Zasada Szufladkowa Dirichleta Barbara Roszkowska

Zasada Szufladkowa Dirichleta
Barbara Roszkowska Lech
Twierdzenie Niech 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 będzie funkcja taką, że zbiór 𝑋 ma 𝑛 elementów a zbiór 𝑌 ma
𝑚 elementów. Wtedy
1. Jesli 𝑛 > 𝑚 , to funkcja 𝑓 nie jest róznowartościowa
2. Jesli 𝑛 > 𝑚𝑘 , to istnieje 𝑦 ∈ 𝑌 , który jest wartością 𝑓 dla wiecej niz 𝑘 elementów.
Nazwę uzasadnia następujące sformułowanie: Jeśli 𝑛 przedmiotów włożono do 𝑚 szufladek i 𝑛 > 𝑚
to w pewnej szufladce są conajmniej dwa przedmioty. Jeśli 𝑛 > 𝑚𝑘 , to w pewnej szufladce jest co
najmniej 𝑘 + 1 przedmiotów.
1. W walizce wymieszały się skarpety 10 czerwonych, 10 czarnych i 10 zielonych. Ile skarpet
trzeba wyciagnąc aby miec pewnośc, ze bedą
∙ dwie w tym samym kolorze
∙ dwie rózne
∙ po jednej w kazdym kolorze
2. W worku są kule zólte, czerwone i niebieskie. Ile kul nalezy wyjąć bez ogladania aby miec pewnośc,
ze wsród wyciagnietych jest trzynaście kul jednego koloru.
3. W kazdą kratkę szachownicy 3x3 wpisano jedną z liczb −1, 0, 1 , nastepnie zsumowano liczby w
kazdym wierszu, w kazdej kolumnie i na kazdej przekątnej. Wykaż, ze wsród sum pewne dwie są
równe.
4. W klasie jest 30 uczniów. Podczas dyktanda jeden z uczniów zrobił 14 błedów, kazdy z pozostałych zrobił mniej bledów. Wykaż, że w tej klasie jest conajmniej trzech uczniów, którzy
popełnili tę samą liczbę błedów.
5. Wykaż, ze sposród dowolnych 20 liczb całkowitych mozna wybrac dwie takie, ze ich róznica dzieli
sie przez 19.
6. Wykaż, ze w dowolnej grupie osób zawsze są dwie które mają tyle samo znajomych.
7. Udowodnić, ze w dowolnym wieloscianie wypukłym istnieją dwa wierzchołki z których wychodzi
tyle samo krawędzi.
8. Na sali jest 47 osób. Uzasdnic, ze na sali znajduje sie 7 osób urodzonych tego samego dnia tygodnia.
9. Z liczb 1, 2, ..., 9 wybieramy 6 . Udowodnic, że z tych 6 mozna wybrac dwie których suma
jest równa 10.
10. W kole o promieniu 𝑟 wybrano 7 punktów. Udowodnić, że istnieją conajmniej 2 których
odległość jest ≤ 𝑟
11. Udowodnic, ze wśród dowolnych 65 podzbiorów zbioru 7 elementowego można znalezć dwa
rozłaczne.
V LO Warszawa luty 2010
1
Zasada Szufladkowa Dirichleta
Barbara Roszkowska Lech
12. Na płaszczyznie mamy 6 punktów z których żadne 3 nie leża na jednej prostej. W kazdym
trójkacie wyznaczonym przez te punkty najkrótszy bok malujemy na czerwono. Udowodnić, ze
istnieje trójkąt o wszystkich bokach czerwonych.
13. W pewnym kraju jest 66 miast z których kazde 2 połaczone sa jednym z czterech środków
komunikacji: koleją, autobusem, linia lotniczą lub żeglugą śródladową. Udowodnic, ze są pewne 3
miasta takie, ze mozna odbyć podróz po trójkacei korzystając tylko z jednego środka komunikacji.
14. Wykazac, ze w dowolnym ciągu 7 liczb całkowitych mozna wskazać pewną liczbe kolejnych
wyrazów których suma jest podzielna przez 7 .
15. Ze zbioru {1, ..., 2000} wybrano conajmniej 1001 liczb. Udowodnic, ze wsród wybranych
∙ są dwie wzglednie pierwsze ,
∙ są dwie z których jedna dzieli drugą.
16. Udowodnić, ze dla dowolnej liczby naturalnej istnieje jej wielokrotność, która mozna zapisać w
systemie dziesiętnym używając cyfr 0, 1 .
17. Na płaszczyżnie danych jest 5 punktów kratowych (punktów o obu wspólrzędnych całkowitych).
Udowodnić, ze srodek któregoś z odcinków łaczących te punkty jest tez punktem kratowym.
18. (XILOM) Dany jest kwadrat oboku 1. W kwadracie umieszczamy trójkat, tak ze środek kwadratu
jest poza trójkatem. Pokazać, ze jeden z boków trójkata ma długość < 1.
19. W koleo promieniu 10 wybrano 372 punkty. Wykazac, że istnieje pierścień o promieniach 2 i 3,
który zawiera nie mniej niż 12 spośród tych punktów.
20. W kwadracie o boku
√ 2 wybieramy 5 punktów. Udowodnić, że można znależć dwa o odległosci
nie wiekszej niż
2
V LO Warszawa luty 2010
2