Przestrzenie Banacha

Przestrzenie Banacha
1. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej każdy zbiór domkniety
i ograniczony
kula B̄ nie jest zbiorem
jest zwarty. Ale w przestrzeni X nieskończenie wymiarowej domknieta
zwartym, tzn. istnieja ciagi
z tej kuli, z których nie można wybrać żadnego podciagu
zbieżnego.
acych
przykładach
Udowodnić ten fakt dla kuli o środku Θ ∈ X i promieniu 1 w nastepuj
przestrzeni X:
nieskończonych o wyrazach z R (wsk. wybrać ciag
(i) X - przestrzeń wszystkich ciagów
ciagów
zero-jedynkowych (ekn )∞
n=1 ).
sumowalnych o wyrazach z R (wsk. wybrać ciag
(ii) X = l1 - przestrzeń wszystkich ciagów
zero-jedynkowych (ekn )∞
ciagów
n=1 ).
∞
n
(iii) X = C ([0, 1]) o wartościach z R (wsk. wybrać ciag
funkcji (fn )n=1 takich, że fn (t) = t dla
t ∈ [0, 1]).
∞
(iv) X = L (0, 1) (wsk. wybrać ciag
funkcji (fn )n=1 takich, że fn (t) = χ[0, 1 ] (t) · n, gdzie
n


1,
χ[0, 1 ] (t) =

n
0,
gdy t ∈ 0, n1 ,
gdy t ∈
1
,1
n
jest tzw. funkcja charakterystyczna przedziału).
2. Udowodnić, że przestrzeń lnp , 1 p < ∞ jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliczalw tej przestrzeni jest zbiór wszystkich wektorów o współrzednych
wymiernych lub
nego gestego
rzeczywista i
zespolonych wymiernych (liczbe zespolona z nazywamy wymierna, gdy jej cześć
urojona sa liczbami wymiernymi).
w
3. Udowodnić, że przestrzeń c0 jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliczalnego gestego
typu skończonego o wyrazach wymiernych lub zetej przestrzeni jest zbiór wszystkich ciagów
spolonych wymiernych.
w tej
4. Udowodnić, że przestrzeń c jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliczalnego gestego
prawie stałych o wyrazach wymiernych lub zespolonych
przestrzeni jest zbiór wszystkich ciagów
∞
wymiernych (ciag
(xk )k=1 jest prawie stały, jeśli jest stały od pewnego miejsca, tzn. istnieje k0
takie, że xk0 = xk0 +1 = xk0 +2 = . . . ).
5. Wykazać, że przestrzeń C (Ω) , Ω ⊂ Rn − zwarty, jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliw tej przestrzeni jest zbiór wszystkich wielomianów n zmiennych o współczynczalnego gestego
nikach wymiernych (lub zespolonych wymiernych).
6. Wykazać, że przestrzeń C k ([a, b]) jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliczalnego gestego
w tej przestrzeni jest zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych (lub zespolonych wymiernych).
Arkusz 8
7. Pokazać, że funkcje przedziałami liniowe tworza zbiór gesty
w przestrzeni C ([a, b]) (funkcje
f : [a, b] → R nazywamy przedziałami liniowa albo łamana, gdy [a, b] można podzielić na skończenie wiele mniejszych odcinków tak, aby f była liniowa na każdym z nich z osobna).
i ograniczonych na prostej, z norma:
8. Niech BC(R) oznacza przestrzeń funkcji ciagłych
f = sup |f (t)|.
t∈R
Wykazać, że przestrzeń ta nie jest ośrodkowa.
f : R → K takich, że limt→±∞ f (t) = 0,
9. Niech C0 (R) oznacza przestrzeń funkcji ciagłych
z norma jak w poprzednim zadaniu. Pokazać, że C0 (R) ⊂ BC(R) oraz, że jest ośrodkowa.
ace
przestrzenie sa zupełne ( a ponieważ wiadomo, że sa liniowe i unor10. Wkazać że nastepuj
mowane, wiec
sa przestrzeniami Banacha):
(i) lnp , 1 p < ∞,
(ii) ln∞ ,
(iii) c0 ,
(iv) C k ([a, b]) .
11. Niech t0 ∈ [a, b] ⊂ R. Wykazać, że przestrzeń {f ∈ C ([a, b]) : f (t0 ) = 0} jest podprzestrzenia wektorowa domkniet
a przestrzeni C ([a, b]), a wiec
jest przestrzenia Banacha.
12. Niech Ω = ∅, oznaczmy przez B(Ω) przestrzeń wszystkich funkcji ograniczonych na Ω
z
o wartościach w K, a przez BC(Ω) przestrzeń wszystkich funkcji ograniczonych i ciagłych,
norma
f = sup |f (t)|.
t∈Ω
Pokazać, że sa to przestrzenie Banacha.
warunek Lipschitza,
13. Udowodnić, że przestrzeń Lip[a, b]- przestrzeń funkcji spełniajacych
z norma
f = sup
t=s
|f (t) − f (s)
+ sup |f (t)|
|t − s|
t
jest przestrzenia Banacha.
14. Udowodnić, że przestrzeń C 1 ([a, b]) , gdzie ||f || = max (sup |f (t)|, sup |f (t)|) jest przestrzenia Banacha.
15. Wykazać, że przestrzeń C ([a, b]) z norma
f 1 =
b
a
|f (t)| dt
nie jest przestrzenia Banacha.
Arkusz 9