G. Plebanek KiT w przestrzeniach Banacha lista 6 8.12.2014

G. Plebanek KiT w przestrzeniach Banacha lista 6
8.12.2014
1. Niech A będzie algebrą miary Lebesgue’a i niech S będzie przestrzenią Stone’a tej algebry.
Udowodnić, że S nie ma punktów izolowanych i jest nieośrodkowa. Zauważyć, że S nie jest
homeomorficzna ani z βN, ani z βN \ N.
c0 i zbiory słabo zwarte
2. Wykazać, że jeśli K jest słabo zwartym podzbiorem ośrodkowej przestrzeni Banacha X to
K można zanurzyć w przestrzeń c0 ze słabą topologią.
Wskazówka: Istnieje różnowartościowy operator ograniczony T : X → c0 .
3. Niech c0 (Γ) będzie przestrzenią funkcji x : Γ → R, takich że zbiór {γ ∈ Γ : |x(γ)| ­ ε}
jest skończony dla każdego ε > 0. Sprawdzić, że c0 (Γ) jest przestrzenią Banacha w normie
supremum.
4. Sprawdzić , że l1 (Γ) (funkcji x : Γ → R takich że γ |x(γ)| < ∞) jest przestrzenią sprzężoną
do c0 (Γ). Zauważyć, że słaba topologia w kuli w c0 (Γ) pokrywa się z topologią zbieżności
punktowej, odziedziczoną z RΓ .
P
Uwaga: Zwarte przestrzenie dające się zanurzyć w c0 (Γ) z topologią zbieżności punktowej
(dla pewnego Γ) nazywamy kompaktami Eberleina. Takie zbiory są więc słabo zwartymi
podzbiorami pewnej przestrzeni Banacha.
Twierdzenie Amira-Lindenstrausa (daleko nietrywialne) orzeka, że na odwrót: każdy
zbiór słabo zwarty w dowolnej przestrzeni Banacha jest kompaktem Eberleina w powyższym
sensie.
5. Udowodnić, że kompakt Eberleina jest ośrodkowy wtedy i tylko wtedy gdy jest metryzowalny.
6. Sprawdzić, że każdy kompakt Eberleina jest ciągowo zwarty.
7. Wykazać, że jeżeli kompakt Eberleina ma własność ccc (każda rodzina parami rozłącznych
zbiorów otwartych jest przeliczalna) to jest on metryzowalny.
8. Udowodnić, że w kompakcie Eberleina K, domknięcie A zbioru A ⊆ K jest opisane przez
granice ciągów zbieżnych.
9. Udowodnić, że w kompakcie Eberleina istnieją zawsze punkty typu Gδ (inaczej mówiąc:
punkty mające przeliczalną bazę.
Wskazówka: Wybrać punkt maksymalny względem porządku ‘po osiach’.