Matematyka – wybrane zagadnienia Lista nr 5 Zadanie 1 Niech X = W0,1 oznacza przestrzeń wielomianów na odcinku 0,1 . a.) Udowodnić, że funkcja : X X 0,, w1 , w2 max w1 (t ) w2 (t ) jest t0,1 metryką w X. ti jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni (X, ), ale i i 1 2 nie jest ciągiem zbieżnym w (X, ). n b.) Wykazać, że ciąg wn (t ) Zadanie 2 Niech X = C1([0,1]) będzie przestrzenią funkcji rzeczywistych mających w przedziale [0,1] ciągłą pochodną. a.) udowodnić, że x X x(0) max x(t ) jest normą w przestrzeni X. 0 t 1 b.) Niech Y = C([0,1]) będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych w przedziale [0,1] z normą y Y max y(t ) . Udowodnić, że odwzorowanie 0 t 1 Tx = x , gdzie x jest pochodną funkcji x jest ograniczonym operatorem liniowym. Znaleźć jego normę. Zadanie 5 Niech X będzie zespoloną przestrzenią unitarną. Udowodnić następujące własności iloczynu skalarnego: x, y X C x,y x, y x, y, z X x, y z x, y x, z x X 0,x 0 x, y X x x, x x, y x, x y, y spełnia aksjomaty normy. Zadanie 6 Udowodnić następujące twierdzenie (twierdzenie Pitagorasa): Niech V będzie przestrzenią unitarną. Niech x1,…,xn będzie skończonym ciągiem wektorów V takim, że (xi,xj) = 0 dla każdego i j , i,j = 1,2,…,n. Wówczas x1 x2 ... xn 2 2 2 2 x1 x21 ... xn . Wskazówka: Najpierw udowodnić twierdzenia dla n = 2, a uogólnić dla n, stosując zasadzie indukcji matematycznej. Zadanie 7 Niech w1 , w2 C1 2,3 (przestrzeń funkcji mających ciągłą pochodną), gdzie w1 ( x) 3x 2 4 x 4 , w2 ( x) 2 x 2 2 x 7 . Obliczyć odległość miedzy funkcjami w1, w2 stosując do wyznaczania tej odległości metrykę generowana przez następującą normę: a) w w0 max wx 2 x3 3 b) w wx dx 2 Zadanie 8 Sformułować twierdzenie o rzucie ortogonalnym dla przestrzeni Hilberta H. Niech H = L2 0,1 . Korzystając z twierdzenia o rzucie ortogonalnym oraz z faktu, że funkcje g1 ( x) 1 oraz g2 ( x) x są liniowo niezależne, znaleźć najlepszą aproksymację funkcji f ( x) sin x funkcją g0 ( x) ax b w tej przestrzeni, tzn. taką, dla której norma błędu jest minimalna.