co to jest twierdzenie
advertisement
CO TO JEST TWIERDZENIE Dobre są każde zęby, Które prowadzą do gęby, A że jeść tymi zębami wygodnie, Zaraz ci to udowodnię. Wilk do Czerwonego Kapturka* Słowo „twierdzenie” kojarzy Ci się prawdopodobnie głównie z twierdzeniem Pitagorasa i twierdzeniem Talesa. Znasz jednak znacznie więcej twierdzeń geometrycznych, tyle że nie mają one specjalnych nazw. Wiesz na przykład, że suma kątów trójkąta wynosi 180° , i ten fakt też jest pewnym twierdzeniem. Mówi się o nim czasem „twierdzenie o sumie kątów trójkąta”. „Twierdzenie o kącie wpisanym i kącie środkowym” mówi, że kąt środkowy w okręgu ma dwa razy większą miarę od dowolnego kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Ogólnie „twierdzenie” to po prostu jakiś fakt matematyczny. Trzeba zwrócić uwagę, że twierdzenie jest czymś zupełnie innym niż definicja. Definicja wyjaśnia, co oznacza to czy inne słowo. Gdy na przykład mówimy, że kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równe, nie odkrywamy niczego, tylko * Jan Brzechwa, Bajki samograjki, Czytelnik, Warszawa 1986, str. 33 (podkreślenie w cytacie moje — MB). 9 Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl umawiamy się, że tego typu czworokąt nazywać będziemy kwadratem. Moglibyśmy go nazywać „czwartańcem” (jak to robiono trzysta lat temu) i nic by się w geometrii nie zmieniło. Definicja jest więc sprawą umowy. Umawiamy się, że dane słowo ma określone znaczenie. Definicji nie trzeba zatem uzasadniać. Polecenie „udowodnij, że kwadrat ma wszystkie boki równe” nie ma większego sensu: po prostu umówiliśmy się, że słowo „kwadrat” oznacza taki prostokąt, który ma wszystkie boki równe. Twierdzenie natomiast wymaga udowodnienia. Trzeba pokazać, że naprawdę jest ono prawdziwe. Skąd wiadomo na przykład, że suma kątów trójkąta wynosi 180° ? My to wiemy ze szkoły, ale przecież ktoś kiedyś musiał to wymyślić po raz pierwszy. A jeśli się pomylił i teraz powtarzamy tę błędną wiadomość? Aby sprawdzić to twierdzenie, możemy oprzeć się na doświadczeniu. Rysujemy kilka trójkątów, mierzymy ich kąty, dodajemy miary i zawsze wychodzi 180° . Jednak sprawdzenie dla kilku trójkątów (czy nawet kilku tysięcy) nie gwarantuje, że będzie tak samo zawsze. Wszystkich trójkątów jest nieskończenie wiele i nie możemy ich sprawdzić po kolei. Zresztą nawet w wypadku kilku narysowanych przez nas trójkątów nie możemy być pewni wyniku. Rysunek zawsze jest niedokładny i nie odróżnimy na nim kąta 50° od 49,99° . Potrzebne jest więc rozumowanie, które pokaże, że suma kątów każdego trójkąta wynosi dokładnie 180° . Zobaczymy teraz, jak wygląda takie rozumowanie i jak można do niego dojść. PRZYKŁAD 1 Udowodnij, że suma kątów trójkąta wynosi 180° . 10 Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl Sformułowanie „suma kątów” kojarzy się z ich konstrukcyjnym dodawaniem. Jeśli trzy kąty położone są tak jak na rysunku, nie ma wątpliwości, że ich suma wynosi 180° , jeżeli tylko punkty A , O i B leżą na jednej prostej. Z kątami trójkąta jest ten problem, że każdy leży gdzie indziej. Może by więc poprzestawiać je w jedno miejsce? W tym momencie potrzebny jest dobry pomysł. Z pewnością ktoś, kto prowadził ten dowód po raz pierwszy, musiał wypróbować wiele możliwości, aż wymyślił rysunek podobny do poniższego. Kąt α powstał z przesunięcia kąta α , ma więc taką samą miarę. Z tego samego powodu β = β. A po trzecie γ = γ , bo są to kąty wierzchołkowe. Wobec tego α+β+γ = α +β +γ = 180° . 11 Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie o sumie kątów trójkąta. Nie mamy już wątpliwości, że jest tak zawsze. Wprawdzie na rysunku widzimy tylko jeden konkretny trójkąt, ale wiemy, że taki sam rysunek można by narysować dla każdego trójkąta i rozumowanie byłoby identyczne. 12 Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
