Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2
Stanisław Spodzieja
Łódź 2004/2005
http://www.math.uni.lodz.pl/∼ kfairr/analiza/
Wstęp
Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej 1
i 2 jaki prowadziłem w latach 2002-2005 na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego. Pomyślana jest ona jako podręcznik analizy matematycznej dla studentów pierwszego
roku matematyki oraz zaawansowanych studentów innych specjalności.
Głównymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywiste i
funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. Wykład obejmuje podstawowe wiadomości z zakresu analizy matematycznej jednej zmiennej, począwszy od liczb rzeczywistych,
funkcji elementarnych, ciągów i szeregów liczbowych i funkcyjnych, ciągłości i różniczkowalności aż po całkę Riemanna. Zakładamy znajomość podstaw logiki i teorii mnogości
– między innymi pojęcie funkcji oraz podstawowe jej własności (obrazu, przeciwobrazu
itp.).
W tekście wykładu podane są zadania uzupełniające tekst główny. Na niektóre z nich
będziemy powoływać się w dalszej części tekstu.
W opracowaniu wykładu korzystałem z podręczników i monografii następujących autorów: J. Chądzyńskiego, G. M. Fichtenholza, F. M. Filipczaka, T. Krasińskiego, K. Kuratowskiego i A. Mostowskiego, F. Lei, S. Łojasiewicza, A. Mostowskiego i M. Starka,
W. Rudina, W. Sierpińskiego, wymienionych spisie literatury. Czytelnika pragnącego
pogłębić wiadomości z analizy matematycznej jednej zmiennej odsyłam do monografii
W. Rudina oraz G. M. Fichtenholza.
Pragnę przy tej okazji serdecznie podziękować Panu Profesorowi Jackowi Chądzyńskiemu, Pani Profesor Ewie Hensz-Chądzyńskiej, Pani Doktor Ludwice Kaczmarek oraz
Pani Annie Bąkowskiej za wiele cennych uwag, które wpłynęły na ulepszenie tekstu.
Stanisław Spodzieja
Łódź, czerwiec 2005 roku
4
Rozdział 1
Wiadomości wstępne
W dalszym ciągu wykładu zakładamy znajomość podstaw logiki matematycznej i teorii
mnogości. Dla ustalenia terminologii zbierzemy tutaj pewne wiadomości z tych dziedzin.
Przyjmujemy jako pojęcia pierwotne (1 ) pojęcie zbioru i relację przynależności elementu
do zbioru, tj. relację x ∈ A. Piszemy x 6∈ A, gdy x nie jest elementem zbioru A.
Piszemy x = y, gdy x i y oznaczają ten sam element. Jeśli x i y oznaczają różne
elementy, to piszemy x 6= y
Będziemy stosować następujące oznaczenia logiczne:
∼ dla negacji,
∨ dla alternatywy,
⇒ dla implikacji,
∀ dla kwantyfikatora ogólnego,
∧ dla koniunkcji,
⇔ dla równoważności,
∃ dla kwantyfikatora szczegółowego.
Teoria mnogości, czyli teoria zbiorów, opiera się na aksjomatach(2 ). Wychodząc od
aksjomatów można pokazać, że poniżej podane pojęcia są poprawnie określone.
Niech X będzie ustalonym zbiorem. Zbiór wszystkich elementów a ∈ X które spełniają
formułę(3 ) ϕ(x) oznaczamy {x : ϕ(x)}.
1
to znaczy układ pojęć, których nie definiujemy.
Aksjomatem nazywamy zdanie, przyjmowane w określonym systemie dedukcyjnym bez przeprowadzania dowodu prawdziwości, w którym sformułowane są niektóre własności pojęć pierwotnych. Układ
aksjomatów wraz z twierdzeniami stanowiącymi ich logiczną konsekwencję (tj. dającymi się z nich wywieść
na podstawie przyjętych reguł wnioskowania) tworzy system aksjomatyczny.
Dla ilustracji przypomnijmy niektóre aksjomaty teorii mnogości.
I. Aksjomat jednoznaczności. Jeśli zbiory A i B mają te same elementy, to A i B są identyczne.
II. Aksjomat zbioru pustego. Istnieje zbiór oznaczany symbolem ∅ taki, że dla żadnego x nie jest
x ∈ ∅.
III. Aksjomat sumy. Dla każdej rodziny zbiorów R istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które należą do jakiegoś zbioru X należącego do R.
IV. Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru A istnieje zbiór, którego elementami są
wszystkie podzbiory zbioru A.
V. Aksjomat wyboru. Dla każdej rodziny R zbiorów niepustych i rozłącznych istnieje zbiór, który
z każdym ze zbiorów rodziny R ma jeden i tylko jeden wspólny element.
VI. Aksjomat nieskończoności. Istnieje rodzina zbiorów R o następujących własnościach: ∅ ∈ R;
jeśli X ∈ R, to w R istnieje taki element Y , że elementami Y są wszystkie elementy zbioru X oraz sam
zbiór X.
3
Wyrażenie ϕ(x), które staje się zdaniem, gdy na miejsce zmiennej x podstawimy dowolną wartość
2
5
6
ROZDZIAŁ 1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Definicja inkluzji. Niech A, B będą zbiorami. Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru
B, jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Piszemy wówczas A ⊂ B lub
B ⊃ A i mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B. Stosunek ⊂ nazywamy stosunkiem
inkluzji.
Definicja różnicy zbiorów. Niech A, B ⊂ X. Różnicą zbiorów (4 ) A i B nazywamy
zbiór
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
Zbiór X \ A nazywamy dopełnieniem zbioru A.
Definicja pary uporządkowanej. Niech a, b ∈ X. Zbiór złożony z elementu a (i tylko
elementu a) oznaczamy {a}. Zbiór złożony z elementów a, b oznaczamy {a, b}. Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór {a, {a, b}} i oznaczamy (a, b).
Niech a, b, c, d ∈ X. Wówczas (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.
Definicja iloczynu kartezjańskiego. Niech A, B ⊂ X. Zbiór
{(a, b) : a ∈ A i b ∈ B}
nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy A × B.
Własność par uporządkowanych, nazywamy relacjami, dokładniej
Definicja relacji dwuczłonowej. Niech X, Y będą zbiorami. Relacją dwuczłonową nazywamy każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y .
Jeśli R ⊂ X × Y jest relacją, to dla każdego (x, y) ∈ R piszemy xRy i mówimy, że x
jest w relacji R z y.
Definicja relacji równoważności. Niech X będzie zbiorem. Relację R ⊂ X × X nazywamy relacją równoważności, gdy R spełnia warunki:
Zwrotność. Dla każdego x ∈ X, xRx,
Symetria. Dla każdych x, y ∈ X, (xRy ⇒ yRx).
Przechodniość. Dla każdych x, y, z ∈ X, (xRy ∧ yRz ⇒ xRz).
Definicja funkcji. Niech A, B ⊂ X będą zbiorami niepustymi. Funkcją przekształcającą
zbiór A w zbiór B nazywamy dowolny podzbiór F ⊂ A × B taki, że dla każdego a ∈ A
istnieje dokładnie jedno b ∈ B dla którego (a, b) ∈ F (5 ). Wtedy piszemy F : A → B.
Funkcję nazywamy również lub przekształceniem lub przyporządkowaniem.
Zbiór F nazywamy również wykresem funkcji F .
Elementy a ∈ A nazywamy argumentami funkcji F , zbiór A zaś – dziedziną funkcji F .
Zbiór B nazywamy przeciwdziedziną funkcji F .
ze zbioru X nazywamy formułą zdaniową. Mówimy, że element a ∈ X spełnia formułę ϕ(x), jeśli po
podstawieniu elementu a w miejsce zmiennej x, wyrażenie ϕ(x) staje siȩ zdaniem prawdziwym.
Twierdzenie A. Dla każdej formuły zdaniowej ϕ(x) i dla każdego zbioru A istnieje zbiór złożony z
tych i tylko tych elementów zbioru A, które spełniają tę formułę zdaniową.
4
Twierdzenie B. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są te i tylko te
elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B.
5
inaczej, dla każdego a ∈ A oraz każdych b, c ∈ B, jeśli (a, b) ∈ F i (a, c) ∈ F , to b = c.
7
Jeśli a ∈ A, to jedyny element b ∈ B taki, że (a, b) ∈ F nazywamy wartością funkcji
F w punkcie a i piszemy b = F (a).
Funkcje będziemy oznaczać literami F, f, ϕ.
Definicja obrazu. Niech F : A → B. Jeśli C ⊂ A, to zbiór
{b ∈ B : ∃a∈C b = F (a)}
nazywamy obrazem zbioru C i oznaczamy F (C).
Definicja zbioru wartości funkcji. Niech F : A → B. Zbiór F (A) nazywamy zbiorem
wartości funkcji F .
Definicja surjekcji.Niech F : A → B. Jeśli zbiór wartości funkcji F jest równy przeciwdziedzinie B, to mówimy, że funkcja F jest surjekcją lub jest funkcją ”na”.
Definicja przeciwobrazu. Niech F : A → B. Przeciwobrazem zbioru D ⊂ B nazywamy
zbiór
{a ∈ A : F (a) ∈ D}
i oznaczamy F −1 (D).
Definicja rodziny zbiorów. Niech dane będą zbiory niepuste X, S i niech każdemu
elementowi s ∈ S będzie przyporządkowany zbiór As ⊂ X. Zbiór
{As : s ∈ S}
(zawarty w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru X) nazywamy rodziną zbiorów lub rodziną podzbiorów złożoną ze wszystkich zbiorów As , gdzie s ∈ S. Zbiór S nazywamy zbiorem
wskaźników.
Definicja sumy i iloczynu rodziny zbiorów. Niech R będzie rodziną podzbiorów
ustalonego zbioru X. Zbiór
{x ∈ X : ∃A∈R x ∈ A}
nazywamy sumą rodziny(6 ) R i oznaczamy
S
A∈R
A. Zbiór
{x ∈ X : ∀A∈R x ∈ A}
nazywamy iloczynem (7 ) lub częścią wspólną rodziny R i oznaczamy A∈R A. Jeśli R =
S
T
{As : s ∈ S}, to sumę tej rodziny zapisujemy s∈S As oraz iloczyn zapisujemy s∈S As .
Niech A, B ⊂ X będą zbiorami. Sumę zbiorów A, B (tzn. sumę rodziny {A, B})
oznaczamy A ∪ B. Iloczyn zbiorów A, B oznaczamy A ∩ B. Jeśli A ∩ B = ∅, to zbiory
A, B nazywamy rozłącznymi.
T
W teorii mnogości dowodzi się następujących własności obrazu i przeciwobrazu.
6
7
Istnienie sumy wynika z Aksjomatu III.
Istnienie iloczynu wynika z twierdzenia B i Aksjomatu III.
8
ROZDZIAŁ 1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Twierdzenie 1. Niech f : X → Y . Dla dowolnych podzbiorów A, B, As , gdzie s ∈ S,
zbioru X mamy:
(a)
(A ⊂ B) ⇒ (f (A) ⊂ f (B)),
(b) A ⊂ f −1 (f (A)),
S
(c) f (
s∈S
T
(d) f (
s∈S
As ) =
S
As ) ⊂
T
s∈S
s∈S
f (As ),
f (As ).
Twierdzenie 2. Niech f : X → Y . Dla dowolnych podzbiorów C, D, Cs , gdzie s ∈ S,
zbioru Y mamy:
(a)
(C ⊂ D) ⇒ (f −1 (C) ⊂ f −1 (D)),
(b) f −1 (C \ D) = f −1 (C) \ f −1 (D),
(c) f (f −1 (C)) ⊂ C oraz f (f −1 (C)) = C, gdy C ⊂ f (X),
(d) f −1 (
s∈S
Cs ) =
S
(e) f −1 (
s∈S
Cs ) =
T
S
T
s∈S
f −1 (Cs ),
s∈S
f −1 (Cs ),
Definicja funkcji identyczność. Funkcję id A : A → A określoną wzorem id A (x) = x
dla x ∈ A nazywamy identycznością na zbiorze A.
Definicja obcięcia funkcji. Jeśli f : X → Y jest funkcją i A ⊂ X – zbiorem niepustym,
to funkcję g : A → Y określoną wzorem g(x) = f (x) dla x ∈ A nazywamy obcięciem lub
zawężeniem funkcji f do zbioru A i oznaczamy f |A .
Definicja złożenia funkcji. Jeśli f : X → Y oraz g : Z → W są funkcjami oraz
f (X) ⊂ Z, to funkcję h : X → W określoną wzorem h(x) = g(f (x)) dla x ∈ X nazywamy
złożeniem funkcji f i g i oznaczamy g ◦f . Wtedy funkcję f nazywamy wewnętrzną, funkcję
g zaś zewnętrzną złożenia g ◦ f .
Definicja funkcji różnowartościowej. Mówimy, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa lub jest injekcją, gdy dla każdych a, b ∈ X, a 6= b zachodzi f (a) 6= f (b).
Definicja bijekcji. Funkcję f nazywamy bijekcją, gdy jest injekcją i surjekcją (tzn. jest
różnowartościowa i ”na”).
Definicja funkcji odwrotnej. Mówimy, że funkcja f : X → Y jest odwracalna, gdy
istnieje funkcja g : Y → X taka, że dla każdego (x, y) ∈ X × Y zachodzi
y = f (x) ⇔ x = g(y).
Wtedy funkcję g nazywamy odwrotną do f i oznaczamy f −1 .
Wprost z definicji funkcji odwracalnej mamy:
Twierdzenie 3. Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
Twierdzenie 4. Funkcja f : X → Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
funkcja g : Y → X taka, że g ◦ f = id X oraz f ◦ g = id Y .
Rozdział 2
Liczby rzeczywiste
Podstawowymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywiste
i funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. W rozdziale tym określimy liczby
rzeczywiste drogą aksjomatyczną (1 ) następnie wyodrębnimy liczby całkowite, wymierne
i niewymierne (por. na przykład [8]). Założymy, że istnieje pewien zbiów R, w którym
określamy dwa działania i relację mniejszości które spełniają pewne własności (aksjomaty). Całą dalszą wiedzę o liczbach rzeczywistych będziemy opierać na tych wyróżnionych
własnościach. W punkcie 2.3 podamy definicję zbioru liczb naturalnych. Nie wykażemy
jednak istnienia tego zbioru. Zagadnienie to jest dość trudne, wymaga bowiem stosowania
zaawansowanych technik logicznych. Na koniec tego rozdziału podamy definicję rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych.
2.1
Aksjomaty liczb rzeczywistych
Zakładamy, że istnieje zbiór, który będziemy oznaczać literą R i nazywać zbiorem liczb
rzeczywistych, elementy tego zbioru zaś będziemy nazywać liczbami rzeczywistymi. Zakładamy, że w zbiorze R określone są działania dodawania ”+” i mnożenia ”·”, czyli funkcje
+ : R × R → R, · : R × R → R oraz relacja mniejszości <, które spełniają następujące
własności zwane aksjomatami:
I. Aksjomaty ciała(2 ).
1 (Łączność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y, z ∈ R,
x + (y + z) = (x + y) + z,
x · (y · z) = (x · y) · z.
2. (Przemienność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y ∈ R,
x · y = y · x.
x + y = y + x,
3. (Rozdzielność mnożenia względem dodawania). Dla każdych x, y, z ∈ R,
x · (y + z) = (x · y) + (x · z).
1
Liczby rzeczywiste można również określić, przyjmując za znane pojęcie liczb wymiernych i przy ich
pomocy definiować liczby rzeczywiste (patrz na przykład [10], [17]).
2
Struktury algebraiczne spełniające ten układ aksjomatów nazywamy ciałami.
9
10
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
4. (Istnienie elementów neutralnych działań). Istnieją różne elementy 0, 1 ∈ R takie,
że dla każdego x ∈ R,
1 · x = x.
0 + x = x,
5. (Istnienie różnicy i ilorazu). Dla każdych x, y ∈ R, istnieje z ∈ R taka, że
y = x + z.
Dla każdych x, y ∈ R, x 6= 0, istnieje z ∈ R taka, że
y = x · z.
II. Aksjomaty porządku.
1. (Spójność relacji mniejszości). Dla każdych x, y ∈ R takich, że x 6= y zachodzi
x<y
lub y < x.
2. (Przechodzniość relacji mniejszości). Dla każdych x, y, z ∈ R,
jeśli x < y
i y < z,
to x < z.
3. (Antysymetria relacji mniejszości). Dla każdych x, y ∈ R,
jeśli x < y
to nie zachodzi y < x.
III. Aksjomaty związku między działaniami i relacją mniejszości.
1. Dla każdych x, y, z ∈ R, jeśli x < y, to x + z < y + z.
2. Dla każdych x, y, z ∈ R, 0 < z, jeśli x < y, to x · z < y · z.
IV. Aksjomat ciągłości (zasada ciągłości Dedekinda).
1.
1)
2)
3)
4)
Zbioru R nie można przedstawić w postaci sumy zbiorów A ∪ B takich, że
A 6= ∅, B 6= ∅,
dla każdych a ∈ A, b ∈ B zachodzi a < b,
dla każdego a ∈ A istnieje ã ∈ A, że a < ã,
dla każdego b ∈ B istnieje b̃ ∈ B, że b̃ < b.
Uwaga 2.1.1. Z Aksjomatu I.4 wynika, że R jest zbiorem niepustym. Można udowodnić,
że powyższe aksjomaty jednoznacznie charakteryzują zbiór liczb rzeczywistych oraz, że nie
są nawzajem sprzeczne (również po dołączeniu aksjomatów teorii mnogości).
Definicja zera i jedynki. Liczbę 0 nazywamy zerem. Liczbę 1 nazywamy jedynką.
Własność 2.1.2. W R istnieje dokładnie jedno zero i dokładnie jedna jedynka.
Dowód. Istotnie, jeśli pewne 00 i 10 spełniają Aksjomat I.4, to
00 = 0 + 00 = 00 + 0 = 0
To kończy dowód.
oraz
10 = 1 · 10 = 10 · 1 = 1.
Definicja elementu przeciwnego. Niech x ∈ R. Element z ∈ R taki, że 0 = x + z
nazywamy elementem przeciwnym do x i oznaczamy −x.
Definicja elementu odwrotnego. Niech x ∈ R, x 6= 0. Element z ∈ R taki, że 1 = x · z
nazywamy elementem odwrotnym do x i oznaczamy 1/x lub x1 .
2.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH
11
Własność 2.1.3. (a) Każdy x ∈ R ma dokładnie jeden element przeciwny.
(b) Każdy x ∈ R, x 6= 0 ma dokładnie jeden element odwrotny.
Dowód. Udowodnimy (a). Część (b) dowodzi się analogicznie. Weźmy x ∈ R. Z Aksjomatu I.5 wynika istnienie z ∈ R takiego, że 0 = x + z. Jeśli z̃ ∈ R również spełnia ten
warunek, to z aksjomatów mamy
z = z + 0 = z + (x + z̃) = (z + x) + z̃ = 0 + z̃ = z̃,
co należało udowodnić.
Definicja sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Niech x, y ∈ R.
Wynik działania dodawania x + y nazywamy sumą x i y a liczby x, y nazywamy
składnikami tej sumy.
Wynik działania mnożenia x · y nazywany iloczynem x i y a liczby x, y nazywamy
czynnikami tego iloczynu.
Liczbę z ∈ R taką, że y = x + z nazywamy różnicą y i x.
Jeśli x 6= 0, to liczbę z ∈ R taką, że y = x · z nazywamy ilorazem y przez x.
Definicja odejmowania. Odejmowaniem nazywamy działanie − : R × R → R określone
wzorem
x − y = x + (−y)
dla x, y ∈ R.
Definicja dzielenia. Dzieleniem nazywamy działanie :: R × (R \ {0}) → R określone
wzorem
x : y = x · (1/y)
dla x, y ∈ R, y 6= 0.
Własność 2.1.4. (a) Dla dowolnych x, y ∈ R istnieje dokładnie jedna różnica x i y równa
x − y.
(b) Dla dowolnych x, y ∈ R, y 6= 0 istnieje dokładnie jeden iloraz x przez y równy
x : y.
Dowód. Ad. (a) Niech x, y ∈ R oraz z, z̃ ∈ R będą różnicami x i y, czyli x = y + z,
x = y+z̃. Z własności 2.1.3(a) liczba −y jest określona jednoznacznie, zatem z aksjomatów
mamy
z = ((−y) + y) + z = (−y) + (y + z) = (−y) + x = (−y) + (y + z̃) = z̃,
czyli różnica x i y jest dokładnie jedna. Różnica x i y jest równa x − y, gdyż
y + (x − y) = y + (x + (−y)) = (y + (−y)) + x = x.
Część (b) dowodzimy analogicznie.
Własność 2.1.5. Dla każdego x ∈ R mamy 0 · x = x · 0 = 0.
12
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Dowód. Ponieważ
0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x,
więc 0 · x jest różnicą 0 · x i 0 · x, czyli 0 · x = 0 (własność 2.1.4(a)).
Własność 2.1.6. W R nie ma dzielników zera, to znaczy jeśli dla x, y ∈ R zachodzi
x · y = 0, to x = 0 lub y = 0.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieją x 6= 0, y 6= 0 takie, że x · y = 0. Wówczas
z Aksjomatu I.5 istnieją z, w ∈ R takie, że 1 = xz, 1 = yw. Zatem z Aksjomatów I.1 i I.2
i własności 2.1.5 mamy
1 = 1 · 1 = (x · z) · (y · w) = (x · y) · (z · w) = 0 · (z · w) = 0,
co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4.
W dalszym ciągu tradycyjnie znak mnożenia ”·” będziemy opuszczać i pisać xy zamiast
x · y, oraz zamiast x : y będziemy pisać x/y lub xy .
Przyjmujemy, że działania mnożenia i dzielenia mają pierwszeństwo przed działaniami
dodawania i odejmowania.
Często piszemy y > x zamiast x < y.
Definicja relacji nierówności. Relację x < y nazywamy nierównością i mówimy x jest
mniejsze od y lub y jest większe od x.
Własność 2.1.7. Dla dowolnych x, y ∈ R zachodzi dokładnie jeden z poniższych warunków:
x = y,
x < y,
y < x.
Dowód. Na mocy Aksjomatu II.1 co najmniej jeden z tych warunków musi zachodzić.
Przypuśćmy, że zachodzą co najmniej dwa warunki. Pokażemy, że wówczas x < x.
Jeśli zachodzi x < y i y < x, to z Aksjomatu II.2 mamy x < x.
Jeśli zachodzi x = y i x < y (ewentualnie y < x), to mamy x < x.
Pokazaliśmy w każdej sytuacji, że z przypuszczenia, wynika że zachodzi x < x. Stąd i z
Aksjomatu II.3 mamy, że nie zachodzi x < x. Otrzymana sprzeczność daje tezę.
Własność 2.1.8. 0 < 1.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że 1 < 0. Wówczas z Aksjomatu III.1,
1 + (−1) < 0 + (−1)
i w konsekwencji z Aksjomatu I.4 mamy 0 < (−1). Stosując teraz Aksjomat III.2 i własność 2.1.5 dostajemy
−1 = (−1) · 1 < 0 · (−1) = 0, czyli −1 < 0.
To wraz z poprzednim daje, że 0 < (−1) oraz −1 < 0, co w myśl własności 2.1.7 jest
niemożliwe.
2.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH
13
Wniosek 2.1.9. Niech x ∈ R. Wówczas zachodzą następujące:
(a)
x<0
wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < −x.
(b) Jeśli x 6= 0, to
x > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 0.
(c) Jeśli x > 0, to
x < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 1.
Dowód. Ad. (a) ⇒. Załóżmy, że x < 0. Wówczas z Aksjomatu II.1 mamy
0 = x + (−x) < 0 + (−x) = −x,
więc
0 < −x.
⇐. Analogicznie jak powyżej, zakładając że 0 < −x, mamy
x = 0 + x < (−x) + x = 0,
więc
x < 0.
Ad. (b) ⇒. Załóżmy, że x > 0. Pokażemy, że 1/x > 0. Przypuśćmy przeciwnie, że
nierówność 1/x > 0 nie zachodzi. Wówczas, wobec własności 2.1.7, 1/x = 0 lub 1/x < 0.
Jeśli 1/x = 0, to z własności 2.1.5 mamy
1 = (1/x) · x = 0 · x = 0,
co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4.
Jeśli 1/x < 0, to z Aksjomatu III.2 i własności 2.1.5 dostajemy
1 = (1/x) · x < 0 · x = 0,
co jest sprzeczne z własnością 2.1.8 i 2.1.7.
Doszliśmy do sprzeczności, a więc przypuszczenie było fałszywe. Zatem 1/x > 0.
⇐. Załóżmy, że 1/x > 0. Pokażemy, że x > 0. Przypuszczając przeciwnie, że x < 0
(gdyż z założenia, x 6= 0) mamy
1 = (1/x) · x < (1/x) · 0 = 0,
co jest niemożliwe. Zatem musi zachodzić x > 0.
Ad. (c) ⇒. Załóżmy, że 0 < x < 1. Pokażemy, że 1/x > 1. Przypuśćmy przeciwnie, że
1/x = 1 lub 1/x < 1.
Jeśli 1/x = 1, to
x = (1/x) · x = 1,
co jest sprzeczne z założeniem, że x < 1.
Jeśli 1/x < 1, to z Aksjomatu III.2 dostajemy
1 = (1/x) · x < 1 · x = x < 1,
co jest niemożliwe.
Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić 1/x > 1.
⇐. Załóżmy, że 1/x > 1. Pokażemy, że x < 1. Przypuśćmy przeciwnie, że x = 1 lub
x > 1.
Jeśli x = 1, to
1 = (1/x) · x = 1/x > 1,
co jest niemożliwe.
Jeśli x > 1, to
1 = x · (1/x) > 1 · (1/x) > 1,
14
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
co jest niemożliwe.
Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić x < 1.
Definicja . Przyjmujemy następujące oznaczenia
2 = 1 + 1,
3 = 2 + 1,
7 = 6 + 1,
4 = 3 + 1,
8 = 7 + 1,
5 = 4 + 1,
9 = 8 + 1,
6 = 5 + 1,
10 = 9 + 1.
Własność 2.1.10. Dla każdych x, y ∈ R takich, że x < y istnieje z ∈ R, że x < z < y.
Dowód. Z własności 2.1.8 i Aksjomatów I.4., II.2. oraz III.1. mamy
0 < 1 = 0 + 1 < 1 + 1 = 2,
czyli
0 < 2.
Zatem, z własności 2.1.9(b) mamy 1/2 > 0.
Wykażemy, że liczba z = (x + y)/2 spełnia tezę własności. Istotnie, z Aksjomatu III.1,
x + x < x + y,
czyli
2x < x + y.
Ponieważ 1/2 > 0, więc z Aksjomatu III.2 mamy
x < (x + y)/2 = z.
(2.1)
Podobnie mamy x + y < 2y i dalej z = (x + y)/2 < y. Stąd i z (2.1) dostajemy tezę.
Definicja relacji 6. W R określamy relację 6 w następujący sposób: dla dowolnych
x, y ∈ R,
x6y
wtedy i tylko wtedy, gdy x < y
lub x = y.
Piszemy również y > x zamiast x 6 y i mówimy x jest niewiększe od y lub y jest niemniejsze od x.
Definicja modułu liczby. Wartością bezwzględną lub modułem liczby x ∈ R nazywamy
liczbę |x| ∈ R określoną następująco:

 x,
|x| =
−x,
gdy x > 0,
gdy x < 0.
Definicja . Liczbę x ∈ R nazywamy dodatnią, gdy x > 0. Zbiór R+ = {x ∈ R : x > 0}
nazywamy zbiorem liczb dodatnich.
Liczbę x ∈ R nazywamy ujemną, gdy x < 0. Zbiór R− = {x ∈ R : x < 0} nazywamy
zbiorem liczb ujemnych.
Liczbę x ∈ R nazywamy nieujemną, gdy x > 0. Zbiór R0+ = {x ∈ R : x > 0}
nazywamy zbiorem liczb nieujemnych.
Liczbę x ∈ R nazywamy niedodatnią, gdy x 6 0. Zbiór R0− = {x ∈ R : x 6 0}
nazywamy zbiorem liczb niedodatnich.
Definicja przedziału. Jeśli a, b ∈ R oraz a < b, to zbiory
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, [a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b},
2.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH
15
[a, b) = {x ∈ R : a 6 x < b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b}
nazywamy przedziałami o końcach a, b.
Przedziały typu (a, b) nazywamy otwartymi, typu zaś [a, b] domkniętymi.
Liczbę b − a > 0 nazywamy długością przedziału o końcach a i b. Długość przedziału
P oznaczamy |P |.
Uwaga 2.1.11. Przedział otwarty oznaczamy tak samo jak parę uporządkowaną. Nie powinno to prowadzić do nieporozumień. Używając oznaczenia (a, b), z kontekstu, będzie
jasne, co przez to rozumiemy.
Definicja znaku liczby. Znakiem lub signum liczby x ∈ R nazywamy liczbę sgn (x) ∈ R
określoną następująco:


gdy x > 0,

 1,
sgn (x) = −1,
gdy x < 0,


0,
gdy x = 0.
ZADANIA
Zadanie 2.1.1. Dla dowolnych x, y, z, w ∈ R mamy:
1
1. −(−x) = x,
1
x
= x, gdy x 6= 0.
2. −x = (−1)x.
w
z
3.
x
y
4.
xz
yz
= xy ,
5.
x
y
w
z
6.
xw
y z
=
+
=
⇐⇒ xz = yw,
=
gdy
xz+yw
;
yz
xw
,
yz
gdy
gdy
y, z 6= 0.
y, z 6= 0.
x
y
−
w
z
=
xz−yw
,
yz
y, z 6= 0;
x
y
:
w
z
=
gdy
y, z 6= 0.
xz
,
yw
gdy
Zadanie 2.1.2. Niech x, y, z, w ∈ R.
1. Jeśli x 6 y i y 6 x, to x = y.
2. Jeśli x > 0 i y > 0, to xy > 0.
3. Jeśli x < y i z 6 w, to x + z < y + w.
4. Jeśli x 6 y i z 6 w, to x + z 6 y + w.
5. Jeśli x > 0 i y < z, to y/x < z/x.
6. Jeśli x < 0, to 1/x < 0.
7. Jeśli x < 0 i y < z, to yx > zx oraz y/x > z/x.
8. Jeśli x 6= 0, to xx > 0.
9. Jeśli 0 < x < y, to 0 < 1/y < 1/x.
y, z, w 6= 0.
16
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Zadanie 2.1.3. Niech x ∈ R. Dla dowolnego ε > 0,
1. |x| < ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε < x < ε,
2. |x| > ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε > x lub x > ε.
Zadanie 2.1.4. Dla dowolnych x, y ∈ R mamy:
1. |x| > 0.
2. |xy| = |x||y|;
|x|
|y|
3. |x + y| 6 |x| + |y|,
= | xy |,
gdy y 6= 0.
|x − y| > ||x| − |y||.
Zadanie 2.1.5. Dla dowolnego x 6= 0 zachodzi sgn (x) =
2.2
|x|
.
x
Kresy
W punkcie tym przedstawimy ważne konsekwencje aksjomatu ciągłości.
Definicja zbioru ograniczonego. Niech E ⊂ R.
Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M ∈ R taka, że dla
każdego x ∈ E zachodzi x 6 M . Każdą taką liczbę M nazywamy ograniczeniem górnym
zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z góry.
Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy istnieje liczba m ∈ R taka, że dla
każdego x ∈ E zachodzi x > m. Każdą taką liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym
zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z dołu.
Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy E jest ograniczony z góry i z dołu. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym.
Definicja kresu górnego i dolnego zbioru. Niech E ⊂ R.
Liczbę M ∈ R spełniającą warunki:
1) M jest ograniczeniem górnym zbioru E,
2) dla każdego M 0 < M istnieje x ∈ E, takie że x > M 0 ,
nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy sup E.
Liczbę m ∈ R spełniającą warunki:
1) m jest ograniczeniem dolnym zbioru E,
2) dla każdego m0 > m istnieje x ∈ E, takie że x < m0 ,
nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy inf E.
Uwaga 2.2.1. W myśl przyjętych definicji, zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z góry
nie mają kresów górnych. Analogicznie zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z dołu nie
mają kresów dolnych. Na końcu tego rozdziału rozszerzymy zbiór liczb rzeczywistych w ten
sposób, że wszystkie zbiory będą miały kresy górny i dolny.
2.2. KRESY
17
Definicja maksimum i minimum zbioru. Niech E ⊂ R.
Element x0 ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x 6 x0 nazywamy elementem
maksymalnym zbioru E lub maksimum zbioru E lub elementem największym zbioru E i
oznaczamy max E.
Element x0 ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x > x0 nazywamy elementem
minimalnym zbioru E lub minimum zbioru E lub elementem najmniejszym zbioru E i
oznaczamy min E.
Uwaga 2.2.2. Z własności 2.1.7 dostajemy natychmiast, że jeśli zbiór E ⊂ R ma maksimum, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Analogiczna uwaga zachodzi dla minimum,
kresu górnego i dolnego.
Dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Własność 2.2.3. Jeśli x, y ∈ R, to
max{x, y} =
x + y |x − y|
+
2
2
oraz
min{x, y} =
x + y |x − y|
−
.
2
2
W tym punkcie udowodnimy, że każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny. Zanim przejdziemy do tego faktu wprowadźmy pojęcie przekroju
Dedekinda i udowodnimy jeden lemat.
Definicja przekroju Dedekinda. Niech A, B ⊂ R. Parę zbiorów (A, B) nazywamy
przekrojem Dedekinda, gdy spełnione są warunki:
1) A 6= ∅,
B 6= ∅,
2) A ∪ B = R,
3) dla każdego x ∈ A oraz każdego y ∈ B zachodzi x < y.
Lemat 2.2.4. Jeśli (A, B) jest przekrojem Dedekinda, to albo istnieje max A albo istnieje
min B.
Dowód. Pokażemy najpierw, że istnieje max A lub istnieje min B. Przypuśćmy przeciwnie, że nie istnieje max A i nie istnieje min B. Wówczas, z definicji maksimum i minimum, dla każdego a ∈ A istnieje ã ∈ A, że a < ã oraz dla każdego b ∈ B istnieje b̃ ∈ B, że
b̃ < b. To, wraz z określeniem przekroju Dedekinda daje sprzeczność z Aksjomatem IV.1
(zasada ciągłości Dedekinda).
Do zakończenia dowodu wystarczy teraz pokazać, że max A i min B nie mogą istnieć
jednocześnie. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje max A i istnieje min B. Wówczas z definicji maksimum i minimum oraz z warunku 3) definicji przekroju Dedekinda dostajemy,
że max A < min B. Stąd, na mocy własności 2.1.10 dostajemy, że istnieje z ∈ R takie,
że max A < z < min B. W szczególności z 6∈ A oraz z 6∈ B. To przeczy warunkowi 2)
definicji przekroju Dedekinda.
Twierdzenie 2.2.5. (o istnieniu kresu górnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym
i ograniczonym z góry, to istnieje kres górny zbioru E.
18
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Dowód. Niech A = {a ∈ R : istnieje x ∈ E, że a < x} oraz B = R \ A. Z określenia
zbiorów A i B wynika, że każdy b ∈ B jest ograniczeniem górnym zbioru E. Pokażemy
najpierw, że (A, B) jest przekrojem Dedekinda, tzn. spełnia warunki 1), 2), 3) definicji
przekroju Dedekinda.
Ad 1) Ponieważ E 6= ∅, więc istnieje x ∈ E. Ponieważ x − 1 < x, więc x − 1 ∈ A i
A 6= ∅. Ponieważ E jest ograniczony z góry, więc istnieje b ∈ R takie, że x 6 b dla każdego
x ∈ E. Zatem b 6∈ A i w konsekwencji b ∈ B, czyli B 6= ∅.
Ad 2) Z określenia zbiorów A i B mamy A ∪ B = R.
Ad 3) Niech a ∈ A, b ∈ B. Z określenia zbioru A dostajemy, że istnieje x ∈ E, że
a < x. Ponieważ b jest ograniczeniem górnym zbioru E, więc x 6 b, zatem a < b.
Reasumując, (A, B) jest przekrojem Dedekinda. W konsekwencji, z lematu 2.2.4 albo
istnieje max A albo istnieje min B. Pokażemy teraz, że nie istnieje max A. Przypuśćmy
przeciwnie, że istnieje max A. Wówczas max A ∈ A i z określenia zbioru A mamy, że
istnieje x ∈ E, że max A < x. Na mocy własności 2.1.10 istnieje c ∈ R takie, że max A <
c < x. Zatem c ∈ A. To jest niemożliwe, gdyż max A < c. Pokazaliśmy więc, że nie istnieje
max A oraz istnieje min B.
Pokażemy na koniec, że min B jest kresem górnym zbioru E. Ponieważ min B ∈ B,
więc min B jest ograniczeniem górnym zbioru E. Weźmy dowolne M 0 < min B. Wówczas
M 0 6∈ B, więc M 0 ∈ A. Zatem z określenia zbioru A istnieje x ∈ E takie, że M 0 < x.
Pokazaliśmy więc, że min B spełnia warunki 1) i 2) definicji kresu górnego, czyli sup E =
min B.
Analogicznie jak twierdzenie 2.2.5 dowodzimy
Twierdzenie 2.2.6. (o istnieniu kresu dolnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym
i ograniczonym z dołu, to istnieje kres dolny zbioru E.
Z definicji maksimum i minimum zbioru dostajemy natychmiast
Własność 2.2.7. Niech E ⊂ R.
(i) Jeśli zbiór E posiada maksimum, to również posiada kres górny i sup E = max E.
(ii) Jeśli zbiór E posiada minimum, to również posiada kres dolny i inf E = min E.
Definicja . Niech E, F ⊂ R, E 6= ∅, F 6= ∅. Przyjmujemy następujące oznaczania:
−E = {x ∈ R : −x ∈ E}.
E + F = {x ∈ R : x = y + z, y ∈ E, z ∈ F }.
E · F = {x ∈ R : x = yz, y ∈ E, z ∈ F }.
Dowody następujących dwóch własności pozostawiamy czytelnikowi.
Własność 2.2.8. Niech E, F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.
(a) Wówczas inf(−E) = − sup E.
(b) Jeśli E ⊂ F , to sup E 6 sup F .
(c) Jeśli dla dowolnego x ∈ E istnieje y ∈ F , że x 6 y, to sup E 6 sup F .
2.3. LICZBY NATURALNE
19
Własność 2.2.9. Jeśli E ⊂ R jest niepusty i ograniczony, to:
(a) inf E 6 sup E.
(b) równość inf E = sup E zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy E jest zbiorem jednoelementowym.
Własność 2.2.10. Niech E, F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.
(a) Wówczas sup(E + F ) = sup E + sup F .
(b) Jeśli E, F ⊂ R+ , to sup(E · F ) = sup E · sup F .
(c) Jeśli a ∈ R+ , to sup({a} · F ) = a sup F .
Dowód. Z twierdzenia 2.2.5 mamy, że istnieją sup E i sup F .
Ad. (a) Niech M = sup E + sup F . Weźmy dowolny x ∈ E + F . Wówczas x = y + z,
gdzie y ∈ E, z ∈ F . Ponieważ y 6 sup E i z 6 sup F , więc y + z 6 M . Zatem M jest
ograniczeniem górnym zbioru E + F . Weźmy dowolny M 0 < M . Wówczas M 0 − sup E <
sup F , więc istnieje z ∈ F , że M 0 − sup E < z, czyli M 0 − z < sup E. Zatem istnieje
y ∈ E, że M 0 − z < y. W konsekwencji M 0 < y + z i x = y + z ∈ E + F . Reasumując
sup(E + F ) = M .
Ad. (b) Ponieważ E, F ⊂ R+ , więc sup E > 0 i sup F > 0. Niech M̃ = sup E · sup F .
Wtedy M̃ > 0. Dla dowolnych y ∈ E, z ∈ F mamy 0 < y 6 sup E, 0 < z 6 sup F , więc
yz 6 y · sup F 6 M̃ . Zatem M̃ jest ograniczeniem górnym zbioru E · F . Niech M̃ 0 < M̃ .
Ponieważ M̃ 0 / sup E < sup F , więc istnieje z ∈ F , że M̃ 0 / sup E < z. Wtedy z > 0 oraz
M̃ 0 /z < sup E, więc istnieje y ∈ E, że M̃ 0 /z < y, czyli M̃ 0 < yz i yz ∈ E · F . Reasumując
M̃ = sup E · F .
Ad. (c) Dla y ∈ F mamy y 6 sup F , a ponieważ a > 0, więc ay 6 a sup F . Stąd
dostajemy, że a sup F jest ograniczeniem górnym zbioru {a} · F . Niech M 0 < a sup F .
Wtedy M 0 /a < sup F , więc istnieje y ∈ F , że M 0 /a < y. Zatem ay ∈ {a} · F oraz
M 0 < ay. Reasumując a · sup F = sup({a} · F ).
2.3
Liczby naturalne
Definicja zbioru liczb naturalnych. Niech N będzie rodziną wszystkich podzbiorów
N ⊂ R posiadających następujące dwie własaności:
(i) 1 ∈ N ,
(ii) jeśli x ∈ N , to x + 1 ∈ N .
Niech N będzie częścią wspólną tej rodziny, tzn.
N=
\
N.
N ∈N
Zbiór N nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Elementy zbioru N nazywamy liczbami
naturalnymi.
20
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Uwaga 2.3.1. Można wykazać istnienie rodziny N. Jest ona niepusta, gdyż oczywiście
R ∈ N. Zbiór N posiada własności (i), (ii), więc 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ∈ N.
Twierdzenie 2.3.2. (zasada Archimedesa). Dla każdego x ∈ R istnieje n ∈ N, takie
że n > x.
Dowód. Niech x ∈ R. Przypuśćmy przeciwnie, że nie istnieje n ∈ N takie, że n > x.
Wówczas dla każdego n ∈ N mamy n 6 x, czyli x jest ograniczeniem górnym zbioru N.
Stąd, na mocy twierdzenia 2.2.5, istnieje kres górny zbioru N. Oznaczmy ten kres przez
M . Ponieważ M − 1 < M , więc z definicji kresu górnego, istnieje liczba n0 ∈ N taka, że
M − 1 < n0 . Zatem M < n0 + 1. Ponieważ n0 + 1 ∈ N, więc z definicji kresu górnego
mamy n0 + 1 6 M . Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Z twierdzenia 2.3.2 dostajemy natychmiast następujący wniosek.
Wniosek 2.3.3. Zbiór liczb naturalnych nie jest ograniczony z góry.
Dowód poniższego wniosku pozostawiamy czytelnikowi.
Wniosek 2.3.4. Dla dowolnych x, y ∈ R, jeśli y > 0, to istnieje n0 ∈ N takie, że ny > x
dla każdego n > n0 .
Twierdzenie 2.3.5. (zasada indukcji). Jeśli N ⊂ N oraz N spełnia warunki:
(i) 1 ∈ N ,
(ii) jeśli x ∈ N , to x + 1 ∈ N ,
to N = N.
Dowód. Z założenia o zbiorze N mamy, że N ⊂ N oraz N ∈ N. Zatem z definicji N
dostajemy, N ⊂ N . W konsekwencji N = N.
Własność 2.3.6. Dla każdego n ∈ N zachodzi n > 1.
Dowód. Niech N = {n ∈ N : n > 1}. Pokażemy, że N spełnia warunki (i), (ii) w
twierdzeniu 2.3.5.
(i) Ponieważ 1 > 1, więc z definicji zbioru N mamy 1 ∈ N .
(ii) Niech n ∈ N . Wówczas n + 1 > 1 + 1 > 1, więc n + 1 > 1, zatem n + 1 ∈ N .
Pokazaliśmy, że N spełnia (i) oraz (ii). Zatem na mocy twierdzenia 2.3.5, N = N.
Własność 2.3.7. (a) Dla dowolnych m, n ∈ N mamy m + n ∈ N i mn ∈ N.
(b) Dla każdego n ∈ N mamy n = 1 albo n − 1 ∈ N.
(c) Dla każdego n ∈ N nie istnieje m ∈ N, że n < m < n + 1.
(d) Dla dowolnych m, n ∈ N, jeśli m < n, to m + 1 6 n.
(e) Dla dowolnych m, n ∈ N, jeśli m < n, to n − m ∈ N.
2.3. LICZBY NATURALNE
21
Dowód. Ad. (a) Dla dowolnego m ∈ N oznaczając N = {n ∈ N : m + n ∈ N} łatwo
stosując twierdzenie 2.3.5 dostajemy N = N. Podobnie dla m ∈ N biorąc N 0 = {n : mn ∈
N} dostajemy N 0 = N. To daje (a).
Ad. (b) Niech A = {n ∈ N : n − 1 ∈ N} oraz N 00 = {1} ∪ A. Oczywiście N 00 ⊂ N.
Pokażemy, że N 00 spełnia warunki (i), (ii) twierdzenia 2.3.5.
(i) 1 ∈ N 00 – oczywiste.
(ii) Niech n ∈ N 00 . Pokażemy, że n + 1 ∈ N 00 . Istotnie, n ∈ N, więc n + 1 ∈ N oraz
(n + 1) − 1 = n ∈ N. Zatem n + 1 ∈ A i w konsekwencji n + 1 ∈ N 00 .
Reasumując N 00 = N. Ponadto warunki n = 1, n − 1 ∈ N wykluczają się, więc mamy (b).
Ad (c) Niech N 000 = {n ∈ N : nie istnieje m ∈ N, że n < m < n + 1}.
Zauważmy, że 1 ∈ N 000 . Istotnie, gdyby dla pewnego m ∈ N zachodziło 1 < m < 1 + 1,
to wobec części (b) mielibyśmy m − 1 ∈ N oraz m − 1 < 1, co przeczy tezie własności
2.3.6. W konsekwencji 1 ∈ N 000 .
Niech n ∈ N 000 . Pokażemy, że n + 1 ∈ N 000 . Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje m ∈ N
takie, że n + 1 < m < (n + 1) + 1. Wówczas m > 1 + 1 > 1, więc m 6= 1 i z części (b)
mamy m − 1 ∈ N. Stąd mamy n < m − 1 < n + 1, co przeczy temu, że n ∈ N 000 . Zatem
n + 1 ∈ N 000 . Stosując teraz zasadę indukcji dostajemy N 000 = N.
Ad. (d) Część (d) wynika natychmiast z części (c).
Ad (e) Niech N IV = {m ∈ N : dla każdego n ∈ N takiego, że n > m mamy n−m ∈ N}.
Z części (b) dostajemy 1 ∈ N IV . Załóżmy, że m ∈ N IV . Weźmy dowolny n ∈ N takie,
że n > m + 1. Wówczas n 6= 1, zatem n − 1 ∈ N oraz n − 1 > m, więc n − (m + 1) =
(n − 1) − m ∈ N. Stąd i z dowolności n > m + 1 mamy m + 1 ∈ N IV . Stosując teraz
zasadę indukcji dostajemy N IV = N.
Udowodnimy, że każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy. Zacznijmy od definicji i dwóch lematów.
Definicja . Dla dowolnego n ∈ N określamy
Fn = {k ∈ N : k 6 n}.
Piszemy również Fn = {1, ..., n} oraz k = 1, ..., n zamiast k ∈ Fn .
Lemat 2.3.8. Dla dowolnego n ∈ N,
Fn = {k ∈ N : k < n + 1}.
Dowód. Oznaczmy F0n = {k ∈ N : k < n + 1}. Oczywiście Fn ⊂ F0n . Pokażemy, że
⊂ Fn . Weźmy dowolny k ∈ F0n . Wówczas k < n + 1, więc z z własności 2.3.7(c) mamy
k 6 n. To daje, że k ∈ Fn i w konsekwencji, że F0n ⊂ Fn . Reasumując Fn = F0n .
F0n
Lemat 2.3.9. Dla dowolnego n ∈ N,
Fn+1 = Fn ∪ {n + 1}.
Dowód. W myśl lematu 2.3.8, dla n ∈ N mamy Fn+1 = {k ∈ N : k 6 n + 1}
= {k ∈ N : k < n + 1} ∪ {n + 1} = Fn ∪ {n + 1}.
22
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Twierdzenie 2.3.10. (zasada minimum). Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma
element najmniejszy.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje niepusty zbiór A ⊂ N który nie ma elementu najmniejszego. Połóżmy N = {n ∈ N : Fn ∩ A = ∅}. Pokażemy, że N = N.
Istotnie:
(i) 1 ∈ N , gdyż w przeciwnym razie {1} = F1 ∩ A i wobec własności 2.3.6 liczba 1
byłaby elementem najmniejszym zbioru A, co jest sprzeczne z przypuszczeniem.
(ii) Niech n ∈ N . Pokażemy, że n+1 ∈ N . Przypuśćmy, że n+1 6∈ N , czyli Fn+1 ∩A 6= ∅.
Ponieważ n ∈ N , więc Fn ∩ A = ∅, zatem, wobec lematu 2.3.9 mamy n + 1 ∈ A. Ponadto
z własności 2.3.7(d) dla każdego k ∈ A mamy k > n + 1. W konsekwencji n + 1 jest
elementem najmniejszym zbioru A, wbrew przypuszczeniu. Reasumując n + 1 ∈ N .
Z (i), (ii) oraz zasady indukcji (twierdzenie 2.3.5) dostajemy N = N. Oczywiście dla
każdego n ∈ N mamy n ∈ Fn , więc z określenia zbioru N dostajemy A = ∅. Otrzymana
sprzeczność kończy dowód.
Twierdzenie 2.3.11. (zasada indukcji o innym początku). Niech n0 ∈ N oraz
Nn0 = {n ∈ N : n > n0 }.
Jeśli zbiór N ⊂ Nn0 spełnia warunki:
(i) n0 ∈ N ,
(ii) jeśli n ∈ N , to n + 1 ∈ N ,
to N = Nn0 .
Dowód. Niech N będzie zbiorem spełniającym (i) i (ii) oraz A = Nn0 \ N . Pokażemy, że A = ∅. Istotnie, przypuśćmy przeciwnie, że A 6= ∅. Wówczas z zasady minimum
(twierdzenie 2.3.10) w zbiorze A istnieje element najmniejszy. Oznaczmy go przez m0 .
Wówczas, z określenia zbioru Nn0 mamy m0 > n0 oraz m0 ∈ A. Ponieważ z (i), n0 ∈ N ,
więc n0 6∈ A, zatem m0 > n0 i m0 6= 1. Stąd mamy m0 − 1 ∈ N (patrz własności 2.3.7 (b)
i (d)). To jest jednak niemożliwe, gdyż wtedy z (ii) mamy m0 = (m0 − 1) + 1 ∈ N .
Analogicznie jak twierdzenie 2.3.11 dowodzimy następujące
Twierdzenie 2.3.12. (zasada indukcji skończonej). Niech n0 , m0 ∈ N, n0 6 m0 oraz
Nn0 ,m0 = {n ∈ N : n0 6 n 6 m0 }. Jeśli zbiór N ⊂ Nn0 ,m0 spełnia warunki:
(i) n0 ∈ N ,
(ii) dla każdego n < m0 , jeśli n ∈ N , to n + 1 ∈ N ,
to N = Nn0 ,m0 .
Z twierdzenia 2.3.10 dostajemy natychmiast
Twierdzenie 2.3.13. (zasada indukcji). Niech N ⊂ N. Jeśli N spełnia warunki:
(i) 1 ∈ N ,
(ii) jeśli Fn ⊂ N , to n + 1 ∈ N ,
to N = N.
2.4. LICZBY CAŁKOWITE I LICZBY WYMIERNE
23
Definicja liczb parzystych i nieparzystych. Mówimy, że liczba naturalna n jest parzysta, gdy istnieje k ∈ N, że n = 2k; w przeciwnym przypadku mówimy, że n jest liczbą
nieparzystą. Zbiór liczb parzystych oznaczamy 2N. Zbiór liczb nieparzystych oznaczamy
2N − 1.
ZADANIA
Zadanie 2.3.1. Wykazać, że 2N = {2n : n ∈ N} oraz 2N − 1 = {2n − 1 : n ∈ N}.
Zadanie 2.3.2. Jeśli n, m ∈ N oraz nm ∈ 2N, to n ∈ 2N lub m ∈ 2N.
2.4
Liczby całkowite i liczby wymierne
Definicja liczby całkowitej. Każdą liczbę rzeczywistą, która jest różnicą dwóch liczb
naturalnych nazywamy liczbą całkowitą. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy Z.
Dowody poniższych dwóch prostych własności pozostawiamy czytelnikowi.
Własność 2.4.1. N ⊂ Z.
Własność 2.4.2. (a)
(b) Z ∩ R+ = N,
(c) Dla dowolnych
(d) Dla dowolnego
(e) 1/2 6∈ Z.
Jeśli a ∈ Z, to a ∈ N albo −a ∈ N albo a = 0.
Z ∩ R− = −N.
a, b ∈ Z mamy a + b ∈ Z, ab ∈ Z, a − b ∈ Z.
a ∈ Z mamy −a ∈ Z.
Z własnoći 2.3.7 dostajemy
Własność 2.4.3. (a) Dla każdego a ∈ Z nie istnieje b ∈ Z, że a < b < a + 1.
(b) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to a + 1 6 b.
(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to b − a ∈ N.
Twierdzenie 2.4.4. (zasada minimum dla liczb całkowitych). Każdy niepusty i
ograniczony z dołu zbiór liczb całkowitych ma element najmniejszy.
Dowód. Niech A ⊂ Z, A 6= ∅ będzie zbiorem ograniczonym z dołu i niech M ∈ R
będzie jego dowolnym ograniczeniem dolnym. Na mocy zasady Archimedesa (twierdzenie
2.3.2) istnieje liczba n0 ∈ N taka, że n0 > −M . Wówczas {n0 } + A ⊂ N. Istotnie, dla
a ∈ A mamy n0 + a ∈ Z oraz n0 + a > −M + a > 0, więc z własności 2.4.2(a) mamy
n0 + a ∈ N. W konsekwencji {n0 } + A ⊂ N. Zatem z twierdzenia 2.3.10 zbiór {n0 } + A
ma element najmniejszy. Oznaczmy go x0 .
Pokażemy, że x0 − n0 jest elementem najmniejszym zbioru A. Istotnie, n0 + (x0 − n0 ) =
x0 ∈ {n0 } + A, więc x0 − n0 ∈ A. Ponadto dla każdego a ∈ A mamy n0 + a > x0 , więc
a > x0 − n0 .
Analogicznie jak twierdzenie 2.3.11 (stosując twierdzenie 2.4.4 zamiast 2.3.10), dostajemy następujące dwie wersje zasady indukcji.
24
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Twierdzenie 2.4.5. (zasada indukcji). Niech a0 ∈ Z oraz Za0 = {a ∈ Z : a > a0 }.
Jeśli zbiór Z ⊂ Za0 spełnia warunki:
(i) a0 ∈ Z,
(ii) jeśli a ∈ Z, to a + 1 ∈ Z,
to Z = Za0 .
Wniosek 2.4.6. Niech a0 ∈ Z oraz Za0 = {a ∈ Z : a > a0 }. Jeśli zbiór Z ⊂ Za0 spełnia
warunki:
(i) a0 ∈ Z,
(ii) jeśli a ∈ Za0 i {k ∈ Z : a0 6 k 6 a} ⊂ Z, to a + 1 ∈ Z,
to Z = Za0 .
Z twierdzenia 2.4.4 dostajemy następujący
Wniosek 2.4.7. Każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb całkowitych ma element
największy.
Dowód. Niech A ⊂ Z będzie zbiorem ograniczonym z góry. Wówczas zbiór −A jest
ograniczony z dołu, więc z twierdzenia 2.4.4, istnieje min(−A). Oznaczając a = min(−A)
i stosując definicją minimum i maksimum zbioru dostajemy, że −a = max A.
Definicja liczby wymiernej. Mówimy, że liczba x ∈ R jest wymierna, gdy istnieją
a, b ∈ Z, b 6= 0, takie że x = a/b. Liczbę a nazywamy licznikiem, zaś liczbę b mianownikiem
liczby wymiernej x. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q.
Definicja liczby niewymiernej. Zbiór R \ Q nazywamy zbiorem liczb niewymiernych.
Liczbę x ∈ R \ Q nazywamy niewymierną.
Zachodzą następujące własności:
Własność 2.4.8. (a) Z ⊂ Q.
(b) Dla dowolnego r ∈ Q zachodzi −r ∈ Q oraz 1/r ∈ Q, gdy r 6= 0.
(c) Jeśli r, w ∈ Q, to r + w ∈ Q, r − w ∈ Q, rw ∈ Q oraz r/w ∈ Q, gdy w 6= 0.
(d) Dla każdej liczby r ∈ Q istnieją a ∈ Z oraz b ∈ N, że r = a/b.
Definicja całości liczby. Niech x ∈ R. Całością lub entier z liczby x nazywamy
max{a ∈ Z : a 6 x} i oznaczamy [x].
Uwaga 2.4.9. Całość [x] jest poprawnie określona. Istotnie, zbiór A = {a ∈ Z : a 6 x}
jest ograniczony z góry i niepusty, bowiem dla liczby −x, z zasady Archimedesa istnieje
n0 ∈ N, że n0 > −x. Zatem −n0 < x, więc −n0 ∈ A. Stosując teraz wniosek2.4.7
dostajemy istnienie i jedyność liczby [x].
Dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
2.5. INFORMACJE O DEFINIOWANIU PRZEZ INDUKCJĘ
25
Własność 2.4.10. Dla każdego x ∈ R mamy
[x] ∈ Z,
[x] 6 x < [x] + 1.
W szczególności 0 6 x − [x] < 1.
Udowodnimy teraz twierdzenie o ”gęstości” zbioru Q w R.
Twierdzenie 2.4.11. Dla każych x, y ∈ R takich, że x < y istnieje r ∈ Q, że x < r < y.
Dowód. Na mocy zasady Archimedesa istnieje n ∈ N, że n > 1/(y − x). W szczególności 1/n < y − x. Oznaczmy a = [nx] ∈ Z. Pokażemy, że liczba r = (a + 1)/n spełnia tezę
twierdzenia. Z własności 2.4.10 mamy nx < a+1, więc x < (a+1)/n, czyli x < r. Z drugiej
strony (a+1)/n = (a+1−nx)/n+x = (1−(nx−[nx]))/n+x 6 1/n+x < (y −x)+x = y,
czyli r < y. Reasumując x < r < y.
ZADANIA
Zadanie 2.4.1. Niech x ∈ R. Udowodnić, że jeśli dla każdego n ∈ N istnieją q, r ∈ N
oraz p ∈ Z, że q, r > n oraz 0 < |x − pq | < qr1 , to x jest liczbą niewymierną.
Zadanie 2.4.2.* Udowodnić, że jeśli x ∈ R jest liczbą niewymierną, to dla każdego n ∈ N
1
istnieją p ∈ Z, q ∈ N takie, że q > n oraz |x − pq | < q·q
.
2.5
Informacje o definiowaniu przez indukcję
Niech n ∈ N oraz, zgodnie z poprzednim punktem, niech Fn = {k ∈ N : k 6 n}.
Definicja określania funkcji przez indukcję skończoną. Niech X będzie niepustym
zbiorem, n ∈ N, n > 1, x ∈ X oraz f : X × Fn−1 → X. Funkcję ϕ : Fn → X spełniającą
warunki
(i) ϕ(1) = x,
(ii) ϕ(k + 1) = f (ϕ(k), k) dla każdego k ∈ Fn−1 ,
nazywamy określoną przez x i f przy pomocy indukcji skończonej.
Twierdzenie 2.5.1. Jeśli X jest niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X × Fn−1 → X,
gdzie n ∈ N, n > 1, to istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ : Fn → X określona przez x i f
przy pomocy indukcji skończonej. (3 )
3
Dowód twierdzenia 2.5.1. Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istnieją
dwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (i), (ii), to zbiór A = {k ∈ Fn : ϕ(k) 6= ψ(k)} jest niepusty. Zatem
istnieje s = min A. Wówczas s > 1, bo z (i) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy s − 1 ∈ Fn−1 oraz
ϕ(s − 1) = ψ(s − 1). Zatem z (ii) otrzymujemy
ϕ(s) = f (ϕ(s − 1), s − 1) = f (ψ(s − 1), s − 1) = ψ(s),
co, wraz z faktem s ∈ A, prowadzi do sprzeczności.
Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Niech N będzie zbiorem tych m ∈ Fn , że istnieje funkcja ϕm : Fm → X
26
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Definicja określania funkcji przez indukcję. Niech X będzie niepustym zbiorem,
x ∈ X oraz f : X × N → X. Funkcję ϕ : N → X spełniającą warunki
(j) ϕ(1) = x,
(jj) ϕ(n + 1) = f (ϕ(n), n) dla każdego n ∈ N,
nazywamy określoną indukcyjnie przez x i f .
Twierdzenie 2.5.2. Jeśli X jest niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X × N → X, to
istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ określona indukcyjnie przez x i f . (4 )
Jako przykład definiowania przez indukcję podamy następującą definicję.
Definicja silni. Niech X = N, x = 1 oraz f : N × N → N będzie określona wzorem
f (a, n) = a · (n + 1)
dla n ∈ N
Wtedy funkcję ϕ : N → N określoną indukcyjnie przez x i f nazywamy funkcją silnia i dla
n ∈ N piszemy ϕ(n) = n!. Liczbę n! nazywamy n-silnia. Dodatkowo przyjmujemy 0! = 1.
Uwaga 2.5.3. W literaturze dla n ∈ N, liczbę n-silnia określa się również następująco:
n! = 1,
gdy n = 1
oraz
(n + 1)! = n!(n + 1).
W świetle twierdzenia 2.5.2, jest to definicja równoważna powyższej. Ponadto dla każdego
n ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba n! oraz n! ∈ N.
Definicja symbolu Newtona. Symbolami Newtona nazywamy liczby
!
m
m!
=
n
n!(m − n)!
gdzie
n, m ∈ Z,
0 6 n 6 m.
ZADANIA
spełniająca warunki
(i0 ) ϕm (1) = x,
(ii0 ) ϕm (k + 1) = f (ϕm (k), k) dla każdego k ∈ Fm−1 (przyjmujemy tutaj F0 = ∅).
Z (i0 ) oraz (ii0 ) mamy 1 ∈ N . Niech teraz m ∈ N , m < n. Wówczas istnieje funkcja ϕm : Fm → X
spełniająca (i0 ), (ii0 ). Biorąc ϕm+1 : Fm+1 → X określona̧ wzorami ϕm+1 (n) = ϕm (n) dla n ∈ Fm oraz
ϕm+1 (m + 1) = f (ϕm (m), m) dostajemy, że ϕm+1 spełnia (i0 ), (ii0 ) dla m + 1. W konsekwencji m + 1 ∈ N .
Reasumując, z zasady indukcji skończonej mamy N = Fn . Przyjmując teraz ϕ = ϕn dostajemy tezę. 4
Dowód twierdzenia 2.5.2. Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istnieją
dwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (j), (jj), to zbiór A = {n ∈ N : ϕ(n) 6= ψ(n)} jest niepusty. Zatem
istnieje k = min A. Ponadto k > 1, bo z (j) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy k − 1 ∈ N oraz
ϕ(k − 1) = ψ(k − 1). Zatem z (jj) mamy ϕ(k) = ψ(k), co jest niemożliwe, bo k ∈ A.
Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Na mocy twierdzenia 2.5.1 dla każdego n ∈ N, zbiór funkcji określonych
indukcyjnie przez x i f |X×Fn jest niepusty. Zatem, stosując aksjomat wyboru, istnieje zbiór funkcji ϕn :
Fn → X, n ∈ N, spełniających warunki (i), (ii) definicji określania funkcji przez indukcję skończoną.
Ponadto dla każdego n ∈ N mamy ϕn+1 |Fn = ϕn . Określmy funkcję ϕ : N → X wzorem ϕ(n) = ϕn (n),
n ∈ N. Funkcja ϕ spełnia warunki (j), (jj). Istotnie, mamy ϕ(1) = ϕ1 (1) = x, czyli zachodzi (j). Weźmy
n ∈ N. Wtedy ϕ(n) = ϕn+1 (n), ϕ(n + 1) = ϕn+1 (n + 1), zatem z (ii) mamy
ϕ(n + 1) = ϕn+1 (n + 1) = f (ϕn+1 (n), n) = f (ϕ(n), n).
To daje, że ϕ spełnia (jj) i kończy dowód.
2.6. ZBIORY SKOŃCZONE, PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE
Zadanie 2.5.1. Dla dowolnych n, m ∈ N, n 6 m zachodzi
2.6
m
n
27
∈ N.
Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne
Definicja równoliczności. Dwa zbiory X, Y nazywamy równolicznymi, gdy istnieje bijekcja zbioru X na zbiór Y . Dodatkowo przyjmujemy, że zbiór pusty jest równoliczny
tylko ze zbiorem pustym.
Uwaga 2.6.1. Relacja równoliczności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia (5 ).
Definicja zbioru skończonego, nieskończonego. Zbiór X nazywamy skończonym,
gdy jest pusty lub równoliczny z pewnym zbiorem Fn = {k ∈ N : k 6 n}, gdzie n ∈ N.
Jeśli X jest równoliczny z Fn , gdzie n ∈ N, to mówimy, że zbiór X jest n-elementowy.@
n-elementowy Zbiór X nazywamy nieskończonym, gdy nie jest on skończony.
Definicja zbioru n-elementowego jest poprawna. Mamy bowiem następującą własność.
Własność 2.6.2. Jeśli zbiory Fn i Fm są równoliczne, to n = m.
Dowód. Zauważmy najpierw, że dla m ∈ N, m > 1 oraz k ∈ Fm zbiory Fm \ {k} i
Fm−1 są równoliczne. Istotnie, funkcja ϕ : Fm \ {k} → Fm−1 określona wzorem ϕ(j) = j
dla j < k, ϕ(j) = j − 1 dla j > k jest bijekcją (6 ).
Do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że zbiór N = {n ∈ N : Fn nie jest równoliczny z Fm dla m ∈ N, m 6= n} jest równy N. Zastosujemy twierdzenie 2.3.5.
(i) 1 ∈ N . Istotnie, F1 = {1} oraz dla m ∈ N, m 6= 1 mamy m > 1, więc 1, 2 ∈ Fm , a
więc zbiory F1 i Fm nie mogą być równoliczne.
(ii) Niech n ∈ N . Pokażemy, że n + 1 ∈ N . Przypuśćmy przeciwnie, że n + 1 6∈ N ,
czyli, że istnieje m 6= n + 1 dla którego Fn+1 jest równoliczny z Fm . Ponieważ n + 1 > 1,
więc z części (i) dowodu mamy, że m > 1. Niech ψ : Fn+1 → Fm będzie bijekcją. Wtedy,
Fn jest równoliczny z Fm \ {ψ(n + 1)} (patrz lemat 2.3.9). Z obserwacji poczynionej na
początku dowodu mamy, że Fm \ {ψ(n + 1)} jest równoliczny z Fm−1 . W konsekwencji Fn
jest równoliczny z Fm−1 oraz m − 1 6= n. To przeczy temu, że n ∈ N . Zatem n + 1 ∈ N .
Reasumując na mocy zasady indukcji matematycznej mamy, że N = N.
Własność 2.6.3. Jeśli zbiory A, B są skończone i rozłączne, to ilość elementów zbioru
A ∪ B jest sumą ilości elementów zbioru A i zbioru B.
5
to znaczy:
każdy zbiór X jest równoliczny ze zbiorem X (zwrotność),
jeśli zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Y , to zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem X (symetria),
jeśli zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Y i zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem Z, to zbiór X jest
równoliczny ze zbiorem Z (przechodniość).
6
Funkcja ϕ jest różnowartościowa, gdyż jest różnowartościowa na A = {j ∈ Fm : j < k} oraz na
B = {j ∈ Fm : j > k} oraz, wobec własności 2.3.7(d), ϕ(A) ∩ ϕ(B) = ∅. Ponadto ϕ(Fm \ {k}) ⊂ Fm−1 , bo
dla 1 6 j < k mamy 1 6 ϕ(j) < k 6 m oraz dla k < j 6 m mamy k 6 ϕ(j) < m (własność 2.3.7). Mamy
również Fm−1 ⊂ ϕ(Fm \ {k}), gdyż dla 1 6 j < k mamy j = ϕ(j) ∈ ϕ(Fm \ {k}) oraz dla k 6 j 6 m − 1
mamy k < j + 1 6 m i wtedy j = ϕ(j + 1) ∈ ϕ(Fm \ {k}). W konsekwencji ϕ(Fm \ {k}) = Fm−1 , co
wobec różnowartościowości ϕ daje, że ϕ jest bijekcją.
28
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Dowód. Niech n będzie ilością elementów zbioru A oraz m – ilością elementów zbioru
B. Niech ϕ : Fn → A, ψ : Fm → B będą bijekcjami. Kładąc f : Fn+m → A ∪ B, wzorami:
f (j) = ϕ(j) dla 1 6 j 6 n oraz f (j) = ψ(j −n) dla n+1 6 j 6 n+m, łatwo sprawdzamy,
że f jest bijekcją. To daje tezę.
Twierdzenie 2.6.4. Każdy skończony i niepusty zbiór A ⊂ R ma minimum i maksimum.
Dowód. Wystarczy pokazać, że N pokrywa się ze zbiorem N = {n ∈ N : każdy
podzbiór n-elementowy zbioru R ma minimum i maksimum}. Mamy kolejno:
(i) 1 ∈ N . Istotnie, niech A ⊂ R będzie równoliczny z F1 . Wówczas istnieje bijekcja
ϕ : F1 → A. Zatem A = {ϕ(1)} i max A = min A = ϕ(1). To daje, że 1 ∈ N .
(ii) Niech n ∈ N . Weźmy dowolny zbiór n + 1-elementowy A ⊂ R i niech ϕ : Fn+1 → A
będzie bijekcją. Wówczas zbiór A \ {ϕ(n + 1)} jest n-elementowy. Ponieważ n ∈ N ,
więc A \ {ϕ(n + 1)} ma maksimum i minimum. Niech x = min(A \ {ϕ(n + 1)}) oraz
y = max(A \ {ϕ(n + 1)}). W myśl własności 2.1.7 istnieje z = min{x, ϕ(n + 1)} oraz
t = max{y, ϕ(n + 1)}. W konsekwencji min A = z oraz max A = t. To daje, że n + 1 ∈ N .
Reasumując, na mocy zasady indukcji, N = N.
Definicja zbioru przeliczalnego, nieprzeliczalnego. Mówimy, że zbiór X jest przeliczalny, gdy jest on równoliczny ze zbiorem N. Zbiór X nazywamy co najwyżej przeliczalnym, gdy jest on skończony lub przeliczalny. Zbiór, który nie jest skończony ani
przeliczalny nazywamy nieprzeliczalnym.
Z twierdzenia 2.6.4 i własności 2.3.3 dostajemy natychmiast
Wniosek 2.6.5. Zbiór N jest nieskończony. W szczególności każdy zbiór przeliczalny jest
nieskończony.
Twierdzenie 2.6.6. Niech A ⊂ N. Wówczas zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy,
gdy zbiór A jest skończony.
Dowód. (⇒) Pokażemy najpierw, że każdy ograniczony podzbiór zbioru N jest skończony. Weźmy dowolny zbiór ograniczony A ⊂ N. Wówczas istnieje x ∈ R, że k 6 x dla
wszystkich k ∈ A. Biorąc, w myśl zasady Archimedesa (twierdzenie 2.3.2), n ∈ N takie,
że n > x dostajemy, że A ⊂ Fn . Do zakończenia dowodu wystarczy więc pokazać, że N
pokrywa się ze zbiorem N = {n ∈ N : każdy podzbiór zbioru Fn jest skończony}. Mamy
kolejno:
(i) 1 ∈ N , bo F1 = {1} i jedynymi podzbiorami F1 są ∅ i {1}.
(ii) Niech n ∈ N . Weźmy dowolny podzbiór A ⊂ Fn+1 . Jeśli n + 1 6∈ A, to A ⊂ Fn , a
więc A jest skończony, bo n ∈ N . Jeśli n + 1 ∈ A, to A \ {n + 1} ⊂ Fn , więc A \ {n + 1}
jest skończony, powiedzmy równoliczny z Fm lub A \ {n + 1} = ∅ i wtedy A = {n + 1}.
Jeśli A = {n + 1}, to A jest zbiorem skończonym. Załóżmy więc, że A \ {n + 1} =
6 ∅.
Zatem istnieje bijekcja ϕ : Fm → A \ {n + 1}. Kładąc ψ(j) = ϕ(j) dla j ∈ Fm oraz
ψ(m + 1) = n + 1 dostajemy, że ψ jest bijekcją Fm+1 na A, czyli że A jest zbiorem
skończonym. Z dowolności wyboru zbioru A dostajemy, że n + 1 ∈ N .
Reasumując, na mocy zasady indukcji, N = N. Pokazaliśmy więc, że każdy ograniczony
podzbiór zbioru N jest skończony.
2.6. ZBIORY SKOŃCZONE, PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE
29
(⇐) Z twierdzenia 2.6.4 dostajemy, że każdy skończony i niepusty podzbiór A ⊂ N ma
minimum i maksimum, w szczególności A jest ograniczony. Oczywiście zbiór pusty jest
ograniczony.
Wniosek 2.6.7. Jeśli A ⊂ B i B jest zbiorem skończonym, to A jest zbiorem skończonym.
Dowód. Można założyć, że B 6= ∅. Wtedy istnieje n ∈ N oraz bijekcja ϕ : B → Fn .
W szczególności ϕ(A) ⊂ Fn , więc ϕ(A) jest ograniczonym podzbiorem zbioru N. Zatem z
twierdzenia 2.6.6, zbiór ϕ(A) jest skończony. Ponieważ zbiór A jest równoliczny z ϕ(A),
więc mamy tezę.
Własność 2.6.8. Jeśli n ∈ N oraz ϕ : Fn → R, to ϕ(Fn ) jest zbiorem skończonym.
Dowód. Niech N = {n ∈ N : dla każdej funkcji ϕ : Fn → R, zbiór ϕ(Fn ) jest
skończony}. Wówczas N ⊂ N. Ponadto
(i) 1 ∈ N , gdyż dla każdej funkcji ϕ : F1 → R, zbiór ϕ(F1 ) = {ϕ(1)} jest jednoelementowy.
(ii) Załóżmy, że n ∈ N . Biorąc dowolną funkcją ϕ : Fn+1 → R, mamy ϕ(Fn+1 ) =
ϕ(Fn ) ∪ {ϕ(n + 1)}. Z założenia, że n ∈ N wynika, że zbiór ϕ(Fn ) jest skończony. Jeśli
ϕ(n + 1) ∈ ϕ(Fn ), to ϕ(Fn+1 ) = ϕ(Fn ), więc ϕ(Fn+1 ) jest zbiorem skończonym. Jeśli
ϕ(n + 1) 6∈ ϕ(Fn ), to zbiór ϕ(Fn+1 ) jest skończony, jako suma dwóch zbiorów skończonych
i rozłącznych (patrz własność 2.6.3). Zatem n + 1 ∈ N .
Reasumując, z zasady indukcji, dostajemy że N = N. To daje tezę.
Stosując zasadę indukcji (twierdzenie 2.3.5 i 2.3.11) dostajemy łatwo
Lemat 2.6.9. Niech ϕ : N → N będzie funkcją taką, że dla każdego n ∈ N zachodzi
ϕ(n) < ϕ(n + 1). Wówczas dla każdego n ∈ N mamy n 6 ϕ(n). Ponadto dla każdych
k, l ∈ N takich, że k < l mamy ϕ(k) < ϕ(l).
Twierdzenie 2.6.10. Każdy podzbiór zbioru przeliczalnego jest albo skończony albo przeliczalny.
Dowód. Niech A będzie podzbiorem zbioru przeliczalnego. Wówczas A jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru N. Można więc założyć, że A ⊂ N. Z wniosku 2.6.5
wynika, że zbiór A nie może być jednocześnie skończony i przeliczalny. Załóżmy, że zbiór A
jest nieskończony. Do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że zbiór A jest przeliczalny.
Niech f : A × N → A będzie funkcją określoną wzorem f (a, n) = min{x ∈ A : x > a}.
Funkcja f jest poprawnie określona, gdyż z założenia, że A jest zbiorem nieskończonym
i twierdzenia 2.6.6 mamy, że dla każdego a ∈ A, zbiór {x ∈ A : x > a} jest niepusty,
z zasady minimum (twierdzenie 2.3.10) zaś, że istnieje min{x ∈ A : x > a}. Niech
ϕ : N → A będzie funkcją określoną indukcyjnie przez x = min A i funkcję f (patrz
twierdzenie 2.5.2). Funkcja ϕ jest poprawnie określona oraz
(2.2)
ϕ(1) = min A,
ϕ(n + 1) = min{x ∈ A : x > ϕ(n)}.
30
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Funkcja ϕ jest różnowartościowa, gdyż z (2.2) dla każdego n ∈ N mamy ϕ(n) <
ϕ(n + 1), więc stosując lemat 2.6.9 dostajemy, że dla k, l ∈ N, k < l mamy ϕ(k) < ϕ(l).
Funkcja ϕ przekształca N na cały zbiór A. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje a ∈ A,
który nie jest wartością funkcji ϕ. Niech, wobec zasady Archimedesa 2.3.2, l ∈ N będzie
takie, że l > a. Z warunku ϕ(n) < ϕ(n + 1) dla n ∈ N i lematu 2.6.9 dostajemy, że
l 6 ϕ(l). Oznaczmy przez N = {n ∈ N : ϕ(n) < a}. Pokażemy, że wówczas N = N.
Istotnie
(i) ϕ(1) = min A 6 a. Ponieważ z przypuszczenia a 6= ϕ(1), więc ϕ(1) < a, czyli
1 ∈ N.
(ii) Załóżmy, że n ∈ N . Wtedy ϕ(n) < a. Zatem z (2.2) mamy ϕ(n + 1) 6 a. Ponieważ
ϕ(n + 1) 6= a, więc ϕ(n + 1) < a. To daje, że n + 1 ∈ N .
Reasumując z zasady indukcji 2.3.5 mamy N = N. To jest jednak niemożliwe, gdyż z
wyboru liczby l i określenia zbioru N mamy a < l 6 ϕ(l) < a. W konsekwencji A = ϕ(N).
Reasumując ϕ jest funkcją różnowartościową i na cały zbiór A. To daje, że A jest
zbiorem przeliczalnym.
Wniosek 2.6.11. Jeśli A jest zbiorem przeliczalnym i ϕ : A → R, to ϕ(A) jest zbiorem
co najwyżej przeliczalnym.
Dowód. Można założyć, że A = N. Niech B = {min ϕ−1 (b) : b ∈ ϕ(A)}. Wówczas B ⊂
N. W myśl twierdzenia 2.6.10, B jest co najwyżej przeliczalny. Ponadto dla b1 , b2 ∈ ϕ(A),
b1 6= b2 mamy ϕ−1 (b1 ) ∩ ϕ−1 (b2 ) = ∅, więc min ϕ−1 (b1 ) 6= min ϕ−1 (b2 ). W konsekwencji
f : ϕ(A) 3 b 7→ min ϕ−1 (b) ∈ B jest bijekcją, czyli ϕ(A) jest równoliczny z B.
Z twierdzenia 2.6.6 i 2.6.10 dostajemy natychmiast
Wniosek 2.6.12. Zbiór liczb parzystych oraz zbiór liczb nieparzystych są przeliczalne.
Wniosek 2.6.13. Niech X i Y będą zbiorami co najwyżej przeliczalnymi. Wówczas X ∪Y
jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Ponadto zbiór X ∪Y jest przeliczalny wtedy i tylko
wtedy, gdy przynajmniej jeden ze zbiorów X, Y jest przeliczalny.
Dowód. Jeśli X ⊂ Y lub Y ⊂ X, to teza jest oczywista. Załóżmy więc, że X 6= ∅ oraz
Y \X 6= ∅. Wówczas Y \X jest co najwyżej przeliczalny (wniosek 2.6.7 i twierdzenie 2.6.10).
Z wniosku 2.6.12 dostajemy łatwo, że istnieją funkcje różnowartościowe ϕ : X → 2N oraz
ψ : Y \ X → 2N − 1. Zatem funkcja f : X ∪ Y → N określona wzorami f (x) = ϕ(x),
gdy x ∈ X oraz f (x) = ψ(x), gdy x ∈ Y \ X jest różnowartościowa. Stąd i z twierdzenia
2.6.10 mamy, że f (X ∪ Y ), a więc i X ∪ Y , jest co najwyżej przeliczalny.
Jeśli któryś ze zbiorów X, Y jest przeliczalny to, X lub Y \ X jest przeliczalny, więc z
twierdzenia 2.6.6, ϕ(X) lub ψ(Y \X) nie jest ograniczony. W konsekwencji zbiór f (X ∪Y )
nie jest ograniczony, więc nie jest on skończony. Reasumując f (X ∪ Y ) jako zbiór nieskończony i co najwyżej przeliczalny jest zbiorem przeliczalnym. Stąd dostajemy przeliczalność
zbioru X ∪ Y .
Jeśli X ∪ Y jest przeliczalny, to X ∪ (Y \ X) jest przeliczalny. Zatem z własności 2.6.3
dostajemy, że X lub Y \ X jest nieskończony. Stąd wynika, że X lub Y jest zbiorem
nieskończonym, a więc przeliczalnym.
2.6. ZBIORY SKOŃCZONE, PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE
31
Wniosek 2.6.14. Jeśli A i B są zbiorami przeliczalnymi, to zbiór A×B jest przeliczalny.
Dowód. Ponieważ A i B są równoliczne z N, więc A × B jest równoliczny z N × N.
Wystarczy więc pokazać, że N × N jest zbiorem przeliczalnym. Z wniosku 2.6.7 dostajemy
łatwo, że N × N jest nieskończony (istotnie, {1} × N ⊂ N × N i zbiór {1} × N jest
nieskończony, jako równoliczny z N). Na mocy twierdzenia 2.6.10 wystarczy więc pokazać,
że N × N jest zbiorem równolicznym z pewnym podzbiorem zbioru N. Inaczej, wystarczy
pokazać, że istnieje funkcja różnowartościowa ϕ : N × N → N.
Połóżmy ϕ(n, m) = (n + m)(n + m − 1) + n. Oczywiście ϕ przekształca N × N w
N. Pokażemy różnowartościowość ϕ. Weźmy dowolne (n, m), (n0 , m0 ) ∈ N × N takie, że
(n, m) 6= (n0 , m0 ). Jeśli n + m = n0 + m0 , to n 6= n0 , więc
ϕ(n, m) = (n0 + m0 )(n0 + m0 − 1) + n 6= (n0 + m0 )(n0 + m0 ) + n0 = ϕ(n0 , m0 ).
Jeśli n + m 6= n0 + m0 , to można założyć, że n + m 6 n0 + m0 − 1, wówczas
ϕ(n, m) < ϕ(n, m) + m = (n + m)(n + m) 6 (n0 + m0 )(n0 + m0 − 1) < ϕ(n0 , m0 ).
To daje różnowartościowość ϕ i kończy dowód.
Udowodnimy teraz zasadnicze twierdzenie tego punktu.
Twierdzenie 2.6.15. Zbiór Q jest przeliczalny.
Dowód. Ponieważ Q = (Q ∩ R+ ) ∪ {0} ∪ (Q ∩ R− ) i zbiory Q ∩ R+ , Q ∩ R− są równoliczne, więc wobec wniosku 2.6.13, wystarczy pokazać, że zbiór Q ∩ R+ jest przeliczalny.
Odwzorowanie ϕ : N×N → Q∩R+ określone wzorem ϕ(n, m) = n/m jest odwzorowaniem
na cały zbiór Q ∩ R+ . Zatem, z wniosku 2.6.11 wynika, że Q ∩ R+ jest co najwyżej przeliczalny. Ponieważ N ⊂ Q ∩ R+ , więc Q ∩ R+ jest zbiorem nieskończonym (patrz wniosek
2.6.7 i 2.6.5), a więc jest zbiorem przeliczalnym.
Wniosek 2.6.16. Każda rodzina przedziałów parami rozłącznych jest co najwyżej przeliczalna.
Dowód. Biorąc dowolną rodzinę P przedziałów parami rozłącznych, z aksjomatu wyboru dostajemy, że istnieje zbiór E ⊂ Q zawarty w sumie przedziałów rodziny P który
ma po jednym punkcie wspólnym z każdym przedziałem rodziny P. W konsekwencji P
jest równoliczny z E. Ponieważ E ⊂ Q, więc z twierdzenia 2.6.15 zbiór E jest równoliczny
z pewnym podzbiorem zbioru N, a więc z twierdzenia 2.6.10, E co najwyżej przeliczalny.
Wykażemy teraz, że R jest zbiorem nieprzeliczalnym. Zacznijmy od lematu.
Lemat 2.6.17. Niech Pn , n ∈ N będzie rodziną przedziałów domkniętych taką, że Pn+1 ⊂
T
Pn dla n ∈ N. Wówczas część wspólna n∈N Pn jest niepusta.
32
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Dowód. Stosując zasadę indukcji o innym początku (twierdzenie 2.3.11), pokazujemy
że dla każdych k, l ∈ N,
(2.3)
P k ⊂ Pl ,
jeśli l 6 k.
Niech Pn = [an , bn ], n ∈ N. Zauważmy, że dla każdego n, m ∈ N zachodzi
(2.4)
an 6 b m .
Istotnie, jeśli n 6 m, to z (2.3) mamy Pm ⊂ Pn , więc an 6 bm , jeśli zaś n > m, to z (2.3)
mamy Pn ⊂ Pm , więc an 6 bm . Pokazaliśmy więc (2.4).
Oznaczmy A = {an : n ∈ N}. Zbiór ten jest niepusty i ograniczony z góry na przykład
przez b1 (patrz wzór (2.4)). Zatem, na mocy twierdzenia 2.2.5 istnieje kres górny zbioru A.
T
Oznaczmy ten kres przez c. Pokażemy, że c ∈ n∈N Pn . Istotnie, z określenia kresu górnego
mamy an 6 c dla wszystkich n ∈ N. Z (2.4) mamy, że każdy bn jest ograniczeniem górnym
zbioru A, zatem c 6 bn dla wszystkich n ∈ N. Reasumując c ∈ Pn dla wszystkich n ∈ N i
T
w konsekwencji c ∈ n∈N Pn .
Twierdzenie 2.6.18. Zbiór R jest nieprzeliczalny.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że R nie jest nieprzeliczalny. Stąd, ponieważ R jest
nieskończony (co wynika z faktu, że N ⊂ R, wniosku 2.6.7 i 2.6.5) dostajemy, że R jest
przeliczalny. Niech więc ϕ : N → R będzie bijekcją. Weźmy dowolny przedział domknięty
P1 taki, że ϕ(1) 6∈ P1 . Stosując własność 2.1.10 dostajemy, że istnieje przedział P2 ⊂ P1
taki, że ϕ(2) 6∈ P2 . Postępując dalej indukcyjnie znajdziemy rodzinę przedziałów Pn ,
n ∈ N takich, że Pn+1 ⊂ Pn oraz ϕ(n) 6∈ Pn dla wszystkich n ∈ N (7 ). Z lematu 2.6.17
T
istnieje x ∈ n∈N Pn , z wyboru Pn zaś, że x 6= ϕ(n) dla n ∈ N. To daje, że x 6∈ ϕ(N).
Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że ϕ jest bijekcją N na R.
Z twierdzeń 2.6.18, 2.6.15 i wniosku 2.6.13 dostajemy natychmiast
Wniosek 2.6.19. Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny.
Powtarzając dowód twierdzenia 2.6.18, przy zastosowaniu twierdzenia 2.6.15 dostajemy natychmiast
Wniosek 2.6.20. Każdy przedział jest zbiorem nieprzeliczalnym. W szczególności w każdym przedziale istnieją liczby niewymierne.
Definicja zbioru mocy continuum. O zbiorze, który jest równoliczny z R mówimy, że
jest mocy continuum.
7
Dokładniej, ciąg przedziałów (Pn )n∈N można określić indukcyjnie przy pomocy przedziału P1 , gdzie
a+b
ϕ(1) 6∈ P1 , i funkcji f ([a, b], n) = [a, a + b−a
oraz f ([a, b], n) = [b − b−a
3 ], gdy ϕ(n) >
2
3 , b], gdy
a+b
ϕ(n) < 2 .
2.7. CIĄGI SKOŃCZONE
33
ZADANIA
Zadanie 2.6.1. (a) Zbiór Z jest przeliczalny.
(b) Zbiór wszystkich przedziałów o końcach wymiernych jest przeliczalny.
(c) Zbiór wszystkich funkcji f : N → {0, 1} jest nieprzeliczalny.
Zadanie 2.6.2. (Dirichleta). Niech A, B1 , . . . , Bk będą zbiorami, przy czym niech A
będzie zbiorem n elementowym. Jeśli A ⊂ B1 ∪ . . . ∪ Bk oraz n > k, to istnieje Bj taki, że
A ∩ Bj jest zbiorem co najmniej 2-elementowym.
Zadanie 2.6.3. Jeśli zbiory An , n ∈ N, są przeliczalne, to zbiór
2.7
S
n∈N
An jest przeliczalny.
Ciągi skończone
Definicja ciągu skończonego. Niech X, Y będą zbiorami niepustymi oraz n ∈ N.
Funkcję a : Fn → X nazywamy ciągiem skończonym,
Parę uporządkowaną (k, a(k)), gdzie k ∈ Fn , nazywamy k–tym wyrazem ciągu, k –
wskaźnikiem tego wyrazu, a(k) – wartością tego wyrazu. Piszemy ak zamiast a(k).
Ciąg a : Fn → X zapisujemy również (a1 , ..., an ) lub (ak )nk=1 lub ak , k = 1, ..., n.
Pisząc a1 , ..., an ∈ Y rozumiemy, że wszystkie wartości ciągu (a1 , ..., an ) należą do Y .
Jeśli a1 , ..., an ∈ R, to ciąg (a1 , ..., an ) nazywamy ciągiem liczbowym.
Zbiór wszystkich ciągów liczbowych n-wyrazowych oznaczamy Rn . Inaczej
Rn = {(a1 , ..., an ) : a1 , ..., an ∈ R}.
Definicja sumy ciągu skończonego. Niech (a1 , ..., an ), n > 1, będzie skończonym ciągiem liczbowym. Niech X = R, x = a1 oraz f : R × Fn−1 → R będzie funkcją określoną
wzorem
f (a, k) = a + ak+1
dla a ∈ R, k ∈ Fn−1
Oznaczmy przez ϕ : Fn → R funkcję określoną przez x i f przy pomocy indukcji skończon
P
nej. Sumą ciągu (a1 , ..., an ) nazywamy liczbę ϕ(n) i oznaczamy a1 + · · · + an lub
ak
k=1
lub
Pn
k=1
ak . Dodatkowo przyjmujemy
1
P
ak = a1 , gdy n = 1.
k=1
Definicja iloczynu ciągu skończonego. Niech (a1 , ..., an ), n > 1 będzie skończony,
ciągiem liczbowym. Niech X = R, x = a1 oraz f : R × Fn−1 → R będzie funkcją określona
wzorem
f (a, k) = a · ak+1
dla a ∈ R, k ∈ Fn−1 .
Oznaczmy przez ϕ : Fn → R funkcję określoną przez x i f przy pomocy indukcji skońn
Q
czonej. Iloczynem ciągu (a1 , ..., an ) nazywamy liczbę ϕ(n) i oznaczamy a1 · · · an lub
ak
k=1
lub
Qn
k=1
ak . Dodatkowo przyjmujemy
1
Q
k=1
ak = a1 , gdy n = 1.
34
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Uwaga 2.7.1. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a1 , ..., an ). W literaturze podaje się również następujące
(równoważne powyższym) definicje sumy i iloczynu ciągu skończonego. Sumą ciągu (a1 , ..., an ) nazywamy
n
P
liczbę
ak określoną następująco:
k=1
n
P
ak = a1 ,
gdy
n
P
n = 1;
ak = an +
Iloczynem ciągu (a1 , ..., an ) nazywamy liczbę
n
Q
ak ,
gdy
n > 1.
k=1
k=1
k=1
n−1
P
ak określoną indukcyjnie:
k=1
n
Q
ak = a1 ,
gdy
n = 1;
k=1
n
Q
ak = an
k=1
n−1
Q
ak ,
gdy
n > 1.
k=1
W szczególności dla każdego skończonego ciągu liczbowego istnieje dokładnie jedna suma i dokładnie jeden
iloczyn tego ciągu.
Bezpośrednio z definicji dostajemy
Własność 2.7.2. Niech (a1 , ..., an ), (b1 , ..., bn ), n ∈ N będą ciągami liczbowymi oraz
α, β ∈ R. Wówczas
α
n
P
k=1
ak + β
n
P
bk =
k=1
n
P
Qn
(αan + βbn ),
k=1
k=1
ak ·
Qn
k=1 bk
=
Qn
k=1 (ak bk ).
Dowód. Jeśli n = 1, to teza jest oczywista. Załóżmy, że n > 1. Niech f : R × Fn−1 → R będzie
funkcją określoną wzorem f (a, k) = a + ak+1 dla a ∈ R, k ∈ Fn−1 oraz niech ϕ : Fn → R będzie funkcją
określoną przez x = a1 i f przy pomocy indukcji skończonej. Niech g : R × Fn−1 → R będzie funkcją
określoną wzorem g(b, k) = b + bk+1 dla b ∈ R, k ∈ Fn−1 oraz niech ψ : Fn → R będzie funkcją określoną
przez x = b1 i g przy pomocy indukcji skończonej. Niech h : R × Fn−1 → R będzie funkcją określoną
wzorem h(x, k) = x + αak+1 + βbk+1 dla x ∈ R, k ∈ Fn−1 oraz niech λ : Fn → R będzie funkcją określoną
przez x = αa1 + βb1 i h przy pomocy indukcji skończonej. Zauważmy, że dla każdego k ∈ Fn ,
αϕ(k) + βψ(k) = λ(k).
(2.5)
Istotnie dla k = 1 równość (2.5) jest oczywista. Zakładając, że (2.5) zachodzi dla k ∈ Fn takiego, że
k < n, z określenia ϕ, ψ oraz λ mamy
αϕ(k + 1) + βψ(k + 1)
= αf (ϕ(k), k) + βg(ψ(k), k) = αϕ(k) + αak+1 + βψ(k) + βbk+1
= λ(k) + αak+1 + βbk+1 = h(λ(k), k) = λ(k + 1).
Zatem (2.5) zachodzi dla k + 1. Stosując teraz zasadę indukcji skończonej dostajemy, że (2.5) zachodzi
dla wszystkich k ∈ Fn . W szczególności (2.5) dla k = n daje pierwszą część tezy.
Drugą część tezy dowodzimy analogicznie.
Definicja sumy i iloczynu wartości funkcji. Niech A 6= ∅ będzie zbiorem skończonym
oraz ϕ : Fn → A będzie bijekcją. Niech a : A → R będzie funkcją.
Sumą wartości funkcji a nazywamy liczbę
P
x∈A
a(x) =
n
P
a(ϕ(j)).
j=1
Iloczynem wartości funkcji a nazywamy liczbę
Q
x∈A
a(x) =
n
Q
j=1
a(ϕ(j)).
2.7. CIĄGI SKOŃCZONE
35
Definicja . Niech n0 , m0 ∈ Z, n0 6 m0 oraz niech A = {n ∈ Z : n0 6 n 6 m0 } (8 ).
Wówczas dla każdej funkcji a : A → R przyjmujemy
m0
X
a(n) =
n=n0
X
m0
Y
a(n),
a(n) =
n=n0
n∈A
Y
a(n).
n∈A
Własność 2.7.3. Jeśli a : A → R, gdzie A 6= ∅ jest zbiorem skończonym, to
P
a(x) i
x∈A
a(x) nie zależą od wyboru bijekcji ϕ : Fn → A. Ponadto jeśli A = B ∪ C, gdzie B, C
Q
x∈A
są niepustymi zbiorami rozłącznymi, to
(2.6)
P
a(x) =
x∈A
P
a(x)+
x∈B
P
a(x)
oraz
x∈C
Q
a(x) =
x∈A
Q
x∈B
a(x) ·
Q
a(x).
x∈C
Zanim przejdziemy do dowodu własności 2.7.3, wprowadzimy pojęcie transpozycji i udowodnimy
pewną własność.
Definicja transpozycji. Niech n ∈ N, n > 1 oraz k, l ∈ Fn , k 6= l. Transpozycją nazywamy bijekcję
σk,l : Fn → Fn określoną następująco:
σk,l (i) = i dla
i ∈ Fn \ {k, l}
oraz
σk,l (k) = l
i σk,l (l) = k.
−1
Bezpośrednio z definicji widzimy, że σk,l = σk,l
.
Własność A. Każda bijekcja ϕ : Fn → Fn , gdzie n > 1, jest złożeniem skończonej ilości transpozycji.
Dowód. Jeśli n = 2, to każda bijekcja ϕ : Fn → Fn jest albo identycznością albo transpozycją, więc
teza jest oczywista. Załóżmy, że teza zachodzi dla n − 1 > 2. Niech ϕ : Fn → Fn będzie bijekcją i niech
n = ϕ(k).
Jeśli k = n, to biorąc ϕ̃ : Fn−1 → Fn−1 określoną wzorem ϕ̃(i) = ϕ(i) dla i ∈ Fn−1 , z założenia
indukcyjnego dostajemy, że istnieją transpozycje σ̃1 , ..., σ̃s : Fn−1 → Fn−1 takie, że F̃ = σ̃1 ◦ · · · ◦ σ̃s .
Kładąc σj (i) = σ̃j (i) dla j ∈ Fn−1 oraz σj (n) = n dostajemy, że σ1 , ..., σs : Fn → Fn są transpozycjami
oraz F = σ1 ◦ · · · ◦ σs .
Jeśli k 6= n, to biorąc transpozycję σk,n : Fn → Fn , gdzie σk,n (i) = i dla i ∈ Fn \ {k, l} oraz
σk,n (k) = n, σk,n (n) = k, dostajemy, że ϕ◦σk,n spełnia założenia poprzedniego przypadku. Zatem istnieją
transpozycje σ1 , ..., σs : Fn → Fn takie, że F ◦ σk,n = σ1 ◦ · · · ◦ σs . W konsekwencji F = σ1 ◦ · · · ◦ σs ◦ σk,n .
Reasumując, zasada indukcji daje tezę.
Dowód własności 2.7.3. Dowód przeprowadzimy dla sumy. Dla iloczynu rozumujemy analogicznie.
Niech A będzie zbiorem n-elementowym, ϕ, ψ : Fn → A – bijekcjami oraz a : A → R. Jeśli n = 1, to
teza jest oczywista. Załóżmy, że n > 1. Wówczas ϕ−1 ◦ ψ : Fn → Fn jest bijekcją. Z własności A, istnieją
transpozycje σ1 , ..., σs : Fn → Fn takie, że ϕ−1 ◦ ψ = σ1 ◦ · · · ◦ σs . Zatem ψ = ϕ ◦ σ1 ◦ · · · ◦ σs . Wystarczy
więc pokazać, że dla dowolnej transpozycji σ : Fn → Fn mamy
n
X
(2.7)
i=1
n
X
a(ϕ(i)) =
a(ϕ ◦ σ(i)).
i=1
Niech k, l ∈ Fn , k 6= l oraz niech σ : Fn → Fn będzie transpozycją taką, że σ(i) = i dla i ∈ Fn \ {k, l}
oraz σ(k) = l, σ(l) = k. Wtedy stosując definicję sumy ciągu skończonego indukcyjnie sprawdzamy, że
n
P
i=1
a(ϕ(i))−
n
P
i=1
a(ϕ ◦ σ(i)) =
n
P
(a(ϕ(i)) − a(ϕ ◦ σ(i))) = a(ϕ(k)) − a(ϕ(l)) + a(ϕ(l)) − a(ϕ(k)) = 0.
i=1
To daje (2.7) i w konsekwencji niezależność sumy od wyboru bijekcji ϕ.
8
zbiór A jest skończony, bowiem k = m0 − n0 + 1 jest liczbą naturalną oraz łatwo sprawdzamy, że
funkcja ϕ : Fk → A określona wzorem ϕ(n) = n + n0 − 1 dla n ∈ Fk , jest bijekcją.
36
ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE
Udowodnimy teraz pierwszą część (2.6). Jeśli A jest zbiorem 2-elementowym, to teza jest oczywista.
Załóżmy, że teza zachodzi dla n − 1 > 2 i niech A będzie zbiorem n-elementowym oraz a : A → R.
Niech A = B ∪ C, gdzie B, C są zbiorami niepustymi i rozłącznymi. Wtedy jeden ze zbiorów B, C jest
co najmniej 2-elementowy. Niech na przykład B bądzie zbiorem co najmniej 2-elementowym. Weźmy
dowolny x0 ∈ B. Biorąc bijekcję ϕ : Fn → A taką, że ϕ(n) = x0 (istnienie takiej bijekcji dostajemy z
P
P
dowolnej bijekcji przez złożenie z transpozycją), dostajemy, że
a(x) =
a(x) + a(x0 ). Zatem z
x∈A
założenia indukcyjnego mamy
P
P
a(x) =
a(x) + a(x0 ) =
x∈A
x∈A\{x0 }
P
a(x) + a(x0 )+
x∈A\{x0 }
P
x∈C
x∈B\{x0 }
a(x) =
P
a(x)+
x∈B
P
a(x).
x∈C
To daje pierwszą część (2.6) i kończy dowód.
Indukcyjnie łatwo dowodzimy następującej własności:
Własność 2.7.4. Niech A 6= ∅ będzie zbiorem skończonym oraz a, b : A → R. Jeśli dla
P
P
każdego x ∈ A zachodzi a(x) 6 b(x), to
a(x) 6
b(x). Ponadto równość zachodzi
x∈A
x∈A
dokładnie wtedy, gdy a(x) = b(x) dla wszystkich x ∈ A.
ZADANIA
Zadanie 2.7.1. Jeśli m, n ∈ N, 1 6 m < n oraz (a1 , ..., an ) jest ciągiem liczbowym, to
n
P
ak =
m
P
ak +
n
P
ak .
k=1
k=1
2.8
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych
k=m+1
W punkcie 1.1, aksjomatycznie wprowadziliśmy zbiór liczb rzeczywistych. Teraz aksjomatycznie określimy rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych.
Zakładamy, że istnieją elementy +∞ oraz −∞ zwane odpowiednio plus nieskończonością,
V. Aksjomaty rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych.
1. −(−∞) = +∞, −(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞.
2. (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞.
3. (−∞)(−∞) = +∞, (+∞)(+∞) = +∞, (−∞)(+∞) = −∞, (+∞)(−∞) = −∞.
4. Dla każdego x ∈ R,
x + (+∞) = +∞, (+∞) + x = +∞, x + (−∞) = −∞, (−∞) + x = −∞.
5. Dla każdego x ∈ R,
x/(+∞) = 0, x/(−∞) = 0.
6. −∞ < +∞ i dla każdego x ∈ R,
−∞ < x < +∞.
7. Dla każdego x ∈ R takiego, że x > 0,
x(+∞) = +∞, (+∞)x = +∞, x(−∞) = −∞, (−∞)x = −∞.
Definicja rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych. Rozszerzonym zbiorem liczb
rzeczywistych nazywamy zbiór R ∪ {+∞, −∞}, który oznaczamy R.
Uwaga 2.8.1. Wprost z aksjomatów widzimy, że nie wprowadziliśmy działań + i · w R. Na przykład nie
określamy (+∞) + (−∞), czy 0(+∞). Takie symbole będziemy nazywać nieoznaczonymi. Często piszemy
∞ zamiast +∞.
2.8. ROZSZERZONY ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH
37
Uwaga 2.8.2. W R wprowadzamy relacje 6 i > w analogiczny sposób jak w R.
Definicja kresów w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych. Niech E ⊂ R.
Mówimy, że M ∈ R jest kresem górnym zbioru E, gdy
(i) dla każdego x ∈ E zachodzi x 6 M ,
(ii) dla każdego M 0 < M istnieje x ∈ E takie, że x > M 0 .
Kres górny zbioru E oznaczamy sup E.
Mówimy, że m ∈ R jest kresem dolnym zbioru E, gdy
(i) dla każdego x ∈ E zachodzi x > m,
(ii) dla każdego m0 > m istnieje x ∈ E takie, że x < m0 .
Kres dolny zbioru E oznaczamy inf E.
Uwaga 2.8.3. Wprost z definicji kresów zbiorów niepustych i ograniczonych mamy, że definicja powyższa
jest zgodna z wprowadzonymi wcześniej.
Bezpośrednio z definicji dostajemy następujące dwie własności:
Własność 2.8.4. Niech E ⊂ R.
(a) Jeśli E nie jest zbiorem ograniczonym z góry, to sup E = +∞.
(b) Jeśli E nie jest zbiorem ograniczonym z dołu, to inf E = −∞.
Własność 2.8.5. Niech E ⊂ R.
(a) Jeśli +∞ ∈ E, to sup E = +∞.
(b) Jeśli −∞ ∈ E, to inf E = −∞.
Z własności 2.8.4, 2.8.5 i twierdzeń 2.2.5, 2.2.6 dostajemy
Wniosek 2.8.6. Jeśli E ⊂ R i E 6= ∅, to istnieją inf E, sup E oraz inf E 6 sup E.
Definicja przedziału nieskończonego. Niech a ∈ R. Przedziałami nieskończonymi nazywamy następujące zbiory:
(a, +∞) = {x ∈ R : a < x}, [a, +∞) = {x ∈ R : a 6 x},
(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}, (−∞, a] = {x ∈ R : x 6 a},
(−∞, +∞) = R.
Dla odróżnienia, przedziały wcześniej określone nazywamy przedziałami skończonymi.
ZADANIA
Zadanie 2.8.1. Udowodnić, że w R istnieją kresy sup ∅ i inf ∅ i że sup ∅ < inf ∅.