Document

Wykład 6
Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne.
Przypominamy, że zbiór nazywamy przeliczalnym, jeśli jest on równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb
naturalnych N , a co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest on przeliczalny lub skończony.
Podamy najpierw definicję przestrzeni metrycznej ośrodkowej i omówimy kilka z jej własności.
Definicja 65 (przestrzeni ośrodkowej)
Przestrzeń metryczną ( X , ρ ) nazywamy ośrodkową, jeśli istnieje zbiór co najwyżej przeliczalny i gęsty w tej
przestrzeni, tj. istnieje zbiór A ⊂ X taki, że A jest co najwyżej przeliczalny i Cl( A) = X .
Zbiór, A o którym mowa w definicji 65, nazywa się często ośrodkiem przestrzeni X .
Przykład 66 (przestrzeni ośrodkowej)
Przestrzeń euklidesowa (R, ⋅
)
jest ośrodkowa, gdyż przyjmując A = Q łatwo widać, że A jest zbiorem
przeliczalnym i ponadto Cl( A) = R .
Twierdzenie 67
Obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenią ośrodkową.
Dowód
Niech ( X , ρ1 ) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową, a (Y , ρ 2 ) dowolną przestrzenią metryczną i niech
f : X → Y będzie dowolną funkcją ciągłą. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że f ( X ) = Y , tj. że funkcja
f odwzorowuje przestrzeń X na Y . Wybierzmy jakiś, co najwyżej przeliczalny zbiór A gęsty w przestrzeni
X . Oczywiście f ( A) jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym w przestrzeni Y jako, że jest to obraz zbioru co
najwyżej przeliczalnego A . Zostało wykazać, że f ( A) jest zbiorem gęstym w przestrzeni Y . Zgodnie z
twierdzeniem 51 (a) wystarczy pokazać, że biorąc dowolny niepusty zbiór U otwarty w przestrzeni Y zbiór
U ∩ f ( A) jest niepusty. Weźmy zatem dowolny niepusty zbiór U otwarty w przestrzeni Y . Zbiór V = f −1 (U )
jest otwarty w X , gdyż funkcja f jest ciągła (zob. twierdzenie 55 (a)) i niepusty w X , gdyż f jest
odwzorowaniem „na”. Ponieważ zaś A jest gęsty w przestrzeni X , więc (zob. twierdzenie 51 (a)) zbiór V ∩ A
jest niepusty. Weźmy x0 ∈ V ∩ A . Mamy f (x0 ) ∈ f (V ∩ A) ⊂ f (V ) ∩ f ( A) = U ∩ f ( A) , a to pokazuje, że zbiór
U ∩ f ( A) jest niepusty. Zbiór f ( A) jest zatem zbiorem co najwyżej przeliczalnym i gęstym w przestrzeni Y, a
to oznacza, że przestrzeń (Y , ρ 2 ) jest ośrodkowa.
Twierdzenie 68
Jeżeli w przestrzeni metrycznej
(X , ρ )
istnieje nieprzeliczalny zbiór B o tej własności, że dla dowolnych
x, y ∈ B takich, że x ≠ y mamy ρ (x, y ) ≥ r0 , gdzie r0 jest pewną liczbą dodatnią, to przestrzeń ta nie jest
ośrodkowa.
1
Dowód
(X , ρ )
Przypuśmy wbrew tezie, że przestrzeń
jest ośrodkowa. Niech A będzie zbiorem co najwyżej
przeliczalnym i gęstym w tej przestrzeni, a B zbiorem nieprzeliczalnym o własności wspomnianej w założeniu
  r 

twierdzenia. Rozważmy rodzinę zbiorów R =  K  x, 0  : x ∈ B  . Zauważmy, że zbiory tej rodziny są parami
  3

r 
r 


rozłączne. Istotnie gdyby tak nie było, to K  x0 , 0  ∩ K  y0 , 0  ≠ ∅ dla pewnych x0 , y0 ∈ B . Wówczas
3
3


istniałby punkt z 0 ∈ X
ρ (z 0 , y0 ) <
r0
.
3
Stąd
r 
r 


taki, że z0 ∈ K  x0 , 0  i z0 ∈ K  y0 , 0 
3
3


zaś,
ρ ( x 0 , y 0 ) ≤ ρ ( x0 , z 0 ) + ρ ( z 0 , y 0 ) <
biorąc
pod
uwagę
nierówność
lub równoważnie ρ (z 0 , x0 ) <
trójkąta
dla
ρ
r0
3
i
dostalibyśmy:
2r0
< r0 , co jest jednak niemożliwe, gdyż na mocy założenia ρ (x, y ) ≥ r0 dla
3
wszystkich x, y ∈ B .
 r 
Weźmy dowolny element rodziny R , tj. kulę K  x, 0  – jednoznacznie wyznaczony element x ∈ B . Na mocy
 3
 r 
 r 
twierdzenia 51 (a) K  x, 0  ∩ A ≠ ∅ , a stąd istnieje a x ∈ A taki, że a x ∈ K  x, 0  . A ponieważ rodzina R
 3
 3
składa się z różnych elementów, to tym samym istnieje różnowartościowa funkcja f : R → A , która każdemu
 r 
elementowi K  x, 0  przyporządkowuje punkt a x . To jest jednak niemożliwe, gdyż to by oznaczało, że
 3
nieprzeliczalny zbiór f (R ) jest podzbiorem zbioru co najwyżej przeliczalnego A . Przestrzeń ( X , ρ ) nie jest
zatem przestrzenią ośrodkową.
Łatwo teraz podać przykład przestrzeni, która nie jest przestrzenią ośrodkową.
Przykład 69 (przestrzeni nie ośrodkowej)
Korzystając z twierdzenia 68 widzimy, że przestrzeń dyskretna (R, ρ 01 ) nie jest ośrodkowa. Istotnie, biorąc
B = IQ widzimy, że B jest zbiorem nieprzeliczalnym i że dla dowolnych x, y ∈ B takich, że x ≠ y mamy
ρ (x, y ) = 1 = r0 .
Przejdziemy teraz do zdefiniowania i podania kilku własności kolejnej klasy ważnej klasy przestrzeni
metrycznych, a mianowicie przestrzeni metrycznych zupełnych.
Definicja 70 (przestrzeni zupełnej)
Przestrzeń metryczną ( X , ρ ) nazywamy zupełną, jeśli każdy ciąg {xn } elementów tej przestrzeni spełniający
warunek Cauchy’ego jest zbieżny (do punktu tej przestrzeni), tj. istnieje punkt x ∈ X taki, że lim xn = x .
n →∞
2
Przykład 71 (przestrzeni zupełnej)
(
)
Z twierdzenia 23 bezposrednio otrzymujemy, że każda przestrzeń euklidesowa R k , ρ e jest zupełna.
Podamy teraz dwa ważne w zastosowaniach twierdzenia, dotyczące przestrzeni metrycznych zupełnych.
Twierdzenie 72 (Cantora)
W przestrzeni metrycznej zupełnej zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych, których średnice tworzą
ciąg zbieżny do zera, posiada dokładnie jeden punkt wspólny.
Dowód
Niech ( X , ρ ) będzie przestrzenią metryczną zupełną i {Fn } dowolnym ciągiem zstępującym niepustych zbiorów
domkniętych, których średnice tworzą ciąg zbieżny do zera. Dla każdej liczby naturalnej n niech xn będzie
wybranym elementem zbioru Fn . Pokażemy, że utworzony w ten sposób ciąg
{xn }
spełnia warunek
Cauchy’ego. Niech ε > 0 będzie dowolną liczbą dodatnią. Ponieważ lim diam(Fn ) = 0 , więc istnieje n0 ∈ N
n →∞
takie, że diam(Fn ) < ε dla n ≥ n0 . Biorąc teraz k, l ∈ N takie, że k , l ≥ n0 mamy
xk ∈ Fk ⊂ Fn0 i xl ∈ Fl ⊂ Fn0 ,
( )
skąd ρ (xk , xl ) ≤ diam Fn0 < ε . Ciąg {xn } spełnia więc warunek Cauchy’ego, a ponieważ przestrzeń ( X , ρ ) jest
zupełna, to ciąg ten jest zbieżny do pewnego elementu x ∈ X . Ustalmy m ∈ N . Dla n ≥ m mamy
xn ∈ Fn ⊂ Fm , a ponieważ x = lim xn , to na mocy twierdzenia 38 (a) x ∈ Cl(Fm ) . Ponieważ zaś zbiór Fm jest
n→∞
∞
∞
domknięty, więc x ∈ Fm . Pokazaliśmy zatem, że x ∈ Fm dla wszystkich m ∈ N , tj. x ∈ I Fm . Zbiór
m=1
IF
m
jest
m =1
zatem niepusty.
∞
Łatwo teraz pokazać, że
IF
m
składa się z dokładnie jednego punktu. Istotnie, gdyby istniały dwa różne punkty
m =1
∞
x
i
y
należące
do
IF
m
,
to
biorąc
dowolne
m∈N
dostalibyśmy
m =1
diam(Fm ) = sup{ρ (x1 , y1 ) : x1 , y1 ∈ X } ≥ ρ (x, y ) > 0 , co przeczy warunkowi lim diam(Fn ) = 0 .
n →∞
Twierdzenie 73 (Baire’a)
Jeżeli ( X , ρ ) jest przestrzenią metryczną zupełną, to:
(a) iloczyn przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych i gęstych w X jest zbiorem gęstym w X .
(b) suma przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych i brzegowych w X jest zbiorem brzegowym w X .
Dowód
∞
(a) Niech G1 , G2 , G3 , K będą zbiorami otwartymi i gęstymi w przestrzeni X . Musimy pokazać, że zbiór
IG
n
n=1
jest gęsty w przestrzeni X . Weźmy dowolny niepusty zbiór otwarty V0 w X . Ponieważ zbiór V0 ∩ G1 jest
3
niepusty (gdyż G1 jest gęsty – zob. twierdzenie 51 (a)) i otwarty jako iloczyn dwóch zbiorów otwartych (zobacz
uwaga 33 (d)), więc znajdziemy niepusty zbiór otwarty V1 o średnicy mniejszej niż
1
taki, że Cl(V1 ) ⊂ V0 ∩ G1 .
1
I dalej, ponieważ zbiór V1 ∩ G2 jest niepusty (gdyż G2 jest gęsty – zob. twierdzenie 51 (a)) i otwarty jako
iloczyn dwóch zbiorów otwartych (zobacz uwaga 33 (d)), więc znajdziemy niepusty zbiór otwarty V2 o średnicy
mniejszej niż
1
taki, że Cl(V2 ) ⊂ V1 ∩ G2 . Postępując tak dalej i biorąc niepusty zbiór otwarty Vn−1 ∩ Gn
2
znajdziemy niepusty zbiór otwarty Vn o średnicy mniejszej niż
1
taki, że Cl(Vn ) ⊂ Vn−1 ∩ Gn . A zatem istnieje
n
ciąg {Vn } niepustych zbiorów otwartych taki, że
Cl(Vn ) ⊂ Vn−1 ∩ Gn i diam(Vn ) <
1
dla n = 1,2,3, K
n
∞
Niech K = I Cl(Vn ) . Ponieważ zbiory Cl(Vn ) są niepuste (gdyż Vn są niepuste), domknięte (zob. uwaga 28
n=1
(c)), o średnicach tworzących ciąg zbieżny do zera (gdyż diam(Cl(Vn )) = diam(Vn ) <
1
) oraz zstępujące (gdyż
n
Cl(Vn ) ⊂ Vn−1 ∩ Gn ⊂ Vn−1 ⊂ Cl(Vn−1 ) , n ∈ N ), więc na mocy twierdzenia Cantora (zob. twierdzenie 72) zbiór K
jest jednopunktowy, skąd niepusty. Dostajemy zatem
∞
∞
∞
∞
∞
n =1
n=1
n =1
n =1
n =1
∅ ≠ K = I Cl(Vn ) ⊂ I Vn−1 ∩ Gn = I Vn−1 ∩ I Gn ⊂ V0 ∩ I Gn ,
∞
i po skorzystaniu z twierdzenie 51 (a), zbiór
IG
n
jest gęsty w X .
n=1
(b) Niech F1 , F2 , F3 ,K będą zbiorami domkniętymi i brzegowymi w przestrzeni X . Musimy pokazać, że zbiór
∞
UF
n
jest brzegowy w przestrzeni X . Rozważmy zbiory: X \ F1 , X \ F2 , X \ F3 , K Oczywiście są one otwarte
n=1
(jako dopełnienia zbiorów domkniętych) i gęste w przestrzeni X , gdyż
Cl( X \ Fn ) = X \ Int( X \ ( X \ Fn )) = X \ Int(Fn ) = X \ ∅ = X , dla n = 1,2,3, K
(zob. twierdzenie 31).
∞
Korzystając teraz z (a) zbiór
I ( X \ F ) jest gęsty w
n
X , a stąd
n =1
∞


∞

Cl X \ U Fn  = Cl I ( X \ Fn ) = X ,
n=1


 n=1

∞
co wobec definicji 35 zbioru brzegowego pokazuje, że
UF
n
jest zbiorem brzegowym w przestrzeni X .
n=1
Definicja 74 (zbiorów typu Gδ i Fσ )
Zbiór, który można przedstawić w postaci sumy przeliczalnej ilości zbiorów domkniętych, nazywamy zbiorem
typu Fσ , a zbiór który można przedstawić w postaci iloczynu przeliczalnej ilości zbiorów otwartych, nazywamy
4
zbiorem typu Gδ .
Przykład 75 (zbiory typu Gδ i Fσ )
(a) Łatwo zauważyć, że każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej R postaci (a, b) , (a, b] , [a, b) lub [a, b] ,
gdzie a, b ∈ R i a < b , jest zarówno zbiorem typu Fσ jaki i Gδ .
(b) Pokażemy, że zbiór liczb wymiernych Q jest zbiorem typu Fσ , a zbiór liczb niewymiernych IQ jest
zbiorem typu Gδ , jeśli zbiory te rozpatrywane są jako podzbiory przestrzeni euklidesowej R . Ponieważ zbiór
liczb wymiernych Q jest zbiorem przeliczalnym, więc ustawiając go w ciąg q1 , q2 , q3 , K dostajemy
∞
Q=
U {q } . A ponieważ każdy ze zbiorów {q }
n
n
jest domknięty (gdyż jest jednopunktowy), to zbiór liczb
n =1
∞
∞
n =1
n=1
wymiernych Q jest zbiorem typu Fσ . I dalej, ponieważ IQ = R \ Q = R \ U {qn } = I [R \ {qn }] i zbiory
R \ {q n } są otwarte, to zbiór liczb niewymiernych IQ jest zbiorem typu Gδ .
(c) Wykorzystujac twierdzenie Baire’a można pokazać, że zbiór liczb niewymiernych IQ nie jest zbiorem typu
Fσ (a stąd, że zbiór liczb wymiernych Q nie jest zbiorem typu Gδ ). Istotnie, gdyby zbiór liczb niewymiernych
IQ był zbiorem typu Fσ , to byłby sumą przeliczalnej ilości zbiorów domkniętych, z których każdy byłby tak
naprawdę zbiorem brzegowym, gdyż sam zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem brzegowym. Ponieważ zaś
zbiór liczb wymiernych jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów jednopunktowych, czyli domniętych i
brzegowych, więc cała przestrzeń zupełna R (zob. przykład 71) dałaby się przedstawić jako suma przeliczalnej
ilości zbiorów domkniętych i brzegowych. Zgodnie z twierdzeniem Baire’a (zob. twierdzenie 73), byłaby ona
zbiorem brzegowym, tj. Int(R) = ∅ , a wiemy, że tak nie jest. A zatem zbiór liczb niewymiernych IQ nie jest
zbiorem typu Fσ , i co za tym idzie, zbiór liczb wymiernych Q nie jest zbiorem typu Gδ .
Kolejne twierdzenia podają pewne cechy, które charakteryzują przestrzenie metryczne zupełne i ich
podzbiory.
Twierdzenie 76
Jeżeli ( X , ρ ) jest przestrzenią metryczną zupełną, to każdy jej domknięty podzbiór M też stanowi przestrzeń
metryczną zupełną.
Dowód
Musimy pokazać, że przestrzeń metryczna (M , ρ ) jest zupełna, tj., że każdy ciąg punktów tej przestrzeni
spełniający warunek Cauchy’ego jest zbieżny (do punktu tej przestrzeni). Weźmy zatem dowolny ciąg {xn }
punktów przestrzeni M spełniający warunek Cauchy’ego. Oczywiście ciąg ten spełnia również warunek
Cauchy’ego w przestrzeni „szerszej”, tj. w przestrzeni ( X , ρ ) , a ponieważ jest to przestrzeń zupełna, więc
istnieje x ∈ X taki, że lim xn = x . Korzystając z twierdzenia 38 (a) x ∈ Cl( M ) , a ponieważ zbiór M jest
n →∞
domknięty, więc x ∈ M .
5
Twierdzenie 77
(X , ρ )
Niech
będzie dowolną przestrzenią metryczną, a
(M , ρ )
jej podprzestrzenią. Jeżeli
(M , ρ )
jest
przestrzenią zupełną, to M jest zbiorem domkniętym w X .
Dowód
Musimy pokazać, że M jest domknietym podzbiorem przestrzeni X , co wobec uwagi 28 (a) sprowadza się do
pokazania, że Cl( M ) ⊂ M . Weźmy zatem dowolny x ∈ Cl( M ) . Na mocy twierdzenia 38 (a) istnieje ciąg {xn }
punktów przestrzeni M taki, że lim xn = x . Ponieważ ciąg ten jest zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy’ego,
n →∞
a ponieważ przestrzeń metryczna (M , ρ ) jest zupełna, więc jest on zbieżny do pewnego punktu zbioru M , tj.
lim xn = y dla pewnego y ∈ M . Z jednoznaczności granicy w przestrzeni metrycznej ( X , ρ ) (zob. twierdzenie
n →∞
17 (b)) wnosimy teraz, że y = x , a ponieważ y ∈ M , to i x ∈ M . Inkluzja Cl( M ) ⊂ M zatem zachodzi, tj.
zbiór M jest domknięty w X .
Wniosek 78
Jeżeli ( X , ρ ) jest przestrzenią metryczną zupełną i M ⊂ X , to przestrzeń (M , ρ ) jest zupełna wtedy i tylko
wtedy, gdy M jest domkniętym podzbiorem przestrzeni X
.
Dowód
Wynika bezpośrednio z twierdzeń 76 i 77.
Uwaga 79
Uwzględniając wniosek 78 i przykład 71 dostajemy: podzbiór M przestrzeni euklidesowej R k stanowi
przestrzeń metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy M jest domkniętym podzbiorem tej przestrzeni.
Podamy teraz definicję odwzorowania zwężającego i punktu stałego, a po niej sformułujemy bardzo ważne w
zastosowaniach twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Definicja 80 (odwzorowania zwężającego i punktu stałego)
Funkcję f : X → Y , gdzie
( X , ρ1 )
i (Y , ρ 2 ) są przestrzeniami metrycznymi, nazywamy odwzorowaniem
zwężającym, jeśli istnieje liczba α ∈ (0,1) taka, że dla dowolnych punktów x1 , x2 ∈ X spełniona jest nierówność
ρ 2 ( f (x1 ), f (x2 )) ≤ αρ1 (x1 , x2 ) .
Punkt x ∈ X jest punktem stałym przekształcenia f : X → X , jeśli f (x ) = x .
Na koniec podamy bez dowodu (dowód można znaleźć w wielu pozycjach do analizy) jeszcze jedno bardzo
ważne w zastosowaniach twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Twierdzenie 81 (Banacha o punkcie stałym)
Jeżeli przestrzeń metryczna
(X , ρ )
jest zupełna i f : X → X jest odwzorowaniem zwężajacym, to f ma
dokładnie jeden punkt stały.
6