Kresy

Kresy
Definicja zbioru ograniczonego.
Niech E ⊂ R.
Mówimy, ze zbiór E jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M ∈ R taka, ze dla
każdego x ∈ E zachodzi x ≤ M. Każdą taka liczbę M nazywamy ograniczeniem górnym
zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z góry.
Mówimy, ze zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy istnieje liczba m ∈ R taka, ze dla
każdego x ∈ E zachodzi x ≥ m. Każdą taka liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym
zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z dołu.
Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy E jest ograniczony z góry i z dołu. W przeciwnym
przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym.
Definicja kresu górnego i dolnego zbioru. Niech E ⊂ R.
Liczbę M ∈ R spełniajaca warunki:
1) M jest ograniczeniem górnym zbioru E,
2) dla kazdego M’ < M istnieje x ∈ E, takie ze x > M’,
nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy supE.
Liczbę m ∈ R spełniajaca warunki:
1) m jest ograniczeniem dolnym zbioru E,
2) dla kazdego m’> m istnieje x ∈ E, takie ze x < m’,
nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy inf E.
W mysl przyjetych definicji, zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z góry
nie maja kresów górnych. Analogicznie zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z dołu nie
maja kresów dolnych.
Definicja maksimum i minimum zbioru. Niech E ⊂ R.
Element x0 ∈ E taki, ze dla każdego x ∈ E zachodzi x≤ x0 nazywamy elementem
maksymalnym zbioru E lub maksimum zbioru E lub elementem największym zbioru E i
oznaczamy maxE.
Element x0 ∈ E taki, ze dla każdego x ∈ E zachodzi x ≥ x0 nazywamy elementem
minimalnym zbioru E lub minimum zbioru E lub elementem najmniejszym zbioru E i
oznaczamy minE.
Własność. Jeśli x, y ∈ R, to
𝑥+𝑦
1) max{x, y} =
2) min{x, y} =
2
𝑥+𝑦
2
+
-
|𝑥−𝑦|
2
|𝑥−𝑦|
2
Twierdzenie (o istnieniu kresu górnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym
i ograniczonym z góry, to istnieje kres górny zbioru E.
Twierdzenie (o istnieniu kresu dolnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym
i ograniczonym z dołu, to istnieje kres dolny zbioru E.
Własność Niech E ⊂ R.
(i) Jeśli zbiór E posiada maksimum, to również posiada kres górny i supE = maxE.
(ii) Jeśli zbiór E posiada minimum, to również posiada kres dolny i inf E = minE.
Własność. Niech E, F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.
(a) Wówczas inf(−E) = −supE.
(b) Jeśli E ⊂ F, to supE ≤ sup F.
(c) Jeśli dla dowolnego x ∈ E istnieje y ∈ F, ze x ≤ y, to supE ≤ sup F.
Własność . Jesli E ⊂ R jest niepusty i ograniczony, to:
(a) inf E ≤ supE.
(b) równość inf E = supE zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy E jest zbiorem
jednoelementowym.
Własność Niech E, F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.
(a) Wówczas sup(E + F) = supE + sup F.
(b) Jeśli E, F ⊂ R+, to sup(E · F) = supE · sup F.
(c) Jeśli a ∈ R+, to sup({a} · F) = a sup F.
Przykład:
I.
E={x∈R: x>3} - ograniczony przez 3 z dołu
Zbiór E jest ograniczony z dołu przez 3 gdyż dla każdego x ∈ E mamy x> 3.
Pokażemy, że zbiór E jest ograniczony z góry, tzn pokażemy, że
∀ M∈X ∃ x∈ E x>M'
Weźmy dowolne M∈R. Rozważmy przypadki:
1. M≤3.
Wtedy połóżmy x= 4. Wtedy x∈ E oraz x= 4>3≥M, czyli x∈ E i x>M'
2. M>3.
Wtedy połóżmy x=M+1. Wtedy x=M+1>3+1=4>3, czyli x∈ E oraz x=M+1>M'
II.
Wyliczyć, sup[0,1]
Niech M=1. Pokażemy, że sup[0,1]=1
1. ∀ x∈[0,1] x≤1
Jeżeli x x∈[0,1] to x≥0 i x≤1 więc x≤1
2. ∀ M<1 ∃ x∈ [0,1] x>M'
Weźmy dowolne M'<1. Mamy przypadki:
1'. M'<0 wtedy 0∈[0,1] i M'<0, więc istnieje x=0 ∈[0,1] takie, że x>M'
2'. M'≥0 wtedy 0≤M'<1 biorąc x=
więc 1=sup[0,1]
𝑀′ +1
2
mamy, wtedy 0≤M'<x<1, więc x∈[0,1] i M'<x
Pokazaliśmy warunki 1' i 2'
Przykłady



Jeśli
, to:
o
ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A, więc jest jego
kresem dolnym.
o
ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A, więc jest jego
kresem górnym.
Niech
. Wówczas:
o
. Choć zbiór B nie ma liczby najmniejszej, jego kresem dolnym
jest 0, bowiem żadna liczba większa od 0 nie jest mniejsza od dowolnej z liczb
zbioru B.
o
. Mimo że w zbiorze B nie ma liczby największej, kresem
górnym jest 3, ponieważ nie istnieje liczba mniejsza od 3, która byłaby
większa od jakiejkolwiek liczby ze zbioru B.
Niech
. Wówczas podobnie jak dla zbioru
,
oraz
:

Połóżmy
. Jest
, bo każda
liczba zbioru D jest mniejsza od 1, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 nie jest
większa od wszystkich liczb ze zbioru D.
ZBIORY LICZBOWE
Definicja liczby całkowitej.
Każdą liczbę rzeczywista, która jest różnica dwóch liczb
naturalnych nazywamy liczba całkowita. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy Z.
Własność
(a) Jeśli a ∈ Z, to a ∈ N albo −a ∈ N albo a = 0.
(b) Z \ R+ = N, Z \ R− = −N.
(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z mamy a + b ∈ Z, ab ∈ Z, a − b ∈ Z.
(d) Dla dowolnego a ∈ Z mamy −a ∈ Z.
(e) 1/2 Z.
Własność
(a) Dla każdego a ∈ Z nie istnieje b ∈ Z, ze a < b < a + 1.
(b) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to a + 1 ≤ b.
(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to b − a ∈ N.
Definicja liczby wymiernej.
Mówimy, ze liczba x ∈ R jest wymierna, gdy istnieją
a, b ∈ Z, b ≠ 0, takie ze x = a/b. Liczbę a nazywamy licznikiem, zaś liczbę b mianownikiem
liczby wymiernej x. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q.
Definicja liczby niewymiernej.
Zbiór R \ Q nazywamy zbiorem liczb niewymiernych.
Liczbę x ∈ R \ Q nazywamy niewymierna.
Własność
(a) Z ⊂ Q.
(b) Dla dowolnego r ∈ Q zachodzi −r ∈ Q oraz 1/r ∈ Q, gdy r ≠ 0.
(c) Jeśli r,w ∈ Q, to r + w ∈ Q, r − w ∈ Q, rw ∈Q oraz r/w ∈Q, gdy w ≠ 0.
(d) Dla każdej liczby r ∈ Q istnieją a ∈ Z oraz b ∈ N, ze r = a/b.
Definicja całosci liczby. Niech x ∈ R. Całością lub entier z liczby x nazywamy
max{a ∈ Z : a ≤ x} i oznaczamy [x].