Wykład 3
advertisement
Wykład 7 Przestrzenie metryczne zwarte. Definicja 82 (przestrzeni zwartej i zbioru zwartego) Przestrzeń metryczną X , nazywamy zwartą, jeśli każdy ciąg elementów tej przestrzeni posiada podciąg zbieżny (do punktu tej przestrzeni) Zbiór A X nazywamy zwartym, jeśli zbiór ten traktowany jako przestrzeń metryczna A, stanowi przestrzeń zwartą. Bardzo często można spotkać inną, równoważną powyższej, definicję przestrzeni metrycznej zwartej. Podamy ją teraz bez wykazywania, że obie definicje są równoważne. Definicja 83 (Borela-Lebesgue’a przestrzeni zwartej) Przestrzeń metryczną X , nazywamy zwartą, jeśli każde otwarte pokrycie przestrzeni X zawiera podpokrycie skończone, tj. jeśli Gt : t T jest rodziną zbiorów otwartych taką, że X Gt , to istnieje taki tT skończony układ wskaźników t1 , t2 , , tn T , że X Gt1 Gt2 Gtn . Podamy teraz kilka ogólnych twierdzeń, które dotyczą przestrzeni metrycznych zwartych. Twierdzenie 84 Każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna. Dowód Niech X , będzie dowolną przestrzenią metryczną zwartą i xn X dowolnym ciągiem spełniającym warunek Cauchy’ego. Musimy wykazać, że jest on zbieżny. Ponieważ przestrzeń X jest zwarta, to istnieje podciąg xnk ciągu xn zbieżny. A zatem xn jest ciągiem Cauchy’ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy twierdzenia 21 ciąg xn jest zatem zbieżny. Twierdzenie 85 (Cantora) W przestrzeni metrycznej zwartej zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Dowód Niech X , będzie przestrzenią metryczną zwartą i Fn dowolnym ciągiem zstępującym niepustych zbiorów domkniętych. Dla każdej liczby naturalnej n niech xn będzie wybranym elementem zbioru Fn . Ponieważ przestrzeń X , jest zwarta, więc istnieje podciąg xnk ciągu xn zbieżny do pewnego punktu x X . Ustalmy m N . Dla k m mamy xnk Fnk Fk Fm , a ponieważ x lim xnk , więc na mocy twierdzenia 38 k (a) x Cl Fm . Ponieważ zaś zbiór Fm jest domknięty, więc x Fm . Pokazaliśmy zatem, że x Fm dla 1 wszystkich m N , tj. x Fm . Zbiór m 1 F m jest zatem niepusty. m 1 Twierdzenie 86 Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ograniczona. Dowód Niech X , będzie dowolną przestrzenia metryczną zwartą. Rodzina K x,1 : x X zbiorów otwartych jest pokryciem przestrzeni X , tj. X K ( x,1) . A ponieważ przestrzeń X , jest zwarta, to na mocy definicji xX Borela-Lebesgue’a (zob. definicja 83), istnieje skończone podpokrycie tego pokrycia, tj. istnieje skończony układ punktów x1 , x2 , , xn X taki, że X K ( x ,1) . i i 1, 2,,n Weźmy dowolne x, y X . Wykorzystując powyższą zależność dostajemy x K ( xi0 ,1) i y K ( x j0 ,1) dla pewnych i0 , j0 1,2, , n , skąd (uwzględniajac nierówność trójkata dla ) x, y x, xi0 xi0 , x j0 x j0 , y x, xi0 max xi , x j : i, j 1,2,, n x j0 , y 2 max xi , x j : i, j 1,2,, n . Z dowolności x, y X mamy zatem diam( X ) sup x, y : x, y X 2 max xi , x j : i, j 1,2, , n , przestrzeń X jest ograniczona. Kolejne twierdzenia podają pewne cechy, które charakteryzują przestrzenie metryczne zwarte i ich podzbiory. Twierdzenie 87 Niech X , będzie dowolną przestrzenią metryczną, a M , jej podprzestrzenią. Jeżeli M , jest przestrzenią zwartą, to M jest zbiorem domkniętym w X . Dowód Ponieważ przestrzeń M , jest zwarta, to na mocy twierdzenia 84 jest zupełna, a stąd na mocy twierdzenia 77 M jest zbiorem domkniętym w X . Twierdzenie 88 Jeżeli X , jest przestrzenią metryczną zwartą, to każdy jej domknięty podzbiór M też stanowi przestrzeń metryczną zwartą. Dowód Musimy pokazać, że przestrzeń metryczna M , jest zwarta, tj., że każdy ciąg punktów tej przestrzeni posiada podciąg zbieżny (do punktu tej przestrzeni). Weźmy zatem dowolny ciąg 2 xn punktów przestrzeni M . Ponieważ elemety tego ciągu są również elementami przestrzeni X , a ta jest zwarta, to istnieje podciąg xnk ciagu xn zbieżny do pewnego punktu x X . Korzystając z twierdzenia 38 (a) x Cl (M ) , a ponieważ zbiór M jest domknięty, więc x M . Wykażemy teraz ważne w zastosowaniach twierdzenie charakteryzujące podzbiory zwarte przestrzeni euklidesowej R k , e . Twierdzenie 89 Podzbiór M przestrzeni euklidesowej R k , e jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór M jest domknięty i ograniczony w R k . Dowód Załóżmy najpierw, że zbiór M Rk jest zwarty. Domkniętość zbioru M wynika z twierdzenia 87, a ograniczoność z twierdzenia 86. Załóżmy z kolei, że zbiór M Rk jest domknięty i ograniczony. Weźmy dowolny ciąg xn punktów zbioru M . Ponieważ M jest zbiorem ograniczonym, to na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa (zob. twierdzenie ciągu x 22), istnieje podciąg xnk n zbieżny, tj. taki, że lim xnk x , dla pewnego x R . Korzystając z k twierdzenia 38 (a) x Cl (M ) , a ponieważ zbiór M jest domknięty, to x M . Z dowolnego ciągu punktów zbioru M wybralismy zatem podciąg zbieżny do punktu tego zbioru. Zbiór M jest więc zwarty. Przykład 90 (przestrzeni zwartej i przestrzeni nie będącej przestrzenią zwartą) (a) Na mocy powyższego twierdzenia dostajemy od razu, że np. przestrzeń metryczna 0,1, jest przestrzenią zwartą. Natomiast przestrzeń euklidesowa (R, | |) nie jest zwarta, tj. nie z każdego ciągu punktów tej przestrzeni można wybrać podciąg zbieżny. Istotnie, biorąc, np. ciąg n punktów tej przestrzeni i wybierając z niego dowolny podciąg nk widzimy, że lim nk x , dla dowolnego x R , tj. ciąg nk nie jest zbieżny k w R. (b) Również przestrzeń dyskretna (R, 01 ) nie jest zwarta (np. ciąg n nie posiada żadnego podciągu zbieżnego) choć jest ona domknięta (przestrzeń zawsze w sobie jest domknięta) i ograniczona ( diam 01 R sup01 x, y : x, y R 1 ). Nie można zatem w ogólności sugerować się twierdzeniem 89, tj. tym, że zwartość zbioru zawsze jest tym samym co jego domkniętość i ograniczoność. Kolejne trzy twierdzenia łączą ze sobą pojęcia ciągłości i zwartości i są ważne w zastosowaniach. Twierdzenie 91 Każda funkcja ciągła przekształcająca przestrzeń metryczną zwartą w przestrzeń metryczną jest jednostajnie ciągła. 3 Dowód Niech X , 1 będzie dowolną przestrzenią metryczną zwartą, Y , 2 dowolną przestrzenią metryczną i f : X Y dowolną funkcją ciągłą. Zgodnie z definicją 57 ciągłości jednostajnej musimy pokazać, że (*) xn X zn X lim 1 xn , zn 0 lim 2 f xn , f zn 0 . n n Weźmy dwa dowolne ciągi xn , zn X i załóżmy, że lim 1 xn , z n 0 . Wybierzmy dowolny rosnący ciąg n nk i f x , f z . Ponieważ x ciągu x zbieżny do pewnego x X . liczb naturalnych, tym samym wybierając dowolne podciągi xnk , znk przestrzeń metryczna X , 1 jest zwarta, to istnieje podciąg Korzystając z nierówności nkl 2 nk nk nk 0 która zachodzi dla wszystkich l N , widzimy, że ciąg z też jest zbieżny do punktu funkcja f jest ciągła, to lim f x f x lim f z . Wykorzystując teraz nierówność f x , f z f x , f x f x , f z , 1 z nkl , x0 1 z nkl , xnkl 1 xnkl , x0 , x0 . Ponieważ zaś nkl nkl l 2 0 nkl nkl l nkl 2 która zachodzi dla wszystkich l N dostajemy nkl 0 l f x , f z 2 nkl nkl nkl l ciągu f x , f z można z niego wyjąć Widzimy więc, że biorąc dowolny podciąg 2 f xnk , f znk podciąg 0 0 . lim 2 f xnk , f z nk n 2 2 n n zbieżny do zera, a to na mocy twierdzenia 17 (f) oznacza, że sam ciąg 2 f xn , f zn też jest zbieżny do zera i pokazuje tym samym, że warunek (*) zachodzi. Funkcja zatem ciągła jednostajnie. f jest Twierdzenie 91 Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą. Dowód Niech X , 1 będzie dowolną przestrzenią metryczną zwartą, a Y , 2 dowolną przestrzenią metryczną i niech f : X Y będzie dowolną funkcją ciągłą. Musimy wykazać, że f X jest zbiorem zwartym. Weźmy dowolny ciąg yn f X . X , 1 Znajdziemy wówczas ciąg xn X taki, że yn f xn , n N . A ponieważ przestrzeń ciągu x zbieżny do punktu x X . Biorąc teraz pod uwagę lim f x f x f X , co pokazuje, że ciąg y posiada podciąg jest zwarta, to istnieje podciąg xnk ciągłość funkcji f dostajemy lim y nk k y zbieżny do punktu zbioru nk k n nk n f X , tym samym uzasadniając jego zwartość. Twierdzenie 92 (Weierstrassa) Każda funkcja ciągła f o wartościach rzeczywistych określona na przestrzeni zwartej X jest ograniczona i osiąga swoje kresy, tj. istnieją punkty x' , x" X takie, że 4 f x' inf f x : x X i f x" sup f x : x X . Dowód X , Niech będzie dowolną przestrzenią metryczną zwartą, a f : X R dowolną funkcją ciągłą (w przestrzeni R rozważamy metrykę euklidesową). Ponieważ f jest funkcją ciągłą, to korzystając z twierdzenia 91 f X jest zbiorem zwartym i na mocy twierdzenia 86 ograniczonym. A zatem inf f x : x X R i sup f x : x X R , tj. inf f x : x X y1 i sup f x : x X y2 dla pewnych y1 , y2 R . Z definicji kresu dolnego inf , dla każdego n N istnieje punkt xn X taki, że y1 f xn y1 (*) A zatem istnieje ciąg przestrzeń X , xn 1 . n punktów przestrzeni X , którego elementy spełniają warunek (*), a ponieważ zbieżny do pewnego punktu jest zwarta, to z ciągu tego możemy wybrać podciąg xnk x' X . Dostajemy teraz z jednej strony, wykorzystując ciągłość funkcji f , że lim f xnk f x' , a z drugiej, k wykorzystujac (*) i twierdzenie o trzech ciągach dostajemy, że lim f xnk y1 . Z jednoznaczności granicy w k przestrzeni metrycznej R, mamy zatem, że f x' y 1 inf f x : x X , dla pewnego x' X . Podobnie pokazujemy, że f x" sup f x : x X , dla pewnego x" X . Skonstruujemy na koniec tego rozdziału ciekawy przykład podzbioru przestrzeni metrycznej 0,1, (a tak naprawdę konstrukcje tą łatwo można przenieść na dowolny przedział w R ) będącego z jednej strony zbiorem bardzo licznym (gdyż zbiór będzie nieprzeliczalny), z drugiej strony zbiorem bardzo małym (gdyż zbiór będzie miary Lebesgue’a zero) i w końcu na punkty tego zbioru można się „natknąć” prawie wszędzie w przedziale 0,1 (gdyż zbiór będzie gęsty w przestrzeni 0,1, ). Przykład 93 (zbioru nieprzeliczalnego, miary Lebesgue’a zero i gęstego) Ponieważ podanie zbioru wymaga użycia pojęcia zbioru Cantora C , który sam w sobie jest zbiorem posiadającym wiele ciekawych własności, dlatego też zaczniemy od jego konstrukcji. Rozważmy przedział domknięty 0,1 . Usuńmy z niego 20 1 środkowy przedział otwarty o długości 1 , tj. 31 1 2 1 2 przedział postaci K11 1 , 1 . Z pozostałego zbioru postaci F1 F11 F21 , gdzie F11 0, 1 i F21 1 ,1 , 3 3 3 3 usuńmy 21 środkowe przedziały otwarte o długości 1 1 2 7 8 postaci K12 2 , 2 i K 22 2 , 2 . Z pozostałego 2 3 3 3 3 3 1 2 3 6 7 8 9 zbioru postaci F2 F12 F22 F32 F42 , gdzie F21 0, 2 , F22 2 , 2 , F32 2 , 2 , F42 2 , 2 , 3 3 3 3 3 3 3 usuńmy 22 środkowe przedziały otwarte o długości 5 1 33 postaci 1 2 K13 3 , 3 , 3 3 7 8 K 23 3 , 3 , 3 3 19 20 25 26 K33 3 , 3 i K 43 3 , 3 . Proces kontynuujemy, otrzymując odpowiedni ciąg zbiorów Fn . Zbiór 3 3 3 3 Cantora C określamy teraz jako część wspólną wszystkich zbiorów Fn , tj. C Fn . Łatwo zauważyć, że n 1 ponieważ końce przedziałów wchodzące w skład zbiorów Fn , przy wszystkich n N , należą już do zbioru Cantora C , to zbiór Cantora C jest nieskończony. Pokażemy więcej, a mianowicie, że jest on zbiorem nieprzeliczalnym. Przypuśćmy przeciwnie, tj. że elementy zbioru Cantora C można ustawić w ciąg c1 , c2 , c3 , Jest jasne, że c1 F11 lub c1 F21 . Niech S1 będzie tym ze zbiorów F11 , F21 , do którego c1 nie należy. Jest jasne dalej, że c2 F12 lub c2 F22 lub c2 F32 lub c3 F42 . Niech S 2 będzie tym ze zbiorów F12 , F22 , F32 , F42 , zawartym w zbiorze S1 , do którego c 2 nie należy. Postępując tak dalej otrzymamy zstępujący ciąg niepustych przedziałów domkniętych S n takich, że cn Sn dla n N . Oczywiście na mocy twierdzenia Cantora (zob. twierdzenie 85) zbiór S n jest niepusty i ponadto widać, że S n C . Jest to jednak niemożliwe, gdyż to by n 1 n 1 oznaczało, że istnieje element zbioru Cantora cn0 , który jest we wszystkich zbiorach S n , a przecież cn Sn przy n N . Zauważmy dalej, że zbiór Cantora C jako iloczyn przeliczalnej ilości zbiorów domkniętych Fn jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i ponadto jego miara (tutaj oznaczana symbolem 1 ) jest zero. Istotnie 1 C 1 0,1 \ K11 K12 K 22 K13 K 23 K33 K 43 1 1 1 1 1 1 1 1 31 32 32 33 33 33 33 1 21 2 2 1 21 2 2 1 1 1 1 2 3 1 1 1 2 1 11 0 . 3 3 3 3 1 2 3 3 3 3 Rozważmy teraz podzbiór C Q [0,1] przestrzeni metrycznej 0,1, . Po pierwsze jest to zbiór nieprzeliczalny, gdyż już sam zbiór Cantora, tj. zbiór C jest zbiorem nieprzeliczalnym. Po drugie jest to zbiór miary Lebesgue’a zero, gdyż oba zbiory C i Q 0,1 są miary Lebesgue’a zero. I w końcu jest to zbiór gęsty w przestrzeni 0,1 , gdyż już sam zbiór liczb wymiernych z przedziału 0,1 , tj. zbiór Q 0,1 jest gęsty w 0,1 . 6
