  1
Warunek:
loga n
0 
n
jest równoważny warunkowi:
n
n  a
gdyż loga n  0 , dla n  a
Przyjmując a   1   , otrzymamy:
n
a ponieważ:
0
n 1  
n
n 1 
2
n
to dla ustalonego  (ustalonego  ) można dobrać n
2

n
tak aby 2n   i wówczas 
czyli
 2
n 

 
Wystarczy zatem przyjąć
2
2
n0
 2
 E (
 ) 1
 
32
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykład
an
lim
 0.
n  n!
an
Przyjmijmy:
xn  ;
n!
a
Mamy wtedy: xn1  xn 
.
n 1
Możemy założyć, że a  0 ; wówczas otrzymamy:
0  xn1  xn dla n  no , przy pewnym
no .
Zasada zupełności
Każdy zbiór A liczb rzeczywistych ograniczony z góry
ma kres górny
Każdy zbiór A liczb rzeczywistych ograniczony z dołu
ma kres dolny
Ciąg malejący ma kres dolny a więc z zasady
zupełności wnosimy, że istnieje
q  inf xn : n  0,1,2,...;
oczywiście wówczas q  lim xn .
n 
Dla liczby q otrzymamy warunek:
a 
a

q  lim xn 1  lim  xn 
0
  lim xn  lim
n

1
n

1
n 
n 
n 
 n 
33
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Twierdzenia(własności granicy ciągów)
1 ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę
2 ciąg zbieżny jest ograniczony;
3 ciąg zbieżny do granicy g
ma wszystkie podciągi zbieżne do tej samej granicy g
4 jeżeli a n  jest zbieżny do granicy g ,
to ciąg an ' powstały z ciągu a n 
przez przestawienie, usunięcie lub dołączenie
skończonej liczby wyrazów,
jest także zbieżny i ma tę samą granicę g.
5 ciąg ograniczony ma podciąg zbieżny
6 ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny;
Własności (3) i (6) pozwalają badać zbieżność i
określać granice ciągów podanych rekurencyjnie.
34
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
(2-ciąg zbieżny jest ograniczony)
Dowód:
Niech a n nN zbieżny, wtedy
lim an  q    
 0 n0 n  n0
n 
an  q  
np.: dla   1
an  q  1
an  an  q  q  an  q  q  1  q
Stąd, dla każdego n  n0
an  1  q
Niech A = max z liczb an dla n  n0 ,
Wtedy
M  max  A, q  1
an  M dla każdego naturalnego n.
Ograniczoność - warunek konieczny,
( ale nie wystarczający zbieżności ciągu )
Przykład:
 1n - ciąg ograniczony, ale rozbieżny
35
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
(6-ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny)
Dowód - Dla ciągu niemalejącego
an  ograniczony
 w szczególności ograniczony z
góry, zatem na podstawie własności zupełności zbiór
wszystkich jego wyrazów posiada kres górny K
Pokażemy, że K  lim a n ,
n 
oczywiście, K  an
Z definicji kresu górnego zbioru liczb
K    an0
 
 0 n0
an
K



K- 
 


n
0
n0
36
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
an  niemalejący

 an0  an
n  n0
Dla każdego n zachodzi:
Stąd dla n  n0 :
Czyli
 K    an
an  K  K  
K    an  K  
an  K  
Cnd.
37
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykład : granica typu e
Liczba e – podstawa logarytmu naturalnego.
Wykażemy że:
n
1

lim 1    e
n 
n

Istnienia granicy lim xn  e dowiedziemy korzystając z
własności (6) tzn. wykażemy, że:
 ciąg  x n n jest rosnący:
xn1  xn dla każdego n
 ciąg  x n n jest ograniczony z góry:
xn  3 dla każdego n.
a więc ma granicę.
Z zasady zupełności wnosimy o istnieniu
e  supxn : n  1,2,... .
Ponieważ ciąg xn nN jest rosnący, więc:
e  lim xn .
38
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Wykażemy, że ciąg ( xn ) jest ciągiem rosnącym.
n(n  1) n(n  1)( n  2)
1
 1
x n  1    1  1 





2n 2
3! n 3
nn
 n
1  1 1  1  2
1  1
 n 1
2   1    1     1       1       1 

2!  n  3!  n   n 
n!  n 
n 

n
1 
1 
1 
1 
n 





1




1

xn1  2   1 





n  1!  n  1  n  1
2!  n  1
Porównując kolejne wyrazy w obu rozwinięciach
otrzymamy:
xn1  xn
Zatem ciąg xn nN jest rosnący.
n

1


1   
1
2
2 
1
2
1


2

xn  2 







1 1
1
1 1
1
     2   2    n 1  3
2! 3!
n!
2 2
2
Co dowodzi ograniczoności ciągu  xn  i kończy dowód
istnienia granicy tego ciągu czyli liczby e.
e - liczba niewymierna o początkowym rozwinięciu
dziesiętnym 2,718281828459045....
Można wykazać ogólniejszy wzór na granicę typu e:
lim 1  an 
n 
a n 0
1
an
e
39
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykłady ogólnej arytmetyki granic
Jeżeli
a n  0
lim an  0 
n 
an  0
lim an  
lim an   b  0
n
lim bn  b b  0
To
1  
lim

n   an
 
1
lim
0
n   an
 
lim (anbn )  
n 
 
lim an   i lim bn  0
lim (anbn )  ?
n 
n
n 
n 
n
n
lim an  lim bn  
lim (an  bn )  ?
lim an  lim bn  
n
lim (an bn )  
n
an
?
n   bn
lim (an bn )  0
lim
an  M
 lim bn  0
n 
 lim b  
n   n
lim an  lim bn  0
n 
n 
n
an
0
n   bn
a
lim n  ?
n   bn
lim
40
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Przykłady konkretnych granic:
 lim n 2  ,
lim
1
 0,
2
n  n
1 

lim  n 2 2   lim 1  1
n  
n  n 
 lim n 2  ,
1
 0,
3
n  n
1
1

lim  n 2 3   lim  0
n  
n  n  n
n 
n 
lim
 lim  n  2  n   lim
n 
n 

k 1
a n n  a n 1 x
l 1
n  b n l  b
k
k 1 n
k
lim
2
0
n2 n
 0

   a0
a
 n
   b0
 bn


dla
k l
dla
nk
dla
nk
(n  1)! n!
n!(n  2)
 lim
1
n!n
n ( n  1)! n! n
 lim
12  22    n 2
n(n  1)(2n  1) 1
 lim

lim

3
3
n 
n   6(3n  2n  1)
9
3n  2n  1
41
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Ciąg Cauchy
Wprowadzimy jeszcze ważne pojęcie ciągu Cauchy.
Ciąg a n jest ciągiem Cauchy jeżeli
  0 n0 n, m  n0
an  am  
Łatwo pokazać że ciąg an 
1
jest ciągiem Cauchy.
n
W zbiorze liczb rzeczywistych zachodzi następująca równoważność:
ciąg jest ciągiem Cauchy

ciąg jest zbieżny
Pierwsza implikacja tej równoważności mówi że jeżeli ciąg jest
ciągiem Cauchy to jest zbieżny.
Zatem żeby wykazać zbieżność wystarczy wykazać że dany ciąg jest
ciągiem Cauchy, co w pewnych przypadkach jest zadaniem
łatwiejszym niż wykazać zbieżność wprost z definicji.
==================================================
42
PJWSTK
Analiza Matematyczna 1
Zastosowanie badania zbieżności ciągów
w analizie algorytmów komputerowych
Efektywność algorytmów komputerowych oceniana jest na
podstawie ich złożoności czasowej i pamięciowej (ilość czasu i
pamięci potrzebna do realizacji danego algorytmu na komputerze o
określonych parametrach i zasobach)
Badanie efektywności algorytmów jest niezwykle istotne ze wzgledu
na to że żle zaprojektowany algorytm może nie dać się zrealizować w
rozsądnym czasie na istniejących komputerach.
Złożoność algorytmu opisywana jest przez funkcje złożoności
których argumentem jest ilość danych n do przetworzenia przez
algorytm. Istotną informacją jaką można uzyskać z funkcji złożoności
jest rząd wielkości czyli zachowanie asymptotyczne dla dużych
wartości n ( n ∞).
Rzędy wielkości dwóch funkcji złożoności f(n) i h(n) mogą być
porównane przez obliczenie granicy:
g  lim
n 
f ( n)
h( n)
Jeżeli teraz:
g = +∞ to h(n) jest co najwyżej rzędu f(n) (ale nie odwrotnie)
g = constans>0 to f(n) jest dokładnie rzędu h(n)
(asymptotycznie równoważne)
g = 0 to f(n) jest co najwyżej rzędu h(n) (ale nie odwrotnie)
43