wyklad3 - Topologia 1 - xyzgeo

wyklad3.doc
(632 KB) Pobierz
Wykład 3
Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru.
Zbiory domknięte, otwarte i brzegowe.
Niech od tej pory, o ile nie założymy inaczej,
oznacza dowolną przestrzeń metryczną.
Definicja 25 (domknięcia zbioru i zbioru domkniętego)
Domknięciem zbioru
lub
. Oznaczać go będziemy symbolem
nazywamy zbiór
. A zatem
.
Ponadto powiemy, że zbiór
jest domknięty, dokładniej domknięty w przestrzeni
wszystkich zbiorów domkniętych w przestrzeni
oznaczać będziemy symbolem
, jeśli
. Zbiór
.
Przykład 26
(a) W przestrzeni euklidesowej
wynika, że
, np.
,
biorąc dowolny zbiór
można pokazać, że
podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest zbiorem domkniętym.
Następne twierdzenie podaje własności domknięcia zbioru.
Twierdzenie 27 (własności domknięcia zbioru)
zachodzą następujące warunki:
Dla dowolnych zbiorów
(a)
i
(b)
,
(d)
. Stąd w szczególności
jest zbiorem domkniętym (stąd też nazwa tego przedziału – przedział domknięty).
(b) W przestrzeni dyskretnej
(c) jeśli
i
,
, to
,
,
. To pokazuje, że każdy
(e)
,
(f)
.
Dowód
(a) Mamy
.
Ponadto
,
przy czym ostatnia równość wynika stąd, że
dla wszystkich
(b) Weźmy dowolny
.
. Ponieważ
przy każdym
i
i
, to również
,
przy każdym
(c) Weźmy dowolny
przy każdym
i
. To pokazuje, że
i tym samym, że
.
. Ponieważ
, to również
,
przy każdym
. To pokazuje, że
(d) Ponieważ
i tym samym, że
, więc korzystając z (c) mamy
i
oraz
,
skąd
(*)
.
Pokażemy inkluzję przeciwną. Weźmy dowolny
. Wówczas dla dowolnego
,
skąd
lub
,
a stąd
lub
.
.
Ostatecznie
i inkluzja
(**)
zachodzi. Z (*) i (**) dostajemy równość
(e) Ponieważ
.
, więc korzystając z (c), mamy
i
oraz
,
a stąd
.
(f) Ponieważ
, więc korzystając z (c), mamy
(*)
.
Pokażemy inkluzję przeciwną. Weźmy dowolny
. Wówczas dla dowolnego
.
taki, że
A zatem, istnieje
,
lub równoważnie
(**)
i
I dalej, z tego, że
.
, dla dowolnego
mamy
.
A zatem, istnieje
(***)
taki, że
i
.
Mamy teraz na mocy (**) i (***) i nierówności trójkąta dla
.
Otrzymaliśmy więc, że
i
, co oznacza, że
przy każdym
. Pokazaliśmy więc inkluzję
(****)
.
, a to pokazuje, że
Z (*) i (****) mamy równość
.

Uwaga 28
(a) Ponieważ
będzie domknięty, o ile tylko
(zob. twierdzenie 27 (b)), to zbiór
, tj. o ile zbiór
zawiera wszystkie swoje punkty z domknięcia.
(b) Zauważmy, że inkluzji z twierdzenia 27 (e) nie da się odwrócić, tj. inkluzja
nie zachodzi. Istotnie, jeśli w przestrzeni euklidesowej
rozważyć zbiory
na ogół
i
, to
.
(c) Zauważmy, że na mocy twierdzenia 27 (f) zbiór
jest zbiorem domkniętym.
(d) Zauważmy, że suma dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. Istotnie, jeśli
w
, tj. jeśli
i
oznacza, że zbiór
są domknięte
, a to właśnie
, to na mocy twierdzenia 27 (d)
jest domknięty. Korzystając z zasady indukcji matematycznej można pokazać więcej, a
mianowicie, że suma skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Definicja 29 (wnętrza zbioru i zbioru otwartego)
Wnętrzem zbioru
. Oznaczać go będziemy symbolem
nazywamy zbiór
lub
. A zatem
.
Powiemy, że zbiór
jest otwarty, dokładniej otwarty w przestrzeni
zbiorów otwartych w przestrzeni
oznaczać będziemy symbolem
, jeśli
. Zbiór wszystkich
.
Przykład 30
(a) W przestrzeni euklidesowej
wynika, że
, np.
,
i
. Stąd w szczególności
jest zbiorem otwartym (stąd też nazwa tego przedziału – przedział otwarty).
(b) W przestrzeni dyskretnej
biorąc dowolny zbiór
można pokazać, że
. To pokazuje, że każdy
podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest zbiorem otwartym.
Zachodzi następujące twierdzenie, ustalające związek pomiędzy domknięciem a wnętrzem zbioru.
Twierdzenie 31...
Plik z chomika:
xyzgeo
Inne pliki z tego folderu:





wyklad6(2).doc (516 KB)
wyklad6(2).pdf (132 KB)
wyklad7(2).doc (509 KB)
wyklad7(2).pdf (133 KB)
wyklad8(2).doc (615 KB)
Inne foldery tego chomika:

Informatyka
Liceum
 ParadygmatyDzienne
 ParadygmatyZaoczne
Seminarium Magisterskie z Informatyki


Zgłoś jeśli naruszono regulamin







Strona główna
Aktualności
Kontakt
Dla Mediów
Dział Pomocy
Opinie
Program partnerski




Regulamin serwisu
Polityka prywatności
Ochrona praw autorskich
Platforma wydawców
Copyright © 2012 Chomikuj.pl